Exercícios Resolvidos de Cálculo das deformações devido a temperatura e recalque

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Enunciado

A viga abaixo está sujeita a uma variação de temperatura de 35°C entre suas fibras superiores e inferiores. Sabendo disso e utilizando o diagrama de momento fletor para uma carga unitária vertical apontado para baixo aplicada em C , determine o deslocamento vertical do ponto C da viga. Supor a altura da viga e coeficiente de dilatação linear como:

h =   0,5   m  

α = 10 - 5   ° C - 1

Passo 1

Fala aí, pessoal!!! Olha essa questão que interessante... Ela pede para que a gente determine o deslocamento vertical da extremidade em balanço C , e o que vai causar esse deslocamento?

Exatamente, a diferença de temperatura que vai envergar a nossa viga... E para a gente calcular esse deslocamento a gente precisa utilizar aquela nossa equaçãozinha que é dada por:

P ¯ δ = ∫ α   ( t i - t e ) h M ¯ d s + ∫ α   t g N   ¯ d s

E o que precisamos, além das condições de temperatura, é achar o diagrama do momento fletor e da força normal que atuam na nossa viga. Mas não tem carregamento né? E aí?

Bom, para que a gente resolva nós temos de colocar um carregamento unitário no sentido vertical exatamente no ponto onde queremos achar o deslocamento. Então vai ficar assim:

Aí a partir desse nosso carregamento unitário que vamos achar o momento fletor, normal e aplicar na nossa equação, beleza?

Passo 2

Mas galera, o problema já nos forneceu esse diagrama né? Caso você tenha ficado curioso para achar as reações vou mostrar aqui embaixo junto com o diagrama também. Perceba que o ponto principal dessa questão é aprender a utilizar a equação para temperatura e não ficar calculando reações de sistemas hiperestáticos, beleza?

Repara como não existem forças na horizontal... Então a nossa equação, não vai precisar do termo referente à normal:

P ¯ δ = ∫ α   ( t i - t e ) h M ¯ d s + ∫ α   t g N   ¯ d s

Retirando o termo da normal e colocando as constantes para fora da integral vamos ter:

P ¯ δ = α   ( t i - t e ) h ∫ M ¯ d s

Onde δ é o deslocamento que queremos calcular, P - é a força unitária, α e h o problema deu, assim como a variação da temperatura. Então só precisar achar a integral do momento fletor que é a própria área do diagrama de momento fletor.

Passo 3

Olhando novamente o diagrama nós temos:

Se acharmos o pontinho de interseção ali no eixo x acabou o problema. Então por semelhança vamos utilizar os lados apostos aos ângulos em preto e os lados referentes ao eixo x :

3   k N . m 1,5   k N . m = 3 - x   m x

x = 1   m

Agora a gente só precisa lembrar que o que está acima do eixo x é negativo e abaixo positivo, até mesmo para a área. Então vamos ter:

A = ∫ M -   d x = ( 1 ) ( 1,5 ) 2 - 5 3 2 = 6,75

Passo 4

Agora é só jogar na equação:

P ¯ δ = α   ( t i - t e ) h ∫ M ¯ d s

1 . δ = 10 - 5   35 0,5 × 6,75

δ = 4,725   m m   ( p a r a   b a i x o )

Por que para baixo? Porque achamos um valor positivo, ou seja, condizente com a força unitária para baixo.

Resposta

δ = 4,725   m m   ( p a r a   b a i x o )