Exercícios Resolvidos de Cálculo de Resistência com Integrais

USP, P2 2015, Questão 1

Considere uma camada esférica condutora de raio interno a e raio externo b , conforme a figura.

A resistividade da camada cresce linearmente com a distância r ao centro O , sendo dada por

ρ r = α r ,

Onde α é uma constante positiva.

a ) Determine a dimensão da constante α no Sistema Internacional de Unidades.

b ) Calcule a resistência elétrica da camada esférica na direção radial.

c ) Uma diferença de potencial V   >   0 é aplicada entre as duas superfícies. Supondo que o potencial maior seja o da superfície interna, calcule a corrente e o vetor densidade de corrente.

Passo 1

a ) Determine a dimensão da constante α no Sistema Internacional de Unidades.

Vambora!

O α aparece na fórmula da resistividade dada pelo problema, certo?

ρ r = α r

A única coisa que temos que fazer é analisar as dimensões que sabemos aqui.

ρ r = Ω ∙ m

r = m

Logo:

ρ r = α r

Ω ∙ m = α ∙ m

α = Ω

Logo, a dimensão de α é Ohm.

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Passo 2

b ) Calcule a resistência elétrica da camada esférica na direção radial.

Como essa geometria é diferente da qual estamos acostumados, vamos começar pensando em uma camada infinitesimal, de resistência d R , espessura d r e área 4 π r 2 . Pela definição de resistência:

d R = ρ d r 4 π r 2

Agora ficou mais tranquilo... só temos que integrar esse cara nos limites a < r < b .

R = ∫ a b ρ d r 4 π r 2

O problema já nos disse que ρ r = α r , logo, substituindo na expressão acima:

R = ∫ a b α r d r 4 π r 2

R = α 4 π ∫ a b d r r

R = α 4 π ln ⁡ b a

Passo 3

c ) Uma diferença de potencial V   >   0 é aplicada entre as duas superfícies. Supondo que o potencial maior seja o da superfície interna, calcule a corrente e o vetor densidade de corrente.

Opa! Pra calcular a corrente ficou tranquilo, porque já temos a resistência e o problema falou da diferença de potencial V .

Então é só usar a Lei de Ohm e ser feliz.

I = V R = V α 4 π ln ⁡ b a

I = 4 π V α ln ⁡ b a

Passo 4

Se o potencial maior é o da superfície interna, isso quer dizer que a corrente flui da superfície interna para a superfície externa... isso que dizer que o vetor densidade de corrente J → r vai estar na direção radial, de dentro para fora.

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

J = I A

Como aqui a área vai depender do raio A = 4 π r 2 , basta substituir isso na fórmula acima.

Logo:

J → r = I 4 π r 2   r ^

Pra finalizar, basta substituir aqui a expressão que encontramos para a corrente ali em cima.

J → r = 1 4 π r 2   4 π V α ln ⁡ b a   r ^

Simplificando:

J → r = V α ln ⁡ b a r 2   r ^

Resposta

a )

A dimensão de α é Ohm Ω .

b )

R = α 4 π ln ⁡ b a

c )

I = 4 π V α ln ⁡ b a

J → r = V α ln ⁡ b a r 2   r ^

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