Exercícios Resolvidos de Cálculo de Resistência com Integrais

Ver Teoria

Enunciado

Uma esfera condutora de raio a está no interior de uma casca esférica fina condutora de raio b . A esfera e a casca esférica são concêntricas e o espaço entre elas está preenchido com um material de resistividade ρ constante, conforme a figura. Uma corrente elétrica I , uniformemente distribuída através do material entre os condutores, flui da esfera interna para a casca esférica.

(a) Determine o vetor densidade de corrente J → na região entre os condutores ( a < r < b ).

(b) Calcule a diferença de potencial entre os condutores.

(c) Calcule a resistência elétrica entre os condutores.

(d) Calcule a resistência entre os condutores no limite em que b → ∞ .

Passo 1

Sabemos que a corrente elétrica I é o fluxo da densidade de corrente J → por uma certa superfície. Como a corrente I flui da esfera interna para a esfera externa, temos que a densidade de corrente deve estar na direção radial, ou seja, J → = J r ^ .

Pelo enunciado temos também que corrente elétrica é uniforme, ou seja, o fluxo da densidade de corrente por uma esfera de raio r ( a < r < b ) será I .

Assim a corrente I é dada por

I = ∫ J → . d A →

onde teremos d A → = s e n θ d θ d ϕ r 2 r ^ . Assim

I = J r 2 ∫ 0 π d θ s e n θ ∫ 0 2 π d ϕ

I = 4 π J r 2

J → ( r ) = I 4 π r 2 r ^

Passo 2

Como já sabemos a densidade de corrente na região entre os condutores e sabemos a resistividade do material ρ nessa região podemos calcular o campo elétrico usando a lei de Ohm com a sua cara menos simpática

J → = 1 ρ E → → E → = ρ J →

E → = ρ I 4 π r 2 r ^

Passo 3

Agora que temos o campo elétrico nessa região, podemos calcular a diferença de potencial

V b - V a = - ∫ a b E r d r

V b - V a = - ρ I 4 π r ^ ∫ a b 1 r 2 d r = ρ I 4 π 1 b - 1 a

O módulo V = | V b - V a | da diferença de potencial será dado por

V = ρ I 4 π b - a a b

Passo 4

Para calcular a resistência entre os condutores vamos usar a lei de Ohm com a sua cara mais simpática

R = V I = ρ I 4 π b - a a b I

R = ρ 4 π b - a a b

Passo 5

Agora temos que calcular a resistência no limite de b → ∞ . Para ver como ficaria, é só separar cada termo na resistência

R = ρ 4 π b - a a b = ρ 4 π 1 a - 1 b

No limite de b → ∞ só o segundo termo irá para 0 . Assim

R = ρ 4 π a

Resposta

  1. J → ( r ) = I 4 π r 2 r ^
  2. V = ρ I 4 π b - a a b
  3. R = ρ 4 π b - a a b
  4. R = ρ 4 π a

Exercícios de Livros Relacionados

O carbono tem um coeficiente de temperatura de resistividade negativo. Isso significa que a sua resistividade cai quando sua temperatura aumenta. Sua resistividade desapareceria completamente para alg