Exercícios Resolvidos de Cálculo de Resistência com Integrais

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Enunciado

A resistividade de um semicondutor pode ser alterada adionando-se diferentes quantidades de impurezas. Uma barra de um semicondutor de comprimento L e seção reta de área A está ao longo do eixo O x , entre x = 0 e x = L . O material obedece à lei de Ohm e sua resistividade varia ao longo da barra, de acordo com a relação

ρ x = ρ 0 exp ⁡ ( - x / L )   .

A extremidade da barra para x = 0 está a um potencial V 0 mais elevado do que o potencial da extremidade x = L .

  1. Calcule a resistência total da barra e a corrente que flui através dela.
  2. Determine o módulo do campo elétrico E ( x ) na barra em função de x .
  3. Calcule o potencial V ( x ) .

Passo 1

a) Como mostramos na Figura abaixo, o que temos é um material com área A constante, com resistividade ρ ( x ) que varia exponencialmente ao longo do eixo O x .

Por isso, o elemento de resistência d R , quando integrado de x = 0 a x = L , resulta em

d R = ρ x d x A = ρ 0 exp ⁡ - x L A d x ⇒ R L = ρ 0 A ∫ 0 L exp ⁡ - x L d x   .

Aqui, a área A foi retirada da integral porque é constante ao longo de todo o comprimento da barra. Fica atento a isso, porque podem aparecer exercícios na sua vida aí em que a área pode mudar!!!

Voltando lá na integral e resolvendo, a gente chega em

R L = ρ 0 L A 1 - e - 1   ,

que R L , nesse caso, fornece o valor da resistência total da barra de comprimento L .

Com isso, a corrente é obtida como

I = V 0 R L = V 0 A ρ 0 L 1 - e - 1     .

Agora, para um valor de x arbitrário, temos que a resistência R ( x ) é dada por

R x = ρ 0 A ∫ 0 x exp ⁡ - x ' L d x ' ⇒ R x = ρ 0 L A    1 - exp - x L ⁡   .    

Passo 2

b) Sabemos, pela lei de Ohm, que

E x = ρ x J = ρ x I A ⇒ E x = ρ 0 exp ⁡ - x L V 0 A ρ 0 A L 1 - e - 1   ,

que, se simplificamos, teremos que

E x = V 0 L exp ⁡ - x L ( 1 - e - 1 )   .

Passo 3

c) Quando x = 0 , o enunciado fala para a gente que o potencial é V 0 . Após a corrente atravessar um comprimento x da barra, teremos uma queda de potencial igual a R x I por causa do material da barra. Portanto, o potencial V ( x ) depois de a corrente percorrer uma distância x da barra é dado por

V x = V 0 - R x I .

Substituindo os valores de R ( x ) e I que encontramos, teremos

V x = V 0 - ρ 0 L A   1 - exp ⁡ - x L   ⁡ V 0 A ρ 0 L 1 - e - 1   .  

Essa expressão simplificada fica assim

V x = V 0 exp ⁡ - x L - e - 1   ( 1 - e - 1 )     .

Resposta

  1. R x = ρ 0 L A   1 - exp - x L   ⁡   ;    
  2. E x = V 0 L exp ⁡ - x L ( 1 - e - 1 )   ;
  3. V x = V 0 exp ⁡ - x L - e - 1   ( 1 - e - 1 )   .

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