Exercícios Resolvidos de Balanço Integral de Massa

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Enunciado

Um tanque de volume 0,05   m ³ contem ar a pressão absoluta de p = 800   k P a e temperatura T = 15 ℃ . No tempo inicial, quanto t = 0 , a válvula abre e o ar escapa a uma velocidade de v = 311   m / s e densidade ρ = 6,13   k g / m ³ através de uma abertura de área A = 65   m m ² .

Qual é a taxa de mudança de densidade d ρ d t no tanque quando t = 0 ?

Passo 1

Bom, vamos então ver aquele passo a passo!

  1. Definir a geometria do problema: Volume de Controle e Superfície de Controle
  2. Montar o equacionamento do problema
  3. Fazer simplificações baseadas nas considerações que o problema te der
  4. Analisar a expressão termo a termo, usando essas simplificações
  5. Juntar tudo e resolver!

Passo 2

Vamos então definir a geometria do nosso problema!

O volume de controle vai ser então o volume que foi dado pelo problema.

V C = 0,05   m ³

A superfície de controle vai ser uma só, a área por onde o ar escapa quando a válvula é aberta.

S C = 65   m m 2 = 65   x   10 - 6   m ²

Passo 3

Vamos montar o balanço de massa então:

d d t ∫ V c A ( t ) ρ A d V + ∫ S c A ( t ) ρ A v - v c ∙ n ^   d S = - ∫ S c A t ρ A v A - v ∙ n ^   d S + ∫ V c A ( t ) r A ˙   d V

Como no nosso caso não está acontecendo transporte de espécie por difusão e nem está acontecendo reação química, a nossa equação se reduz à equação de conservação de massa:

d d t ∫ V c ( t ) ρ   d V + ∫ S c ( t ) ρ v - v ∞ ∙ n ^ d S = 0

Outra simplificação que podemos considerar também é a densidade constante. Bora então resolver cada um desses termos!

Passo 4

Resolvendo o primeiro termo:

d d t ∫ V c ( t ) ρ   d V = V C d ρ d t = 0,05 d ρ d t

Pra resolver o segundo termo, consideramos v ∞ = 0 , já que não tem nenhum fluido externo fazendo arraste de matéria, quem está escoando é o próprio fluido do tanque. Sendo assim:

∫ S c ( t ) ρ v - v ∞ ∙ n ^ d S = ρ v S C = 0,02 ρ

Passo 5

Juntando tudo temos que:

0,05 d ρ d t + 0,02 ρ = 0

Quando t = 0 :

d ρ d t = - 2,48   k g / m ³ s

Resposta

d ρ d t = - 2,48   k g / m ³ s