Exercícios Resolvidos de Cálculo de Resistência com Integrais

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 162-35

Na figura abaixo uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto de resistividade 731 Ω . m , raio menor a = 2,00 m m , raio maior b = 2,30 m m e comprimento L = 1,94 c m . A densidade de corrente é uniforme ao longo de uma seção reta perpendicular ao eixo do objeto. Qual é a resistência do objeto?

Passo 1

Então, pessoal! Temos mais um condutor, dessa vez em forma de tronco de cone.

Os dados foram:

ρ = 731 Ω . m

a = 2,00 m m

b = 2,30 m m

L = 1,94 c m

Só com isso a gente consegue calcular? Acho que sim, né? Vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A gente sabe, pela Lei de Ohm, que R = ρ L A .

Como a corrente ta fluindo entre as bases, deveremos usar:

d R = ρ ∫ d x A x

Mas e essa área em função de x aí como a gente calcula?

Cara, como o condutor diminui de raio linearmente fica até fácil de calcular, e com uma função bem tranquila, de 1° grau mesmo.

r = c x + d

É só achar essas constantes. Como a gente faz isso? Substituindo valores que a gente já sabe, as extremidades.

Considerando a origem , ou seja, x = 0 no ponto em que a seção tem raio a , teremos:

a = c . 0 + d

d = a

Quando x = L , teremos:

b = c . L + a

c = b - a L

Logo

r x = b - a L x + a

Passo 3

Como A x = π r x ² , teremos que:

A x = π . b - a L x + a ²

Agora usando a nossa integral linda lá, teremos:

R = ρ ∫ d x π . b - a L x + a ²

R = ρ π ∫ 0 L d x b - a L x + a ²

Vixe! Que feio! Mas lembra que isso aí era algo do tipo c x + d

R = ρ π ∫ 0 L d x c x + d ²

R = - ρ π . 1 c   . 1 c x + d 0 L = - ρ π . 1 b - a L . 1 b - a + a - 1 a = - ρ . L b - a π 1 b - 1 a

R = ρ L π b a

Substituindo os valores, encontraremos:

R = 9,81.10 5 Ω

Resposta

R = 9,81.10 5 Ω

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