Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcinal – Caso Não Homogêneo

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2017.1, Questão 4

Considere a matriz

A = 2 - 1 1 4

( a ) Determine a solução do sistema X ' t = A . X ( t ) .

b Determine a solução do sistema X ' t = A . X t + 0 e 2 t

Passo 1

( a ) O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo cálculo funcional.

X ' t = 2 - 1 1 4 X ( t )

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 2 - 1 1 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

2 - λ - 1 1 4 - λ = 0

2 - λ 4 - λ - - 1 . 1 = 0

λ 2 - 6 λ + 8 + 1 = 0

λ 2 - 6 λ + 9 = 0

λ 1 = λ 2 = 3

Esse é o caso de autovalores iguais, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores iguais o sistema para achar α e β vai ser

λ α + β = e λ t   α = t e λ t

Com os nossos valores vai ficar

3 α + β = e 3 t   α = t e 3 t

Já temos de cara o valor de α

α = t e 3 t

O valor de β vai ser

β = - 3 α + e 3 t

β = - 3 t e 3 t + e 3 t

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = t e 3 t 2 - 1 1 4 + - 3 t e 3 t + e 3 t 1 0 0 1 C 1 C 2

X = 2 t e 3 t - t e 3 t t e 3 t 4 t e 3 t + - 3 t e 3 t + e 3 t 0 0 - 3 t e 3 t + e 3 t C 1 C 2

X = - t e 3 t + e 3 t - t e 3 t t e 3 t t e 3 t + e 3 t C 1 C 2

Passo 5

Supondo que o valor inicial seja

X 0 = x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 )

Temos:

X 0 = - 0 e 0 + e 0 - 0 e 0 0 e 0 0 e 0 + e 0 C 1 C 2 = 1 0 0 1 C 1 C 2

X 0 = C 1 C 2 = x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 )

Passo 6

A solução vai ficar

X = - t e 3 t + e 3 t - t e 3 t t e 3 t t e 3 t + e 3 t x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 )

Passo 7

( b ) Para resolver isso, basta notar que esse sistema é não homogêneo, mas a parte homogênea dele nós acabamos de fazer 😊 A solução geral é da forma:

X t = X h t + X p t

E o nosso sistema é:

X ' t = 2 - 1 1 4 X t + 0 e 2 t

Sabendo que a nossa função g t = 0 e 2 t envolve exponencial, nada mais justo que chutar uma função exponencial como solução particular:

X p t = B e 2 t

Onde B é da forma:

B = a b

X p t = a b e 2 t

Importante notar que a nossa particular não está presente na homogênea, então podemos prosseguir com ela.

Passo 8

Agora vamos derivar e substituir no nosso sistema:

X p ' t = 2 a 2 b e 2 t

Substituindo:

2 a e 2 t 2 b e 2 t = 2 - 1 1 4 a e 2 t b e 2 t + 0 e 2 t

2 a e 2 t 2 b e 2 t = 2 a e 2 t - b e 2 t a e 2 t + 4 b e 2 t + 0 e 2 t

2 a e 2 t 2 b e 2 t = 2 a e 2 t - b e 2 t a e 2 t + 4 b e 2 t + e 2 t

Então temos duas equações:

2 a e 2 t = 2 a e 2 t - b e 2 t 2 b e 2 t = a e 2 t + 4 b e 2 t + e 2 t

Da primeira equação, temos:

2 a e 2 t = 2 a e 2 t - b e 2 t b = 0

Substituindo na segunda equação:

0 = a e 2 t + e 2 t a = - 1

Então:

X p t = - e 2 t 0

Passo 9

A solução geral é dada por:

X t = - t e 3 t + e 3 t - t e 3 t t e 3 t t e 3 t + e 3 t x 1 0 x 2 0 + - e 2 t 0

Resposta

a   X t = - t e 3 t + e 3 t - t e 3 t t e 3 t t e 3 t + e 3 t x 1 0 x 2 0

b   X t = - t e 3 t + e 3 t - t e 3 t t e 3 t t e 3 t + e 3 t x 1 0 x 2 0 + - e 2 t 0

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