Exercícios Resolvidos de Cálculo de Resistência com Integrais

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Enunciado

Um cilindro de comprimento L = 1,50   m e raio r = 1,10   c m é feito de uma mistura complexa de materiais. Sua resistividade depende da distância x da extremidade esquerda e obedece à fórmula

ρ x = a + b x 2   ,

em que a e b são constantes. Na extremidade esquerda, a resistividade é de 2,25   ×   10 - 8   Ω . m , e a do lado direito é de 8,50   × 10 - 8   Ω . m .

  1. Qual é a resistência desse bastão?
  2. Qual é o campo elétrico na metade do seu comprimento, se ele carregar uma corrente de 1,75   A ?
  3. Se cortarmos o bastao em dois segmentos de 75,0   c m , qual é a resistência de cada metade?

Passo 1

a) De acordo com a Figura abaixo, a resistência infinitesimal d R pode ser escrita como

d R = ρ x d x A = a + b x 2 d x π r 2   .

Onde a area A é a área da seção reta do cilindro que é um círculo:

A = π r 2

Agora, repara que a gente não conhece os valores das constantes a e b . Para encontrá-los, sabemos, pelo enunciado, que

ρ x = 0 = 2,25   ×   10 - 8   Ω . m = a

e que

ρ x = L = 8,50   × 10 - 8   Ω . m = a + b L 2   .

Resolvendo a última equação acima utilizando o valor de a obtido com ρ x = 0 = a , temos

a = 2,25   ×   10 - 8   Ω . m     ;     b = 2,78   ×   10 - 8   Ω . m   .

Portanto,

ρ x = a x + b

ρ x = 2,25 × 10 - 8 + 2,78 × 10 - 8 x

Essa é a nossa expressão para a resistividade!

Passo 2

Substituindo os valores das constantes na integral e integrando em todo o comprimento L do cilindro teremos:

R = 1 π r 2 ∫ 0 L 2,25 × 10 - 8 + 2,78 × 10 - 8 x 2 d x   ,

onde tiramos o r da integral, pois esse valor é fixo ao longo de todo o cilindro. Ok? Fica atento, porque se fosse um tronco de cone, por exemplo, esse raio poderia variar ao longo do eixo O x . Mas aqui neste caso, r é fixo, o que facilita nossa vida…

Continuando com a integral acima, quando a resolvemos, obtemos que a resistência total do cilindro é

R = 1 π r 2 2,25 × 10 - 8 L + 2,78 × 10 - 8 L 3 3     .

Substituindo os valores do raio do cilindro r = 1,10 c m = 0,011 m e do comprimento L = 1,50 m , encontramos o valor da resistência R .

R = 1,71   ×   10 - 4   Ω   .

Passo 3

Passo 4

b) A gente viu que a lei de Ohm mostra que E = ρ J = ρ I A   , ou seja, ela mostra uma relação de proporcionalidade entre o campo elétrico E e densidade de corrente J . Mas o que precisamos encontrar neste item é o campo no ponto x = L / 2 , que é dado por

E x = L 2 = ρ x = L 2 J = ρ x = L 2 I A     .

Portanto, como I foi um valor dado I = 1,75 A e conhecemos a área, só precisamos encontrar a resistividade nesse ponto:

ρ x = 2,25 × 10 - 8 + 2,78 × 10 - 8 x

ρ x = L 2 = 2,25 × 10 - 8 + 2,78 × 10 - 8 L 2

E substituindo o valor do comprimento L = 1,50 m teremos:

ρ L 2 = 4,335 × 10 - 8

E assim, encontramos o campo elétrico

E x = L 2 = ρ x = L 2 I A   = 4,335 × 10 - 8 I π r 2

E substituindo o raio do cilindro r = 0,011 m e a corrente I = 1,75 A , teremos:

E x = L 2 =   2,00   ×   10 - 4 V m   .

Passo 5

c) Considerando que a primeira metade do cilindro tem resistência R 1 , teremos que mudar o limite superior de integração lá do Passo 1 para obter que

R 1 = 1 π r 2 ∫ 0 L 2 a + b x 2 d x = 1 π r 2 a L 2 + b L 3 24   .

Substituindo os valores do enunciado, teremos que

R 1 = 1 π r 2 a L 2 + b L 3 24 = 5,47   ×   10 - 5   Ω   .

Essa é a resistência da primeira metade do cilindro.

Agora, para obter qual é a resistência R 2 da segunda metade do cilindro que vai de x = L / 2 a x = L , a gente precisa subtrair R 1 da resistência total R , ou seja,

R 2 = R - R 1 = 17,1   ×   10 - 5 - 5,47   ×   10 - 5 = 11,6   ×   10 - 5   Ω .

Portanto, a segunda metade tem uma resistência maior que a primeira.

É claro que uma outra alternativa aqui é pegar a integral lá do Passo 1 e mudar o limite inferior de integração para x = L / 2 e o limite superior para x = L . Isso tem que dar o mesmo valor que a gente obteve acima e é uma boa forma de você também treinar o raciocínio.

Resposta

  1. R = 1,71   ×   10 - 4   Ω   .  
  2. E x = L 2 =   2,00   ×   10 - 4 V m   ;

R 1 = 1 π r 2 a L 2 + b L 3 24 = 5,47   ×   10 - 5   Ω     ;  

R 2 = R - R 1 = 11,6   ×   10 - 5   Ω   .

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