Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcinal – Caso Não Homogêneo

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2012.2, Questão 2

Considere o sistema de equações diferenciais:

y 1 ' = - y 1 - y 2 + e - t y 2 ' = 9 y 1 - y 2 + e - t

a) Escreva o sistema na forma matricial Y ' t = A Y t + b ( t ) e determine e A t .

b) Determine a solução geral do sistema.

c) Determine a condição inicial do sistema pela condição inicial Y 0 = 1 1 .

d) Qual o lim t Y ( t ) ?

Passo 1

a) Queremos escrever o sistema acima na forma:

Y ' t = A Y t + b ( t )

Primeiro repare que conseguimos facilmente o Y ' t e o b ( t ) olhando para o sistema.

Se Y t = y 1 y 2 então Y ' t = y ' 1 y ' 2 .

E b t = e - t e - t

Agora só nos falta achar a matriz A .

Bom, pelo sistema:

y 1 ' = - y 1 - y 2 + e - t y 2 ' = 9 y 1 - y 2 + e - t

Vemos que

A y 1 y 2 = - y 1 - y 2 9 y 1 - y 2 = - 1 - 1 9 - 1 y 1 y 2

Então,

A = - 1 - 1 9 - 1

E portanto, podemos escrever o sistema como

y ' 1 y ' 2 = - 1 - 1 9 - 1 y 1 y 2 + e - t e - t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, ainda temos que determinar o e A t .

Para isso vamos achar os autovalores da matriz A .

det A - λ I = 0

- 1 - λ - 1 9 - 1 - λ = 0

- 1 - λ 2 + 9 = 0

1 + 2 λ + λ 2 + 9 = 0

λ 2 + 2 λ + 10 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau achamos que

λ = - 1 ± 3 i

Passo 3

Como os autovalores são complexos com parte real não nula, temos que

e A t = α t A + β t I

Mas como A é diagonalizável temos que:

e - 1 + 3 i t = α - 1 + 3 i + β

e ( - 1 - 3 i ) t = α - 1 - 3 i + β

Lembrando que

e i x = cos x + i s e n ( x )

Temos

e - t cos 3 t + i e - t s e n 3 t = - α + 3 i α + β

e - t cos 3 t - i e - t s e n 3 t = - α - 3 i α + β

Fazenda a primeira equação menos a segunda, achamos que

2 i e - t s e n 3 t = 6 i α

α = e - t s e n 3 t 3

E portanto,

e - t cos 3 t + i e - t s e n 3 t = - e - t s e n 3 t 3 + i e - t s e n 3 t 3 + β

β = e - t cos 3 t + e - t s e n 3 t 3

Passo 4

Acabamos de achar o α e o β , daí só jogar os valores na fórmula:

e A t = α t A + β t I

e A t = - α t + β t - α t 9 α t - α t + β t

Então,

e A t = e - t cos 3 t - e - t s e n 3 t 3 3 e - t s e n 3 t e - t cos 3 t

Passo 5

b) A solução geral do sistema é dada por

Y t = Y h t + Y p ( t )

Onde Y h t é a solução homogênea do sistema e Y p ( t ) é a solução particular.

Bom, como descobrimos e A t na letra (a) , fica fácil achar a solução homogênea, é só fazer

Y h t = e A t C 1 C 2

Agora para achar a solução particular, supomos que essa solução seja da forma

Y p t = C 3 e - t C 4 e - t

Passo 6

Portanto agora só a gente substituir esse chute no nosso sistema de equações diferenciais.

E ficamos com

- C 3 e - t - C 4 e - t = - 1 - 1 9 - 1 C 3 e - t C 4 e - t + e - t e - t

- C 3 e - t - C 4 e - t = - C 3 e - t - C 4 e - t + e - t 9 C 3 e - t - C 4 e - t + e - t

Portanto, ficamos com

- C 3 e - t = - C 3 e - t - C 4 e - t + e - t

- C 4 e - t = 9 C 3 e - t - C 4 e - t + e - t

Resolvendo esse sisteminha, achamos

C 4 = 1

C 3 = - 1 9

Então, a solução particular é dada por

Y p t = - e - t 9 e - t

E a solução geral fica:

Y t = e A t C 1 C 2 + - e - t 9 e - t

Passo 7

c) Usando a condição inicial Y 0 = 1 1 , vamos achar as constantes C 1 e C 2 .

Bom,

1 1 = Y 0 = I C 1 C 2 + - 1 9 1

C 1 C 2 = 10 9 0

Ai a solução fica

Y t = e A t 10 9 0 + - e - t 9 e - t

Y t = e - t cos 3 t - e - t s e n 3 t 3 3 e - t s e n 3 t e - t cos 3 t 10 9 0 + - e - t 9 e - t

Y t = 10 e - t cos 3 t 9 - e - t 9 10 e - t s e n 3 t 3 + e - t

Passo 8

d) Para calcular o lim t Y ( t ) temos que calcular o limite em cada uma das linhas da matriz Y ( t )

Então

lim t 10 e - t cos 3 t 9 - e - t 9 = 10 9 lim t cos 3 t e t - 1 9 lim t e - t = 0

E

lim t 10 e - t s e n 3 t 3 + e - t = 10 3 lim t s e n 3 t e - t + lim t e - t = 0

Logo,

lim t Y ( t ) = 0

Resposta

a) y ' 1 y ' 2 = - 1 - 1 9 - 1 y 1 y 2 + e - t e - t

e A t = e - t cos 3 t - e - t s e n 3 t 3 3 e - t s e n 3 t e - t cos 3 t

b) Y t = e A t C 1 C 2 + - e - t 9 e - t

c) Y t = 10 e - t cos 3 t 9 - e - t 9 10 e - t s e n 3 t 3 + e - t

d) lim t Y ( t ) = 0

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