Exercícios Resolvidos de Cálculo das deformações devido a temperatura e recalque

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Enunciado

A viga abaixo encontra-se num lugar onde suas fibras inferiores estão a uma temperatura de 10 ° C e as fibras superiores a uma temperatura de 70 ° C . Sabendo que uma força de 10   k N é aplicada na sua extremidade C , calcule o deslocamento dessa extremidade considerando que a distribuição de temperatura é uniforme e que a altura e o coeficiente de dilatação linear são:

h =   0 , 4   m  

α = 10 - 5   ° C - 1

Caso necessite utilize o seguinte diagrama:

Passo 1

Galerinha, essa questão aqui fala mais um pouquinho sobre como a variação de temperatura vai influenciar na deflexão da nossa viga. O problema quer exatamente isso, a deflexão no ponto C que é dada pela equação:

P ¯ δ = ∫ α   ( t i - t e ) h M ¯ d s + ∫ α   t g N   ¯ d s

Como não há forças normais e também existem vários termos constantes, que podem sair da integral, vamos ter isso aqui:

P ¯ δ = α   ( t i - t e ) h ∫ M ¯ d s

Todos os termos que são constantes e foram retirados da integral o problema já nos forneceu, e a gente quer achar a deflexão, logo, δ . Aí é só lembrar que P - é a nossa força unitária apontada na direção do deslocamento que queremos encontrar (vertical) e M - é o diagrama de momento fletor referente à essa força P - , que nos foi dado!!

Então partiu resolver esse probleminha

Passo 2

Como a gente acabou de ver temos quase todos os termos, só não temos a integral. Mas essa integral é igual a área do diagrama:

A = ∫ M ¯ d s

Então vamos calcular a área desse diagrama:

Fazendo semelhança de triângulos nós vamos ter:

2   k N . m 1   k N . m = 5 - x x

x = 1,67   m

Aí a gente só tem que lembrar que as áreas acima do eixo são negativas porque representam momentos fletores negativos, sendo assim:

A = ∫ M ¯ d s = ( 1 ) ( 1,67 ) 2 - ( 2 ) ( 5,33 ) 2

∫ M ¯ d s = - 4,5

Passo 3

Agora é só substituir na equação!!

P ¯ δ = α   ( t i - t e ) h ∫ M ¯ d s

1 . δ = ( 10 - 5 ) ( 10 - 7 0 )   0,4 × ( - 4,5 )

1 . δ = ( 10 - 5 ) ( 10 - 70 )   0,4 × ( - 4,5 )

δ = 6,75   m m   ( p a r a   b a i x o )

Lembre-se que está apontado para baixo porque condiz com o sentido da força unitária.

Resposta

δ = 6,75   m m   ( p a r a   b a i x o )