Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcinal – Caso Não Homogêneo

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2013.2, Questão 1

Considere a matriz M = 2 2 - 1 2 . Ache a solução geral do sistema

  X ' t = M X t + B t

Onde

B t = t 0

Passo 1

Agora temos um sistema não homogêneo, isso porque temos funções de t alí.

Lembra do passo a passo? Primeiro vamos encontrar B t

B t = t 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que resolver o sistema homogêneo equivalente que é

X ' = 2 2 - 1 2 X

Para isso começamos achando a matriz M

M = 2 2 - 1 2

Passo 3

Agora temos que achar o autovalores de M .

Lembra é só fazer

2 - λ 2 - 1 2 - λ = 0

2 - λ 2 - λ - 2 - 1 = 0

λ 2 - 2 2 λ + 2 + 2 = 0

λ 2 - 2 2 λ + 4 = 0

λ 1 = - - 2 2 + 2 2 2 - 4 1 4 2 1 = 2 2 + 8 - 16 2 = 2 2 + - 8 2 = 2 2 + 8 i 2 = 2 2 + 2 2 i 2 = 2 + 2 i

λ 2 = - - 2 2 - 2 2 2 - 4 1 4 2 1 = 2 2 - 8 - 16 2 = 2 2 - - 8 2 = 2 2 - 8 i 2 = 2 2 - 2 2 i 2 = 2 - 2 i

Esse é o caso de autovalores complexos, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 4

Como temos autovalores complexos o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e a t cos b t + i sen b t   λ 2 α + β = e a t cos b t - i sen b t

Com

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Isso nos diz que

a = 2

b = 2

Com os nossos valores vai ficar

2 + 2 i α + β = e 2 t cos 2 t + i sen 2 t   2 - 2 i α + β = e 2 t cos 2 t - i sen 2 t

Você deve estar pensando nesse maldito i , relaxa, vamos fazer o temos feito, começar subtraindo a primeira equação da segunda

2 + 2 i α - 2 - 2 i α = e 2 t cos 2 t + i sen 2 t - e 2 t cos 2 t - i sen 2 t

2 2 i α = 2 i e 2 t sen 2 t

α = 1 2 e 2 t sen 2 t

O valor de β vai ser

β = - 2 + 2 i α + e 2 t cos 2 t + i sen 2 t

β = - 2 + 2 i 1 2   e 2 t sen 2 t + e 2 t cos 2 t + i sen 2 t

β = - e 2 t sen 2 t - i e 2 t sen 2 t + e 2 t cos 2 t + i e 2 t sen 2 t

β = - e 2 t sen 2 t + e 2 t cos 2 t

Passo 5

A nossa solução vai ser

X = α A + β I C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = 1 2 e 2 t sen 2 t 2 2 - 1 2 + - e 2 t sen 2 t + e 2 t cos 2 t 1 0 0 1 C 1 C 2

X = 2 1 2 e 2 t sen 2 t 2 1 2 e 2 t sen 2 t - 1 2 e 2 t sen 2 t 2 1 2 e 2 t sen 2 t + - e 2 t sen 2 t + e 2 t cos 2 t 0 0 - e 2 t sen 2 t + e 2 t cos 2 t   C 1 C 2

X = e 2 t cos 2 t 2 2 e 2 t sen 2 t - 1 2 e 2 t sen 2 t e 2 t cos 2 t   C 1 C 2

X = C 1 e 2 t cos 2 t + 2 C 2 2 e 2 t sen 2 t - C 1 2 e 2 t sen 2 t + C 2 e 2 t cos 2 t

Passo 6

Vamos supor que a solução particular sejam dois polinômios de grau 1 que nem B t

Então

X p t = a t + b

Onde a e b são vetores

Podemos fazer

a = A B

b = C D

Assim fica mais fácil fazer as contas ali na frente.

X p = x p y p = A B t + C D

Repara que nenhuma dessas paradas está na solução da parte homogênea.

Agora temos que cálculo a derivada dessa parada

Passo 7

A derivada vai ficar

X p ' t = A B

Passo 8

Agora temos que substituir X P ' e X p no sistema.

A = 2 A t + C + 2 B t + D + t B = - A t + C + 2 B t + D

A = A 2 t + C 2 + 2 B t + 2 D + t B = - A t - C + 2 B t + 2 D

A = A 2 + 2 B + 1 t + C 2 + 2 D B = - A + 2 B t + - C + 2 D

Isso nos diz que

A = C 2 + 2 D

0 = A 2 + 2 B + 1

B = - C + 2 D

0 = - A + 2 B

Pela última equação temos que

A = 2 B

Substituindo na segunda equação vamos ter

0 = 2 B 2 + 2 B + 1

0 = 2 B + 2 B + 1

4 B = - 1

B = - 1 4

Então

A = - 2 4

Vamos agora para C e D , temos as duas equações que não usamos

A = C 2 + 2 D

B = - C + 2 D

Substituindo os valores de A e B

- 2 4 = C 2 + 2 D

- 1 4 = - C + 2 D

Vamos multiplicar a segunda por 2

- 2 4 = - C 2 + 2 D

Somando com a primeira

- 2 4 - 2 4 = 2 D + 2 D

- 2 2 = 4 D

D = - 2 8

Assim, o valor de C vai ser

C = 1 4 + 2 D

Então

C = 1 4 + 2 - 2 8

C = 1 4 - 2 8

C = 0

A solução particular vai ser

X p t = - 2 4 - 1 4 t + 0 - 2 8

Passo 9

A solução geral vai ser

X t = X h + X p

X t = C 1 e 2 t cos 2 t + 2 C 2 2 e 2 t sen 2 t - C 1 2 e 2 t sen 2 t + C 2 e 2 t cos 2 t + - 2 4 - 1 4 t + 0 - 2 8

Resposta

X t = C 1 e 2 t cos 2 t + 2 C 2 2 e 2 t sen 2 t - C 1 2 e 2 t sen 2 t + C 2 e 2 t cos 2 t + - 2 4 - 1 4 t + 0 - 2 8

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