Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Não Homogêneo

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Enunciado

a) Encontre a solução geral do PVI

X ' t = 2 3 2 - 3 2 - 1   X t ,

X 0 = 3 - 2

b) Faça o gráfico das soluções X t = x 1 t , x 2 t em função do tempo e discuta o comportamento do sistema conforme t → ∞ .

Passo 1

a) Cara, esse é um sistema homogêneo. A solução dele tem a cara:

X t = α A + β I ⋅ c 1 c 2

O que a gente precisa fazer é calcular α e β . Isso é uma questão para a gente resolver usando o cálculo funcional. Bora!

A gente precisa começar achando os autovalores de A , que é a matriz que aparece no sistema

A = 2 3 2 - 3 2 - 1  

Vamos usar a equação

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

2 3 2 - 3 2 - 1   - λ 0 0 λ = 0

2 - λ 3 2 - 3 2 - 1 - λ = 0

Calculando esse determinante:

2 - λ - 1 - λ + 9 4 = 0 ∴ λ 2 - λ + 1 4 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, achamos

λ = λ 1 = λ 2 = 1 2

Passo 2

Como nossos dois autovalores são iguais e reais, vamos resolver esse sistema para achar α e β :

λ α + β = e λ t α = t e λ t ∴ α 2 + β = e t 2 α = t e t 2

Temos já de cara que

α = t e t 2

Substituindo na primeira:

t e t 2 2 + β = e t 2 ∴ β = e t 2 - t e t 2 2

Passo 3

Agora é montar a nossa solução:

X t = α A + β I ⋅ c 1 c 2

Onde I é a matriz identidade. Aí fica:

X t = α 2 3 2 - 3 2 - 1   + β 1 0 0 1 ⋅ c 1 c 2

X t = t e t 2 2 3 2 - 3 2 - 1   + e t 2 - t e t 2 2 1 0 0 1 ⋅ c 1 c 2

X t = 2 t e t 2 3 2 t e t 2 - 3 2 t e t 2 - t e t 2   + e t 2 - t e t 2 2 0 0 e t 2 - t e t 2 2

X t = e t 2 + 3 2 t e t 2 3 2 t e t 2 - 3 2 t e t 2 e t 2 - 3 t e t 2 2   ⋅ c 1 c 2

Passo 4

Vamos aplicar

X 0 = 3 - 2

Em

X t = e t 2 + 3 2 t e t 2 3 2 t e t 2 - 3 2 t e t 2 e t 2 - 3 t e t 2 2   ⋅ c 1 c 2

X 0 = 1 0 0 1   ⋅ c 1 c 2 = 3 - 2

Daí

c 1 c 2 = 3 - 2

Nossa solução fica:

X t = X t = e t 2 + 3 2 t e t 2 3 2 t e t 2 - 3 2 t e t 2 e t 2 - 3 t e t 2 2   ⋅ 3 - 2

X t = 3 e t 2 + 9 2 t e t 2 - 2 t e t 2 - 9 2 t e t 2 - 2 e t 2 + 3 t e t 2

X t = 3 e t 2 + 5 2 t e t 2 - 3 2 t e t 2 - 2 e t 2

Uhul! Arrasamos!

Passo 5

b) Vamos calcular t → ∞

lim t → ∞ ⁡ X t = lim t → ∞ ⁡ 3 e t 2 + 5 2 t e t 2 - 3 2 t e t 2 - 2 e t 2 = ∞ - ∞

As componentes explodem para mais e para menos infinito.

Ele pediu também para esboçarmos x 1 t = 3 e t 2 + 5 2 t e t 2 e x 2 t = - 3 2 t e t 2 + 2 e t 2 . Essas duas curvas vão ter formatos parecidos.

Para esboçar elas, a gente lembra como é o esboço de uma solução do tipo y t = c 1 e r t + c 2 t e r t , com r > 0 . E leva em consideração o resultado dos nossos limites. Fica assim:

Repara que a verdinha é x 2 e explode para menos infinito, e a azul é a x 1 que explode para mais infinito.

Arrasamos!

Resposta

a)   X t = 3 e t 2 + 5 2 t e t 2 - 3 2 t e t 2 - 2 e t 2

b) lim t → ∞ ⁡ X t = ∞ - ∞