Exercícios Resolvidos de Cálculo das deformações devido a temperatura e recalque

Ver Teoria

Enunciado

Dada a viga abaixo e sabendo que essa viga trabalha num local onde sua superfície superior se encontra 40 ° C acima da superfície inferior. Determine o deslocamento vertical do ponto C mostrado. Considere a altura da viga e o coeficiente de dilatação linear como:

h =   0,5   m  

α = 10 - 5   ° C - 1

Caso necessário utilize o seguinte diagrama de momento fletor para a carga mostrada:

Passo 1

Vamo lá rapaziada marota, partiu resolver mais um exercício de temperatura aplicada à viga. Nesse caso o problema nos fornece uma viga sem carregamento, apenas com a variação de temperatura a qual suas fibras estão sujeitas. Dessa forma ocorrerá uma deflexão exatamente por causa da diferença de dilatação térmica entre as fibras.

Essa deflexão (ou deslocamento) pode ser calculado a partir da seguinte equação:

P ¯ δ = ∫ α   ( t i - t e ) h M ¯ d s + ∫ α   t g N   ¯ d s

Então perceba que o problema nos fornece quase todos os dados: α ,   h ,   Δ T nós só temos de encontrar o momento fletor e a normal. Para encontrar esses termos a gente tem que aplicar uma carga unitária no ponto e na direção que queremos descobrir o deslocamento. No caso em questão irá ficar assim:

Exatamente o que o problema nos forneceu né? Que bonzinho... hahha

Repara só que o problema deu o diagrama de momento fletor e não forneceu o da normal. Por quê? Porque não tem normal oras... Então a nossa equação vai ficar como:

P ¯ δ = ∫ α   ( t i - t e ) h M ¯ d s

Lembrando que a gente quer o deslocamento vertical que é dado por δ , ok?

Acho que já entendemos o problema né? Partiu resolver

Passo 2

Agora vamos dar uma facilitada na nossa expressão:

P ¯ δ = ∫ α   ( t i - t e ) h M ¯ d s

Nós podemos retirar os termos que são constantes da integral e obter:

P ¯ δ = α   ( t i - t e ) h ∫ M ¯ d s

Aí todos esses termos que são constantes o problema já forneceu, só falta achar a integral do momento fletor. Mas aqui cabe ressaltar que essa integral vai ser igual à área do diagrama, que o problema também forneceu!!! Ahhh tá muito fácil isso aqui gentemmm..

Então vamos achar essa área, para isso vamos ter que achar o ponto de interseção da curva com o eixo x , podemos fazer isso por semelhança de triângulos:

Fazendo a relação entre os lados opostos aos ângulos indicados igual à relação entre as bases vamos ter:

1,2   k N . m 1,4   k N . m = x 4 - x

x = 1,85   m

Passo 3

Agora podemos calcular as áreas, assim nós vamos ter:

Lembrando que nesse tipo de diagrama o momento fletor negativo é representado acima do eixo x , logo as áreas acima desse eixo vão ter um sinal negativo associado.

A = ∫ M ¯ d s = - 1,2 3,85 2 + ( 1,4 ) ( 6,15 ) 2

∫ M ¯ d s = 2

Passo 4

Agora é só substituir na equação:

P ¯ δ = α   ( t i - t e ) h ∫ M ¯ d s

1 . δ = 10 - 5   40 0,5 × 2

δ = 1,6   m m   ( p a r a   b a i x o )

Por que para baixo? Porque achamos um valor positivo, ou seja, condizente com a força unitária para baixo.

Resposta

δ = 1,6   m m   ( p a r a   b a i x o )