Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcinal – Caso Não Homogêneo

PUC-RJ, Cálculo 3, P2 2014.1, Questão 1

Considere o sistema

  X ' t = 3 1 - 1 3 X t + t t

  1. Ache a solução geral do sistema
  2. Ache a solução do sistema com condição inicial X 0 = 1 1

Passo 1

a )

Agora temos um sistema não homogêneo, isso porque temos funções de t alí.

Lembra do passo a passo? Primeiro vamos encontrar g t

g t = t t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que resolver o sistema homogêneo equivalente que é

X ' = 3 1 - 1 3 X

Para isso começamos achando a matriz A

A = 3 1 - 1 3

Passo 3

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

3 - λ 1 - 1 3 - λ = 0

3 - λ 3 - λ - 1 - 1 = 0

λ 2 - 6 λ + 9 + 1 = 0

λ 2 - 6 λ + 10 = 0

λ 1 = - - 6 + 6 2 - 4 1 10 2 1 = 6 + 36 - 40 2 = 6 + - 4 2 = 6 + 4 i 2 = 6 + 2 i 2 = 3 + i

λ 2 = - - 6 - 6 2 - 4 1 10 2 1 = 6 - 36 - 40 2 = 6 - - 4 2 = 6 - 4 i 2 = 6 - 2 i 2 = 3 - i

Esse é o caso de autovalores complexos, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 4

Como temos autovalores complexos o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e a t cos b t + i sen b t   λ 2 α + β = e a t cos b t - i sen b t

Com

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Isso nos diz que

a = 3

b = 1

Com os nossos valores vai ficar

3 + i α + β = e 3 t cos t + i sen t   3 - i α + β = e 3 t cos t - i sen t

Você deve estar pensando nesse maldito i , relaxa, vamos fazer o temos feito, começar subtraindo a primeira equação da segunda

3 + i α - 3 - i α = e 3 t cos t + i sen t - e 3 t cos t - i sen t

2 i α = 2 i e 3 t sen t

α = e 3 t sen t

O valor de β vai ser

β = - 3 + i α + e 3 t cos t + i sen t

β = - 3 + i e 3 t sen t + e - 2 t cos t + i sen t

β = - 3 e 3 t sen t - i e 3 t sen t + e 3 t cos t + i e 3 t sen t

β = - 3 e 3 t sen t + e 3 t cos t

Passo 5

A nossa solução vai ser

X h = α A + β I C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X h = e 3 t sen t 3 1 - 1 3 + - 3 e 3 t sen t + e 3 t cos t 1 0 0 1 C 1 C 2

X h = 3 e 3 t sen t e 3 t sen t - e 3 t sen t 3 e 3 t sen t + - 3 e 3 t sen t + e 3 t cos t 0 0 - 3 e 3 t sen t + e 3 t cos t C 1 C 2

X h = e 3 t cos t e 3 t sen t - e 3 t sen t e 3 t cos t C 1 C 2

X h = C 1 e 3 t cos t + C 2 e 3 t sen t - C 1 e 3 t sen t + C 2 e 3 t cos t

Passo 6

Vamos supor que a solução particular sejam dois polinômios de grau 1 que nem B t

Então

X p t = a t + b

Onde a e b são vetores

Podemos fazer

a = A B

b = C D

Assim fica mais fácil fazer as contas ali na frente.

X p = x p y p = A B t + C D

Repara que nenhuma dessas paradas está na solução da parte homogênea.

Agora temos que cálculo a derivada dessa parada

Passo 7

A derivada vai ficar

X p ' t = A B

Passo 8

Agora temos que substituir X P ' e X p no sistema.

A = 3 A t + C + B t + D + t B = - A t + C + 3 B t + D + t

A = 3 A t + 3 C + B t + D + t B = - A t - C + 3 B t + 3 D + t

A = 3 A + B + 1 t + 3 C + D B = - A + 3 B + 1 t + - C + 3 D

Assim vamos ter

0 = 3 A + B + 1

A = 3 C + D

0 = - A + 3 B + 1

B = - C + 3 D

Podemos achar A e B pela primeira e pela segunda equação, então vamos ter

3 A + B + 1 = 0

- A + 3 B + 1 = 0

Vamos multiplicar a segunda equação por 3

3 A + B + 1 = 0

- 3 A + 9 B + 3 = 0

Somando as equações

10 B + 4 = 0

B = - 4 10 = - 2 5

O valor de A vai ser

- A + 3 - 2 5 + 1 = 0

- A - 6 5 + 1 = 0

- A - 1 5 = 0

A = - 1 5

Falta achar C e D , ainda temos duas equações que não mechemos

A = 3 C + D

B = - C + 3 D

Vamos trocar os valores de A e B que achamos

- 1 5 = 3 C + D

- 2 5 = - C + 3 D

Vamos multiplicar a segunda equação por 3

- 6 5 = - 3 C + 9 D

Somando com a primeira vamos ter

- 6 5 - 1 5 = 3 C - 3 C + D + 9 D

- 7 5 = 10 D

D = - 7 50

Vamos agora achar C

- 2 5 = - C + 3 - 7 50

- 2 5 = - C - 21 50

C = 2 5 - 21 50

C = 20 - 21 50

C = - 1 50

A nossa solução particular vai ficar

X p t = - 1 5 - 2 5 t + - 1 50 - 7 50

Passo 9

A solução geral vai ser

X t = X h + X p

X t = C 1 e 3 t cos t + C 2 e 3 t sen t - C 1 e 3 t sen t + C 2 e 3 t cos t + - 1 5 - 2 5 t + - 1 50 - 7 50

Passo 10

b )

Vamos agora ao problema do valor inicial, ele disse que

X 0 = 1 1

Então

X 0 = C 1 e 3.0 cos 0 + C 2 e 3.0 sen 0 - C 1 e 3.0 sen 0 + C 2 e 3.0 cos 0 + - 1 5 - 2 5 0 + - 1 50 - 7 50

1 1 = C 1 C 2 + - 1 50 - 7 50

1 1 = C 1 - 1 50 C 2 - 7 50

Isso nos diz que

C 1 - 1 50 = 1

C 1 = 1 + 1 50

C 1 = 50 + 1 50

C 1 = 51 50

E

C 2 - 7 50 = 1

C 2 = 1 + 7 50

C 2 = 50 + 7 50

C 2 = 57 50

E a solução geral vai ser

X t = 51 50 e 3 t cos t + 57 50 e 3 t sen t - 51 50 e 3 t sen t + 57 50 e 3 t cos t + - 1 5 - 2 5 t + - 1 50 - 7 50

Ufa, terminamos, essa é a resposta final, se vocês chegaram até aqui meus parabéns essa questão da um trabalho do cão, se ficou alguma coisa confusa olha tudo de novo, é sempre bem parecido.

Resposta

  1. X t = C 1 e 3 t cos t + C 2 e 3 t sen t - C 1 e 3 t sen t + C 2 e 3 t cos t + - 1 5 - 2 5 t + - 1 50 - 7 50
  2. X t = 51 50 e 3 t cos t + 57 50 e 3 t sen t - 51 50 e 3 t sen t + 57 50 e 3 t cos t + - 1 5 - 2 5 t + - 1 50 - 7 50

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