Exercícios Resolvidos de Cálculo de Resistência com Integrais

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Enunciado

Considere dois eletrodos esféricos concêntricos de raios a e b , conforme a figura. O meio resistivo entre os eletrodos é homogêneo com condutividade σ . Uma corrente I flui do eletrodo interno de raio a para o eletrodo externo de raio b através do meio resistivo.

  1. Calcule, em função da corrente I , o vetor densidade de corrente no meio resistivo a uma distância r do centro dos eletrodos a < r < b .
  2. Calcule a resistência do sistema ôhmico em função de a , b e σ .
  3. Qual o valor da diferença de potencial entre os eletrodos em função de a , b , σ e I ?

Passo 1

  1. Calcule, em função da corrente I , o vetor densidade de corrente no meio resistivo a uma distância r do centro dos eletrodos a < r < b .
  2. Sabendo que a corrente sai da placa maior da fonte (ali na esquerda da figura), corre o circuito e volta para a placa menor, a gente consegue ver que a corrente vai fluir da casca menor para a casca maior.

    Beleza! Além disso, a densidade de corrente está relacionada com a corrente através da seguinte equação:

    I = ∫ S   J → ∙ d A →

    Agora é só resolver a integral e acabou!

    Já sabemos que a resistividade depende de r ... logo, a densidade de corrente também vai depender de r .

    I = ∫ S   J r d A = J r ∫ S d A

    A integral ∫ S d A vai ser exatamente a área da superfície S , de raio r . Portanto:

    I = J r 4 π r 2

    J r = I 4 π r 2

    Ah! Você só não pode esquecer de um detalhe muito importante... o problema pediu pra calcular o vetor densidade de corrente. Então faltou especificarmos a direção e o sentido da corrente.

    A parada é que nós acabamos falando disso aqui em cima. Quando falamos que a corrente vai fluir da casca esférica menor para a casca esférica maior, no fundo nós falamos que a densidade de corrente tem a direção radial, apontando pra fora... do mesmo jeito que representamos na última figura.

    Portanto:

    J → r = I 4 π r 2   r ^

    Passo 2

  3. Calcule a resistência do sistema ôhmico em função de a , b e σ .
  4. Por definição, a condutividade é o inverso da resistividade:

    ρ = 1 σ

    Então basta usar a própria definição de resistência aqui:

    R = ∫ ρ A   d r

    Como estamos falando de cascas esféricas, A = 4 π r 2 , voltando pra fórmula acima:

    R = 1 4 π σ   ∫ a b d r r 2

    R = - 1 4 π σ   1 b - 1 a

    R = b - a 4 π σ a b

    Passo 3

  5. Qual o valor da diferença de potencial entre os eletrodos em função de a , b , σ e I ?

Agora não tem muito erro... sabemos que ali passa uma corrente I e logo ali em cima nós calculamos a resistência... então basta usar a relação:

V = R I

V = b - a 4 π σ a b   I

V = b - a I 4 π σ a b

Resposta

  1. J → r = I 4 π r 2   r ^

  2. R = b - a 4 π σ a b

V = b - a I 4 π σ a b

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