Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcinal – Caso Não Homogêneo

PUC-RJ, Cálculo 3, P2 2012.2, Questão 2 item d

Considere o sistema de equações diferenciais:

y 1 ' = - y 1 - y 2 + e - t y 2 ' = 9 y 1 - y 2 + e - t ,     Y 0 = 1 1

Qual o lim t Y ( t ) ?

Passo 1

Para calcularmos lim t Y ( t ) temos que primeiro calcular Y ( t ) . Vamos utilizar o método do cálculo funcional para fazer isso. Escrevendo o nosso sistema na forma matricial.

y 1 ' y 2 ' = - 1 - 1 9 - 1 y 1 y 2 + e - t e - t

Para acharmos a solução geral temos que calcular a solução homogênea e a solução geral. Pelo nosso sistema podemos facilmente identificar a matriz A dos coeficientes do sistema e o vetor g ( t ) .

A = - 1 - 1 9 - 1

g t = e - t e - t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver o sistema homogêneo associado. Para isso vamos achar os autovalores da matriz A .

det A - λ I = 0

- 1 - λ - 1 9 - 1 - λ = 0

- 1 - λ 2 + 9 = 0

1 + 2 λ + λ 2 + 9 = 0

λ 2 + 2 λ + 10 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau achamos que

λ = - 1 ± 3 i

Passo 3

Como os autovalores são complexos vamos utilizar a nossa fórmula do cálculo funcional para calcular a solução da parte homogênea.

- 1 + 3 i α + β = e - t cos 3 t + i sen 3 t   - 1 - 3 i α + β = e - t cos 3 t - i sen 3 t

Analisando a parte real do sistema temos que.

- α + β = e - t cos 3 t

Analisando a parte imaginária do sistema temos que.

3 α = e - t sen 3 t

Sendo assim temos.

α = e - t sen 3 t 3 ,     β = e - t cos 3 t + e - t sen 3 t 3

Passo 4

A solução do sistema homogêneo será dada por.

Y h t = α t A + β t I C 1 C 2

Y h t = e - t sen 3 t 3 - 1 - 1 9 - 1 + e - t cos 3 t + e - t sen 3 t 3 1 0 0 1   C 1 C 2

Y h t = e - t cos 3 t - e - t s e n 3 t 3 3 e - t s e n 3 t e - t cos 3 t C 1 C 2

Vamos deixar esse vetor de constantes do jeito que ele está e vamos substituir ele só quando formos utilizar o valor inicial que foi dado.

Passo 5

A solução geral do sistema é dada por

Y t = Y h t + Y p ( t )

Agora para achar a solução particular, supomos que essa solução seja da forma

Y p t = C 3 e - t C 4 e - t

Passo 6

Portanto agora só a gente substituir esse chute no nosso sistema de equações diferenciais.

E ficamos com

- C 3 e - t - C 4 e - t = - 1 - 1 9 - 1 C 3 e - t C 4 e - t + e - t e - t

- C 3 e - t - C 4 e - t = - C 3 e - t - C 4 e - t + e - t 9 C 3 e - t - C 4 e - t + e - t

Portanto, ficamos com

- C 3 e - t = - C 3 e - t - C 4 e - t + e - t

- C 4 e - t = 9 C 3 e - t - C 4 e - t + e - t

Resolvendo esse sisteminha, achamos

C 4 = 1

C 3 = - 1 9

Então, a solução particular é dada por

Y p t = - e - t 9 e - t

E a solução geral fica:

Y t = e - t cos 3 t - e - t s e n 3 t 3 3 e - t s e n 3 t e - t cos 3 t C 1 C 2 + - e - t 9 e - t

Passo 7

Usando a condição inicial Y 0 = 1 1 , vamos achar as constantes C 1 e C 2 .

Bom,

1 1 = Y 0 = 1 0 0 1 C 1 C 2 + - 1 9 1

C 1 C 2 = 10 9 0

Ai a solução fica

Y t = e - t cos 3 t - e - t s e n 3 t 3 3 e - t s e n 3 t e - t cos 3 t 10 9 0 + - e - t 9 e - t

Y t = 10 e - t cos 3 t 9 - e - t 9 10 e - t s e n 3 t 3 + e - t

Passo 8

Para calcular o lim t Y ( t ) temos que calcular o limite em cada uma das linhas da matriz Y ( t )

Então

lim t 10 e - t cos 3 t 9 - e - t 9 = 10 9 lim t cos 3 t e t - 1 9 lim t e - t = 0

E

lim t 10 e - t s e n 3 t 3 + e - t = 10 3 lim t s e n 3 t e t + lim t e - t = 0

Logo,

lim t Y ( t ) = 0

Resposta

lim t Y ( t ) = 0

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