Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Não Homogêneo

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Enunciado

Sejam

A = 5 - 1   3 1   e B = - 2 1   1 - 2  

a) Determine e A e e B .

b) Determine e A + B e decida se e A ⋅ e B = e A + B .

Passo 1

a) Cara, a gente quer aplicar a função e x numa matriz. Vamos usar o cálculo funcional para isso!

Para calcular e A , a gente precisa começar achando os autovalores de A :

A = 5 - 1   3 1  

Vamos usar a equação

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

5 - 1   3 1   - λ 0 0 λ = 0

5 - λ - 1 3 1 - λ = 0

Calculando esse determinante:

5 - λ 1 - λ + 3 = 0 ∴ λ 2 - 6 λ + 8 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau:

λ 1 = 2 ,     λ 2 = 4

Passo 2

Como a gente quer aplicar e x na matriz, a gente vai dizer que

f x = e x

E vamos definir o polinômio p x de grau 1 (porque nossa matriz é 2 × 2 ):

f x = p x = a x + b

Como nossos dois autovalores são reais e diferentes, vamos resolver esse sistema:

f λ 1 = p λ 1 f λ 2 = p λ 2 ∴ f 2 = p 2 f 4 = p 4 ∴ e 2 = 2 a + b e 4 = 4 a + b

Substraindo a primeira equação da segunda:

e 4 - e 2 = 4 a - 2 a + b - b ∴ a = e 4 - e 2 2

Substituindo na primeira:

e 2 = e 4 - e 2 + b ∴ b = 2 e 2 - e 4

Passo 3

Aí a gente substitui a e b em f x = p x :

f x = p x = a x + b

p x = e 4 - e 2 2 x + 2 e 2 - e 4

Para achar f A = e A , fazemos x = A e multiplicamos a parte constante pela matriz I d :

f A = p A = e 4 - e 2 2 5 - 1   3 1   + 2 e 2 - e 4 1 0   0 1  

p A = 5 e 4 - 5 e 2 2 - e 4 + e 2 2   3 e 4 - 3 e 2 2 e 4 - e 2 2   + 2 e 2 - e 4 0   0 2 e 2 - e 4  

p A = 3 e 4 - e 2 2 - e 4 + e 2 2   3 e 4 - 3 e 2 2 - e 4 + 3 e 2 2  

Daí finalmente temos:

e A = 3 e 4 - e 2 2 - e 4 + e 2 2   3 e 4 - 3 e 2 2 - e 4 + 3 e 2 2  

Passo 4

Para calcular e B , fazemos algo parecido. A gente precisa começar achando os autovalores de B :

B = - 2 1   1 - 2  

Vamos usar a equação

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

- 2 1   1 - 2   - λ 0 0 λ = 0

- 2 - λ 1 1 - 2 - λ = 0

Calculando esse determinante:

- 2 - λ - 2 - λ - 1 = 0 ∴ λ 2 + 4 λ + 3 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau:

λ 1 = - 1 ,     λ 2 = - 3

Passo 5

Como a gente quer aplicar e x na matriz, a gente vai dizer que

f x = e x

E vamos definir o polinômio p x de grau 1 (porque nossa matriz é 2 × 2 ):

f x = p x = a x + b

Como nossos dois autovalores são reais e diferentes, vamos resolver esse sistema:

f λ 1 = p λ 1 f λ 2 = p λ 2 ∴ f - 1 = p - 1 f - 3 = p - 3 ∴ e - 1 = - a + b e - 3 = - 3 a + b

Substraindo a primeira equação da segunda:

e - 1 - e - 3 = - a + 3 a + b - b ∴ a = e - 1 - e - 3 2

Substituindo na segunda:

e - 3 = - 3 e - 1 + 3 e - 3 2 + b ∴ b = 3 e - 1 - e - 3 2

Passo 6

Aí a gente substitui a e b em f x = p x :

f x = p x = a x + b

p x = e - 1 - e - 3 2 x + 3 e - 1 - e - 3 2

Para achar f B = e B , fazemos x = B e multiplicamos a parte constante pela matriz I d :

f B = p B = e - 1 - e - 3 2 - 2 1   1 - 2   + 3 e - 1 - e - 3 2 1 0   0 1  

p B = - 2 e - 1 + 2 e - 3 2 e - 1 - e - 3 2   e - 1 - e - 3 2 - 2 e - 1 + 2 e - 3 2   + 3 e - 1 - e - 3 2 0   0 3 e - 1 - e - 3 2  

p B = e - 1 + e - 3 2 e - 1 - e - 3 2   e - 1 - e - 3 2 e - 1 + e - 3 2  

Daí finalmente temos:

e B = e - 1 + e - 3 2 e - 1 - e - 3 2   e - 1 - e - 3 2 e - 1 + e - 3 2  

Passo 7

b) Vamos começar calculando A + B

A + B = 5 - 1   3 1   + - 2 1   1 - 2   = 3 0   4 - 1  

Aí é o mesmo rolê de antes. Começamos pelo determinante:

Vamos usar a equação

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

3 0   4 - 1   - λ 0 0 λ = 0

3 - λ 0 4 - 1 - λ = 0

Calculando esse determinante:

3 - λ - 1 - λ = 0 ∴ λ 1 = - 1 ,   λ 2 = 3

Passo 8

Como nossos dois autovalores são reais e diferentes, vamos resolver o sistema:

f λ 1 = p λ 1 f λ 2 = p λ 2 ∴ f - 1 = p - 1 f 3 = p 3 ∴ e - 1 = - a + b e 3 = 3 a + b

Substraindo a primeira equação da segunda:

e - 1 - e 3 = - a - 3 a + b - b ∴ a = - e - 1 + e 3 4

Substituindo na primeira:

e - 1 = e - 1 - e 3 4 + b ∴ b = 3 e - 1 + e 3 4

Passo 9

Aí a gente substitui a e b em f x = p x :

f x = p x = a x + b

p x = - e - 1 + e 3 4 x + 3 e - 1 + e 3 4

Para achar f A + B = e A + B , fazemos x = A + B e multiplicamos a parte constante pela matriz I d :

f A + B = p A + B = - e - 1 + e 3 4 3 0   4 - 1   + 3 e - 1 + e 3 4 1 0   0 1  

p A + B = - 3 e - 1 + 3 e 3 4 0   - e - 1 + e 3 e - 1 - e 3 4   + 3 e - 1 + e 3 4 0   0 3 e - 1 + e 3 4  

p A + B = e 3 0   - e - 1 + e 3 e - 1  

Daí finalmente temos:

e A ⋅ B = e 3 0   - e - 1 + e 3 e - 1  

Passo 10

Mas será que isso é igual e A ⋅ e B ?

Uma forma simples de fazer isso é ver se o termo da primeira linha e última coluna zera.

e A ⋅ e B = 3 e 4 - e 2 2 - e 4 + e 2 2   3 e 4 - 3 e 2 2 - e 4 + 3 e 2 2   ⋅ e - 1 + e - 3 2 e - 1 - e - 3 2   e - 1 - e - 3 2 e - 1 + e - 3 2  

e A ⋅ e B = … e 3 - 1 2 e + 1 2 e - 1   … …  

Como esse termo não zera, vemos que

e A ⋅ e B ≠ e A + B

Resposta

a)   e A = 3 e 4 - e 2 2 - e 4 + e 2 2   3 e 4 - 3 e 2 2 - e 4 + 3 e 2 2   ,     e B e - 1 + e - 3 2 e - 1 - e - 3 2   e - 1 - e - 3 2 e - 1 + e - 3 2  

b) e A + B = e 3 0   - e - 1 + e 3 e - 1   ,     e A ⋅ e B ≠ e A + B