Exercícios Resolvidos de Balanço Integral de Massa

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Enunciado

Na tubulação da figura corre um fluido imcompressível. Considerando a gravidade, determine a força que o fluido exerce na tubulação.

Passo 1

Bom, pra essa questão vai ser melhor se a gente ver o equacionamento antes de começar a resolver. Com ele a gente vai vendo o que podemos simplificar e como vamos resolver cada coisa!

Como o problema está pedindo pra gente a força que o fluido faz no tubo, já é um indicativo de que vamos usar a equação da conservação da quantidade de movimento!

d d t ∫ V c ( t ) ρ v   d V + ∫ S c ( t ) ρ v v - v ∞ ∙ n ^   d S =   ∫ S c ( t ) τ ∙ n ^   d S + ∫ V c ( t ) ρ f m   d V

Passo 2

Vamos então ver o que que a gente pode cortar dai!

A gente vai considerar estado estacionário, porque o fluxo de líquido é contínuo, então não tem variação ao longo do tempo. Então, esse primeiro termo vai embora = 0 !

Fluido incompressível, então ρ = c o n s t a n t e .

v ∞ = 0 pois não tem nenhum fluido externo fazendo arraste de espécie.

E vamos considerar f m = g , pois o problema pede para considerar a ação da gravidade.

Nosso balanço ficou então:

∫ S c t ρ v v ∙ n ^   d S =   ∫ S c t τ ∙ n ^   d S + ∫ V c ( t ) ρ f m   d V

Passo 3

Vamos agora definir nossa geometria!

Nosso volume de controle vai ser o volume da tubulação princiál mais o volume do canalzinho que tá saindo dali!

V C = 1   x   2 + 0,4   x   0,1 = 2,04   m ³

As nossas superfícies de controle vão ser as 3 dadas, aonde tem fluido atravessando:

A 1 = A 2 =   1   m ²

A 3 = 0,1   m ²

Passo 4

Vamos resolver cada termo então:

  ∫ S c t ρ v v ∙ n ^   d S = ∫ A 1 + A 2 + A 3 ρ v v ∙ n ^   d S =   ρ V 1 2 A 1 + ρ V 2 2 A 2 + ρ V 3 2 A 3

Pra encontrar as velocidades:

Q = A   x   V

V 1 = V 2 = 10   m / s

V 3 = 0,05 / c o s θ

Como o fluido flui em direções opostas através de A 1 e A 2 :

∫ A 1 + A 2 + A 3 ρ v v ∙ n ^   d S = 0,25   c o s ² θ   N

Olhando agora pro outro termo:

∫ S c t τ ∙ n ^   d S = ∫ A 1 + A 2 + A P τ ∙ n ^   d S

A tensão nesse caso é a mesma coisa que pressão, e elas tem a mesma unidade. Múltiplicada pela área temos unidade de força!

∫ A 1 τ ∙ n ^   d S = P . A 1 = - 249,6   N

∫ A 2 τ ∙ n ^   d S = P . A 2 = 62,4   N

∫ A P τ ∙ n ^   d S = F x

Passo 5

Passo 6

Juntando tudo temos que:

- 24,18 + 96,75 =   - 249,6 + 62,4 + F x

Finalmente:

F x =   259,77   N  

Lembrando que o sinal é só questão de orientação das superfícies, se tivesse dado negativa nossa resposta a gente poderia responder em módulo

Resposta

F x =   259,77   N