Exercícios Resolvidos de Batimentos

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Enunciado

Um sistema para reduzir ruídos sonoros de baixa frequência pode ser instalado em carros e aviões. Seu funcionamento é baseado no princípio de interferência destrutiva, sendo capaz de reduzir (sem eliminar completamente) um som indesejável. Considere que este som indesejável tenha 80 Hz de frequência e nível sonoro de 70 dB e que possa ser representado por uma onda harmônica na forma y 1 x , t = A 1 cos ⁡ ( k x - ω t ) .

a) Considerando que o sinal gerado pelo aparelho (com mesmo k e ω que o som indesejado e função de onda y 2 x , t ) terá o mesmo sentido de propagação que o som indesejado e emitido da mesma posição, qual a constante de fase δ 2 do sinal gerado pelo aparelho para que ocorra interferência destrutiva com a do sinal indesejado? Justifique sua resposta.

(b) A partir da intensidade fornecida, determine a amplitude da onda resultante da soma da onda gerada pelo aparelho com a do som indesejável, considerando que o nível sonoro será reduzido para 50 dB. Expresse seu resultado em função de A 1 .

(c) Obtenha a função de onda do sinal gerado pelo aparelho y 2 x , t e da onda resultante y x , t em termos de A 1 , k e ω . Considere que A 1 é maior que a amplitude da onda y 2 x , t .

Considere o mesmo som indesejado de 80 Hz, mas agora com o sistema redutor em fase com o sinal indesejado mas ligeiramente desregulado, gerando um sinal com amplitude A 2   =   A 1 e uma frequência de 84 Hz.

(d) No lugar da interferência destrutiva, que fenômeno ondulatório ocorre neste caso e qual o seu período? Qual é o valor da amplitude máxima resultante?

Passo 1

a) Antes de começar a fazer essa questão vamos fazer uma oração pra Thor, dar uma esticada, tomar um café e respirar fundo.

Ok, agora podemos.

Vamos chamar o sinal gerado pelo aparelho de:

y 2 x , t = A 2 cos ⁡ ( k x - ω t + δ 2 )

E o sinal indesejado é:

y 1 x , t = A 1 cos ⁡ ( k x - ω t )

A fase de cada um é:

φ 2 = k x - ω t + δ 2

φ 1 = k x - ω t

Então a diferença de fase vai ser:

∆ φ = φ 2 - φ 1

∆ φ = k x - ω t + δ 2 - ( k x - ω t )

∆ φ = δ 2

Beleza! E pra interferência ser completamente destrutiva, quanto você acha que essa diferença de fase deve ser?

Olha pra essa imagem que eu vou colocar aqui. O que nós queremos que aconteça é isso:

Pra isso acontecer, a diferença de fase entre as ondas deve ser igual a meia volta completa. Como uma volta completa é igual a 2 π , a diferença de fase deve ser igual a π ! Então:

∆ φ = δ 2 = π

Passo 2

b) O que você precisa saber neste item é que a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude. Tipo assim:

I 1 ∝ A 1 2

I r ∝ A r 2

E esse sinalzinho significa proporcional.

Então o que nós vamos fazer aqui? Vamos achar as intensidades I 1 e I r , porque depois de achar podemos fazer:

I 1 ∝ A 1

I r ∝ A r

E aí podemos dizer com certeza que:

A 1 A r = I 1 I r

Então agora vamos achar essas intensidades.

Passo 3

O nível sonoro é:

β = 10 log ⁡ I I 0

Então:

β 1 = 10 log ⁡ I 1 I 0

70 = 10 log ⁡ I 1 10 - 12

O valor de I 0 foi dado no formulário!

Fazendo continhas de logaritmo, achamos:

I 1 = 10 - 5 �� W / m 2

Show! Vamos fazer a mesma coisa pra intensidade resultante:

β r = 10 log ⁡ I r I 0

50 = 10 log ⁡ I r 10 - 12

I r = 10 - 7   W / m 2

Passo 4

Agora vamos substituir na fórmula lá do início:

A 1 A r = I 1 I r

A 1 A r = 10 - 5 10 - 7 = 10 - 2,5 10 - 3,5

A 1 A r = 10

A r = A 1 10

Passo 5

c) Ok, agora aqui nós vamos fazer uma parada muito loka.

Acompanha comigo aqui.

Ele quer que a gente ache:

y 2 x , t = A 2 cos ⁡ ( k x - ω t + δ 2 )

E:

y x , t = y 1 x , t + y 2 x , t

y x , t = A 1 cos ⁡ ( k x - ω t ) + A 2 cos ⁡ ( k x - ω t + δ 2 )

Pra achar y 2 x , t só falta A 2 né? Porque o resto já temos. Então vamos em busca de A 2 .

Vamos usar a fórmula que ele deu no formulário:

A r 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ⁡ δ 2

Essa fórmula é pra superposição de ondas com mesmo k e mesmo ω .

A r 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ⁡ π

A 1 10 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ⁡ π

A 1 10 2 = A 1 2 + A 2 2 - 2 A 1 A 2

Olha que lindo esse produto notável do lado direito:

A 1 10 2 = ( A 1 - A 2 ) 2

Como ele disse que A 1 > A 2 só consideremos o caso positivo ao tirar a raiz:

A 1 - A 2 = A 1 10

A 2 = 9 A 1 10

Ok, então:

y 2 x , t = 9 A 1 10 cos ⁡ ( k x - ω t + δ 2 )

Passo 6

Agora precisamos achar a onda resultante.

y x , t = A 1 cos ⁡ ( k x - ω t ) + 9 A 1 10 cos ⁡ ( k x - ω t + δ 2 )

Como já sabemos a amplitude:

y x , t = A 1 10 cos ⁡ ( k x - ω t + δ r )

E essa fase resultante conseguimos encontrar pela fórmula:

sin ⁡ δ r = A 1 sin ⁡ δ 1 + A 2 sin ⁡ δ 2 A

Como δ 1 = 0 e δ 2 = π , sin ⁡ δ 1 = sin ⁡ δ 2 = 0 .

Então:

sin ⁡ δ r = 0

δ r = 0

E:

y x , t = A 1 10 cos ⁡ ( k x - ω t )

Passo 7

d) Neste caso temos a superposição de dos ondas de freqüências parecidas, ν 1   =   84   H z e ν 2   =   80   H z , no mesmo sentido de propagação e ocorre o fenômeno de batimento. Como as ondas estão em fase e têm a mesma amplitude, porém k e ω diferentes, podemos escrever (usando o formulário para obter a superposição):

y x , t = A 1 cos ⁡ ( k 1 x - ω 1 t ) + A 1 cos ⁡ ( k 2 x - ω 2 t )

y x , t = A ( x , t ) cos ⁡ ( k ^ x - ω ^ t )

E:

k ^ = k 1 + k 2 2

ω ^ = ω 1 + ω 2 2

A x , t = 2 A 1 cos ⁡ ∆ k 2 x - ∆ ω 2 t

∆ k = k 1 - k 2

∆ ω = ω 1 - ω 2

Como a única parte não variável dessa fórmula horrorosa de A(x,t) é 2 A 1 , essa será a amplitude máxima.

A m á x = 2 A 1

A frequência de batimento será:

∆ ν = ν 1 - ν 2 = 84 - 80 = 4   H z

Como o período é o inverso da frequência, o período de batimento será:

τ = 1 ∆ ν = 1 4 = 0,25   s

Resposta

a) δ 2 = π

b) A r = A 1 10

c) y 2 x , t = 9 A 1 10 cos ⁡ ( k x - ω t + δ 2 ) e y x , t = A 1 10 cos ⁡ ( k x - ω t )

d) A m á x = 2 A 1 e τ = 0,25   s

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