Exercícios Resolvidos de Cálculo de Resistência com Integrais

USP, P2 2014, Questão 1

A região entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios a e b com b > a é preenchida com um material de resistividade elétrica ρ r = C r 2 , onde r é a distância até o centro O das cascas esféricas e C é uma constante.

Ligando-se uma bateria às cascas esféricas como na figura observa-se uma corrente I no sentido indicado.

  1. Calcule o vetor densidade de corrente J na região entre as cascas a < r < b .
  2. Usando a lei de Ohm, determine o vetor campo elétrico entre as cascas esféricas.
  3. Calcule a resistência desse sistema em função de C , a e b .

Passo 1

  1. Calcule o vetor densidade de corrente J na região entre as cascas a < r < b .
  2. Sabendo que a corrente sai da placa maior da fonte (ali na esquerda da figura), corre o circuito e volta para a placa menor, a gente consegue ver que a corrente vai fluir da casca menor para a casca maior.

    Beleza! Além disso, a densidade de corrente está relacionada com a corrente através da seguinte equação:

    I = S   J d A

    Agora é só resolver a integral e acabou!

    Já sabemos que a resistividade depende de r ... logo, a densidade de corrente também vai depender de r .

    I = S   J r d A = J r S d A

    A integral S d A vai ser exatamente a área da superfície S , de raio r . Portanto:

    I = J r 4 π r 2

    J r = I 4 π r 2

    Ah! Você só não pode esquecer de um detalhe muito importante... o problema pediu pra calcular o vetor densidade de corrente. Então faltou especificarmos a direção e o sentido da corrente.

    A parada é que nós acabamos falando disso aqui em cima. Quando falamos que a corrente vai fluir da casca esférica menor para a casca esférica maior, no fundo nós falamos que a densidade de corrente tem a direção radial, apontando pra fora... do mesmo jeito que representamos na última figura.

    Portanto:

    J r = I 4 π r 2   r ^

    Passo 2

  3. Usando a lei de Ohm, determine o vetor campo elétrico entre as cascas esféricas.
  4. Vamos lá! A lei de Ohm nos permite relacionar a densidade de corrente com o campo elétrico através da seguinte equação:

    J = E ρ

    E = ρ J

    Onde ρ é a resistividade. Agora ficou fácil para nós!

    Só vamos ter o trabalho de substituir o que o problema nos disse e o que achamos no passo 1.

    E = C r 2 I 4 π r 2   r ^  

    E = C I 4 π   r ^

    Passo 3

  5. Calcule a resistência desse sistema em função de C , a e b .

Beleza... o melhor caminho pra calcular essa resistência é através da relação:

V = R I

Mas pra isso nós temos que encontrar a diferença de potencial V . Pô! Mas na letra (b) nós calculamos o campo elétrico, certo?

Show! Podemos relacionar o campo elétrico E com o potencial V pela expressão:

V = - E d r = - a b C I 4 π   d r = - C I 4 π a b d r  

V = C I b - a 4 π

Voltando pra nossa primeira relação:

R = V I

R = C b - a 4 π

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Resposta

  1. J r = I 4 π r 2 r ^

  2. E = C I 4 π   r ^

R = C b - a 4 π

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