Exercícios Resolvidos de Cálculo de Resistência com Integrais

Ver Teoria

Enunciado

A região entre duas esferas concêntricas condutoras com raios a e b > a está preenchida por um material condutor com resistividade ρ constante.

a) Mostre que a resistência entre as esferas é dada por

R = ρ 4 π 1 a - 1 b .

b) Deduza uma expressão para a densidade de corrente em função do raio em termos da diferença de potencial V a b entre as esferas.

c) Mostre que o resultado da parte (a) se reduz a

R = ρ L A

quando a distância entre as esferas L = b - a é pequena.

Passo 1

a) A situação que a gente tem nesse caso é dado na Figura abaixo. Se a corrente atravessa a região entre as esferas condutoras no sentido radial, então ela atravessa uma área de A = 4 π r 2 e um elemento d r de comprimento.

Por isso, ao atravessar esse comprimento d r com área A = 4 π r 2 , a resistência oferecida à corrente nesse trajeto é dada por

d R = ρ d r 4 π r 2     .

Agora, para sabermos a resistência total, temos que integrar de a , raio da esfera interna, até b , que é o raio da esfera externa e isso nos dá que

R = ρ 4 π ∫ a b d r r 2     ⇒   R = ρ 4 π 1 a - 1 b .

Simplificando um pouco mais a expressão anterior, temos

R = ρ 4 π b - a a b .

Passo 2

b) Sabemos que a densidade J de corrente é dada por J = I / ( 4 π r 2 ) , sendo que r ( a ≤ r ≤ b ) é o raio de superfície esférica através da qual a corrente I passa.

Mas, como I = V a b / R e temos a resistência dada no item (a), a densidade de corrente pode ser reescrita como

J = I A = 1 4 π r 2     V a b R = V a b 4 π r 2 4 π a b ρ b - a     ,

expressão que simplificada resulta em

J = I A = V a b a b ρ b - a r 2     .

Passo 3

c) Fazendo a distância L = b - a pequena, temos que a resistência total R é dada por

R = ρ L 4 π a a + L ≈ ρ L 4 π a 2 = ρ L A i n t     ,

em que A i n t = 4 π a 2 é a área da esfera interna.

Resposta

  1. D e m o n s t r a ç ã o   n o   P a s s o   1   ;
  2. J = I A = V a b a b ρ b - a r 2   ;
  3. R = ρ L 4 π a a + L ≈ ρ L 4 π a 2 = ρ L A i n t     .

Exercícios de Livros Relacionados

O carbono tem um coeficiente de temperatura de resistividade negativo. Isso significa que a sua resistividade cai quando sua temperatura aumenta. Sua resistividade desapareceria completamente para alg