Interpolação por Sistema Linear

Resumo Completo

Introdução

Fala galera! Estamos entrando agora em Interpolação! Antes de começarmos mandando ver nos métodos numéricos vamos entender um pouco sobre o que exatamente significa interpolar. Imagina que você tem uma tabela com os seguintes valores:

E aí eu te pergunto, quem é f x ?? Se você tiver um bom raciocínio pode até conseguir perceber que f x = x 2 + 2 , mas e se não for uma função tão óbvia assim? Tipo e sin x + 3 x ln x ? Sem condições de adivinhar isso né haha.

Então nosso objetivo aqui em interpolação é, dado alguns pontos conhecidos de uma função, encontrarmos uma boa aproximação para ela. Mesmo nos casos em que já conhecemos a função pode ser interessante encontrarmos uma interpolação para ela que seja mais simples de se derivar ou integrar! E como fazemos isso?

Bom, vamos começar com uma definição importante. p n x é uma função de interpolação de grau n de f x se para n + 1 pontos x 0 , x 1 , , x n conhecidos (chamados nós de interpolação), temos:

  p n x 0 = f x 0   p n x 1 = f x 1   p n x n = f x n

Nós tiramos duas coisas daí. Primeiro que o valor da interpolação nos nós é o mesmo da função nos nós. Até aí tudo bem né? A segunda coisa é que precisamos de n + 1 nós para encontrarmos um polinômio de grau n . Sabe aquela história de que precisamos de 3 pontos para determinar uma parábola (grau 2 )? Então, é a mesma ideia, só extrapolamos para graus maiores.

Voltando ao problema, um palpite simples e que pode trazer bons resultados é ligar os pontos por uma reta, por exemplo. Imagine que queremos encontrar f 2,5 usando a tabela lá em cima. Como 2,5 = 2 + 3 2 , se aproximarmos nossa f x para uma reta, temos que f 2,5 = f 2 + f 3 2 = 8,5 . Substituindo o valor na função de fato temos f 2,5 = 2,5 2 + 2 = 8,25 . Não foi nenhuma maravilha de aproximação, mas não foi um erro tão grande né? Vou fazer um desenho pra você visualizar melhor o que a gente fez agora:

Temos que a linha laranja é a nossa função, os pontos azuis são os pontos que conhecemos e as linhas azuis representam a aproximação linear que a gente fez. Deu pra ver que a aproximação é realmente razoável né?

Esse método, no entanto, é bem limitado e muito pouco confiável como podemos ver no exemplo abaixo com a função sin 9 x + cos 5 x - 0.3 :

Deu bem longe né? Mas, de acordo com nossa definição, essa aberração azul aí é uma função de interpolação! Só não é uma muito boa haha. Então agora que já sabemos com o que estamos lidando vamos aos métodos!

Interpolação Polinomial

A primeira coisa que tenho que te falar é que os métodos que veremos serão de Interpolação Polinomial. Ou seja, a função de interpolação que encontraremos será sempre um polinômio, apesar de existirem outras formas de interpolação como a exponencial e a trigonométrica.

Sendo assim, p n x pode ser escrita como:

p n x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n

E também sabemos que p n x i = f x i , para todo i de 0 a n . Então, podemos escrever o sistema:

a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 + + a n x 0 n = f x 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 1 2 + + a n x 1 n = f x 1 a 0 + a 1 x n + a 2 x n 2 + + a n x n n = f x n

Passando pra forma de matriz ficamos com:

1 x 0 x 0 2 x 0 n 1 x 1 x 1 2 x 1 n 1 x n x n 2 x n n a 0 a 1 a 2 a n = f x 0 f x 1 f x n

E temos que se todos os x i forem diferentes, nosso sistema terá uma solução única. Ou seja, existe apenas um polinômio p n x de grau n que interpola f x nos n + 1 pontos conhecidos.

E a primeira forma de achar esse polinômio nós acabamos de ver aqui haha. É só resolver esse sistema! Vamos ver um exemplo:

Encontre o polinômio que interpola os pontos da tabela abaixo:

Como temos 3 nós de interpolação, nosso polinômio será de grau 2 :

p 2 x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

Para que p 2 x interpole f x precisamos que:

p 2 - 1 = f - 1 a 0 + a 1 - 1 + a 2 - 1 2 = 4

p 2 0 = f 0 a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 = 1

p 2 2 = f 2 a 0 + a 1 2 + a 2 2 2 = 3

Então ficamos com:

a 0 - a 1 + a 2 = 4 a 0 = 1 a 0 + 2 a 1 + 4 a 2 = 3       I I I I I I

I I I :

1 - a 1 + a 2 = 4

a 1 = 1 + a 2 - 4       I V

I I , I V I I I :

1 + 2 a 2 - 3 + 4 a 2 = 3

6 a 2 = 8

a 2 = 4 3       V

V I V :

a 1 = 4 3 - 3

a 1 = - 5 3

Logo, temos que:

p 2 x = 1 - 5 x 3 + 4 x 2 3

Bem tranquilo né? O único cuidado que precisamos ter aqui é com a nossa matriz de coeficientes. Lembra que nos métodos de solução de sistemas lineares tínhamos uma série de problemas como, por exemplo, o pivô ser zero ou próximo de zero?

Então imagina se sua matriz de coeficientes só tiver números próximos de zero! Tipo assim:

1 0.001 0.002 1 0.003 0.005 1 0.007 0.007 a 0 a 1 a 2 17 - 5 7

Nós provavelmente não chegaríamos a uma função de interpolação devido aos problemas nos métodos de solução de sistemas lineares. Mas relaxa que vamos nos preocupar com isso mais pra frente haha.

Algoritmo

Naturalmente nós teríamos o nosso algoritmo aqui né? Mas repare que o que fazemos essencialmente aqui é resolver um sistema linear!

Só o que precisamos fazer é passar um conjunto de pontos (nossos nós de interpolação) para a forma de um sistema e jogar nos nossos métodos de solução de sistemas lineares que já estão com os algoritmos bonitinhos lá pra vocês ;)

Então bora fazer exercício.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 256, exercício 1a.

Dada a tabela abaixo, calcule e 3.1 usando um polinômio de interpolação sobre três pontos.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como queremos saber o valor de f x em 3.1 , vamos escolher 3 pontos próximos de 3.1 . E como estamos interpolando usando 3 pontos chegaremos a um polinômio de segundo grau:

p 2 x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

E como o polinômio interpolador deve ter o mesmo valor da função nos nós de interpolação:

p 2 2.8 = e 2.8 a 0 + a 1 2.8 + a 2 2.8 2 = 16.44

p 2 3.0 = e 3.0 a 0 + a 1 3.0 + a 2 3.0 2 = 20.08

p 2 3.2 = e 3.2 a 0 + a 1 3.2 + a 2 3.2 2 = 24.53

Agora passando para a forma matricial:

1 2.8 7.84 1 3.0 9.0 1 3.2 10.24 a 0 a 1 a 2 = 16.44 20.08 24.53

Passo 2

Agora calculamos esse sistema aí da forma que achar melhor. Vamos por eliminação de Gauss:

1 2.8 7.84 1 3.0 9.0 1 3.2 10.24 16.44 20.08 24.53 L 2 L 2 - L 1 L 3 L 3 - L 1 1 2.8 7.84 0 0.2 1.16 0 0.4 2.4 16.44 3.64 8.09 L 3 L 3 - 2 L 2 1 2.8 7.84 0 0.2 1.16 0 0 0.08 16.44 3.64 0.81

Disso temos:

a 2 = 0.81 0.08 = 10.125

0.2 a 1 = 3.64 - 1.16 10.125

a 1 = - 40.525

a 0 = 16.44 - 2.8 - 40.525 - 7.84 10.125

a 0 = 50.53

p 2 x = 50.53 - 40.525 x + 10.125 x 2

Passo 3

Show, achamos o polinômio interpolador, mas nosso trabalho não terminou ainda! Temos que jogar o 3.1 na função:

p 2 3.1 = 50.53 - 40.525 3.1 + 10.125 3.1 2

p 2 3.1 = 22.20375

Resposta

p 2 3.1 = 22.20375

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Lista 4 – Professor Mauro – UFRJ – Questão 6a

Considere a tabela abaixo:

Usando um Polinômio Interpolador de grau dois, calcule a altura aproximada de uma pessoa com peso de 70   k g .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Pra ficar mais fácil da gente visualizar vamos botar em ordem crescente de peso:

Altura c m

163

173

178

183

188

Peso k g

63

69

73

79

82

Como ele quer um polinômio interpolador de grau dois precisamos escolher 3 pontos. Vamos usar:

x 0 = 63

x 1 = 69

x 2 = 73

Então temos:

p 2 63 = f 63 a 0 + a 1 63 + a 2 63 2 = 163

p 2 6 9 = f 69 a 0 + a 1 69 + a 2 69 2 = 1 7 3

p 2 7 3 = f 73 a 0 + a 1 73 + a 2 73 2 = 1 78

Passando para a forma matricial:

1 63 3969 1 69 4761 1 73 5329 a 0 a 1 a 2 = 163 173 178

Passo 2

Agora calculamos esse sistema aí da forma que achar melhor. Vamos por eliminação de Gauss:

1 63 3969 1 69 4761 1 73 5329 163 173 178 L 2 L 2 - L 1 L 3 L 3 - L 1 1 63 3969 0 6 792 0 10 1360 163 10 15 L 3 L 3 - 5 3 L 2 1 63 3969 0 6 792 0 0 40 163 10 - 5 3

Disso temos:

a 2 = - 5 120 = - 0.04 17

6 a 1 = 10 - 792 - 0.04 17

a 1 = 7.16 6 7

a 0 = 163 - 63 7.16 6 7 - 3969 - 0.04 17

a 0 = - 123.125

p 2 x = - 123.125 + 7.16 6 7 x - 0.04 17 x 2

Passo 3

Agora jogamos os 70 quilos na nossa função:

p 2 70 = - 123.125 + 7.1667 ( 70 ) - 0.0417 70 2

p 2 70 = 174.214

Resposta

p 2 70 = 174.214

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 114, exercício 1 adaptada.

Para as funções f x abaixo, sejam x 0 = 0 , x 1 = 0.6 e x 2 = 0.9 . Encontre funções de interpolação de grau 1 e 2 para aproximar f 0.45 e encontre o erro absoluto.

a f x = cos x

b f x = 1 + x

c f x = ln x + 1

d f x = tan x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Vamos encontrar o valor de f x nos pontos dados:

f x 0 = cos 0 = 1

f x 1 = cos 0.6 = 0.82534

f x 2 = cos 0.9 = 0.62161

Vamos usar os pontos 0.6 e 0 para a função de interpolação de grau 1 :

a 0 + a 1 0.6 = 0.82534

a 0 + a 1 0 = 1

Logo,

a 0 = 1

a 1 = - 0.2911

Então,

p 1 x = 1 - 0.2911 x

Calculando o valor em 0.45 :

p 1 0.45 = 0.86901

O erro absoluto é:

E A = p 1 0.45 - f 0.45 = 0.03144

Passo 2

Agora usamos os 3 pontos para encontrarmos o polinômio interpolador de grau 2 :

a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 = 1

a 0 + a 1 0.6 + a 2 0.6 2 = 0.82534

a 0 + a 1 0.9 + a 2 0.9 2 = 0.62161

Passando pra forma matricial e já aproveitando que a 0 = 1 da primeira equação.

0.6 0.36 0.9 0.81 - 0.17466 - 0.37839 L 2 L 2 - 1.5 L 1 0.6 0.36 0 0.27 - 0.17466 - 0.1164

a 2 = - 0.43111

0.6 a 1 = - 0.17466 - 0.36 - 0.43111

a 1 = - 0.03243

Então,

p 2 x = 1 - 0.03243 x - 0.43111 x 2

Calculando o valor em 0.45 :

p 2 0.45 = 0.89811

O erro absoluto é:

E A = p 2 0.45 - f 0.45 = 0.00234

Passo 3

Vamos encontrar o valor de f x nos pontos dados:

f x 0 = 1 + 0 = 1

f x 1 = 1 + 0.6 = 1.26491

f x 2 = 1 + 0.9 = 1.3784

Vamos usar os pontos 0.6 e 0 para a função de interpolação de grau 1 :

a 0 + a 1 0.6 = 1.26491

a 0 = 1

Logo,

a 0 = 1

a 1 = 0.44152

Então,

p 1 x = 1 + 0.44152 x

Calculando o valor em 0.45 :

p 1 0.45 = 1.19868

O erro absoluto é:

E A = p 1 0.45 - f 0.45 = 0.00548

Passo 4

Agora usamos os 3 pontos para encontrarmos o polinômio interpolador de grau 2 :

a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 = 1

a 0 + a 1 0.6 + a 2 0.6 2 = 1.26491

a 0 + a 1 0.9 + a 2 0.9 2 = 1.3784

Passando pra forma matricial e já aproveitando que a 0 = 1 da primeira equação.

0.6 0.36 0.9 0.81 0.26491 0.3785 L 2 L 2 - 1.5 L 1 0.6 0.36 0 0.27 0.26491 - 0.01887

a 2 = - 0.06987

0.6 a 1 = 0.26491 - 0.36 - 0.06987

a 1 = 0.48344

Então,

p 2 x = 1 + 0.48344 x - 0.06987 x 2

Calculando o valor em 0.45 :

p 2 0.45 = 1.2034

O erro absoluto é:

E A = p 2 0.45 - f 0.45 = 7.6 × 10 - 4

Passo 5

Vamos encontrar o valor de f x nos pontos dados:

f x 0 = ln 1 + 0 = 0

f x 1 = ln 1 + 0.6 = 0.47

f x 2 = ln 1 + 0.9 = 0.64185

Vamos usar os pontos 0.6 e 0 para a função de interpolação de grau 1 :

a 0 + a 1 0.6 = 0.47

a 0 = 0

Logo,

a 0 = 0

a 1 = 0.78333

Então,

p 1 x = 0.78333 x

Calculando o valor em 0.45 :

p 1 0.45 = 0.3525

O erro absoluto é:

E A = p 1 0.45 - f 0.45 = 0.01906

Passo 6

Agora usamos os 3 pontos para encontrarmos o polinômio interpolador de grau 2 :

a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 = 0

a 0 + a 1 0.6 + a 2 0.6 2 = 0.47

a 0 + a 1 0.9 + a 2 0.9 2 = 0.64185

Passando pra forma matricial e já aproveitando que a 0 = 0 da primeira equação.

0.6 0.36 0.9 0.81 0.47 0.64185 L 2 L 2 - 1.5 L 1 0.6 0.36 0 0.27 0.47 - 0.06315

a 2 = - 0.23389

0.6 a 1 = 0.47 - 0.36 - 0.23389

a 1 = 0.92367

Então,

p 2 x = 0.92367 x - 0.23389 x 2

Calculando o valor em 0.45 :

p 2 0.45 = 0.36829

O erro absoluto é:

E A = p 2 0.45 - f 0.45 = 0.00327

Passo 7

Vamos encontrar o valor de f x nos pontos dados:

f x 0 = tan 0 = 0

f x 1 = tan 0.6 = 0,6841 4

f x 2 = tan 0.9 = 1.26016

Vamos usar os pontos 0.6 e 0 para a função de interpolação de grau 1 :

a 0 + a 1 0.6 = 0,6841 4

a 0 = 0

Logo,

a 0 = 0

a 1 = 1.1 402

Então,

p 1 x = 1.1402 x

Calculando o valor em 0.45 :

p 1 0.45 = 0.5 131

O erro absoluto é:

E A = p 1 0.45 - f 0.45 = 0.03 00

Passo 8

Agora usamos os 3 pontos para encontrarmos o polinômio interpolador de grau 2 :

a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 = 0

a 0 + a 1 0.6 + a 2 0.6 2 = 0,6841 4

a 0 + a 1 0.9 + a 2 0.9 2 = 1.26016

Passando pra forma matricial e já aproveitando que a 0 = 0 da primeira equação.

0.6 0.36 0.9 0.81 0,6841 4 1.26016 L 2 L 2 - 1.5 L 1 0.6 0.36 0 0.27 0.6 8 414 0 . 23395

a 2 = 0 . 86648

0.6 a 1 = 0.6 8 414 - 0.36 0 . 86648

a 1 = 0.6 2 034

Então,

p 2 x = 0.6 2 034 x + 0 . 86648 x 2

Calculando o valor em 0.45 :

p 2 0.45 = 0,45462

O erro absoluto é:

E A = p 2 0.45 - f 0.45 = 0 . 0284

Resposta

a p 1 x = 1 - 0.2911 x ; p 1 0.45 = 0.86901 ; E A = 0.03144

p 2 x = 1 - 0.03243 x - 0.43111 x 2 ; p 2 0.45 = 0.89811 ; E A = 0.00234

b p 1 x = 1 + 0.44152 x ; p 1 0.45 = 1.19868 ; E A = 0.00234

p 2 x = 1 + 0.48344 x - 0.06987 x 2 ; p 2 0.45 = 1.2034 ; E A = 7.6 × 10 - 4

c p 1 x = 0.78333 x ; p 1 0.45 = 0.3525 ; E A = 0.01906

p 2 x = 0.92367 x - 0.23389 x 2 ; p 2 0.45 = 0.36829 ; E A = 0.00327

d p 1 x = 1.1402 x ; p 1 0.45 = 0.5131 ; E A = 0.03 00

p 2 x = 0.62034 x + 0 . 86648 x 2 ; p 2 0.45 = 0,45462 ; E A = 0 . 0284

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Lista 4 – Professora Susana – Questão 11

Verifique que os polinômios p 1 x = 2 - x e p 2 x = x 2 - 4 x + 4 interpolam a tabela:

Explique porque isso não contradiz o teorema da existência e unicidade do polinômio interpolador.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Se os polinômios interpolam a tabela, então eles passam pelos pontos da tabela. Vamos verificar:

p 1 1 = 2 - 1 = 1 = y 1

p 1 2 = 2 - 2 = 0 = y 2

p 2 1 = 1 - 4 + 4 = 1 = y 1

p 2 2 = 4 - 8 + 4 = 0 = y 2

Passo 2

Beleza, mostramos que eles interpolam a tabela. Agora porque isso não contradiz o teorema da existência e unicidade?

Esse teorema diz que, dados n + 1 nós de interpolação x 0 , x 1 , , x n , se todos esses nós forem diferentes, nosso sistema terá uma solução única. Ou seja, existe apenas um polinômio p n x de grau n que interpola f x nos n + 1 pontos conhecidos.

Reparou que especificamos o grau de p n x ? Como no enunciado temos 2 nós de interpolação, então o teorema nos diz que existe uma única função de grau 1 que interpola esses nós. Ou seja, o fato de existir uma função do segundo grau não contradiz de maneira nenhuma o teorema.

Resposta

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 258, exercício 11 adaptado.

Construa uma tabela para a função f x = cos x usando os pontos: 0.8 , 0.9 , 1.0 , 1.1 , 1.2 e 1.3 . Obtenha um polinômio de grau 3 para estimar cos 1.07 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bora montar essa tabela então:

Queremos uma função interpoladora de grau 3 . Logo, precisamos escolher 4 pontos. Como queremos saber o valor de f x em 1.07 , vamos escolher os 4 pontos mais próximos dele. Ficamos então com:

p 3 0.9 = cos 0.9 a 0 + a 1 0.9 + a 2 0.9 2 + a 3 0.9 3 = 0.62161

p 3 1.0 = cos 1.0 a 0 + a 1 1.0 + a 2 1.0 2 + a 3 1.0 3 = 0.5403

p 3 1.1 = cos 1.1 a 0 + a 1 1.1 + a 2 1.1 2 + a 3 1.1 3 = 0.4536

p 3 1.2 = cos 1.2 a 0 + a 1 1.2 + a 2 1.2 2 + a 3 1.2 3 = 0.36236

Agora passando para a forma matricial:

1 0.9 0.81 0.729 1 1.0 1.00 1.000 1 1.1 1.21 1.331 1 1.2 1.44 1.728 a 0 a 1 a 2 a 3 = 0.62161 0.5403 0.4536 0.36236

Passo 2

Vamos calcular esse mostro então:

1 0.9 0.81 0.729 1 1.0 1.00 1.000 1 1.1 1.21 1.331 1 1.2 1.44 1.728 0.62161 0.5403 0.4536 0.36236 ~ 1 0.9 0.81 0.729 0 0.1 0.19 0.271 0 0.2 0.40 0.602 0 0.3 0.63 0.999 0.62161 - 0.08131 - 0.16801 - 0.25925 ~ 1 0.9 0.81 0.729 0 0.1 0.19 0.271 0 0 0.02 0.06 0 0 0.06 0.186 0.62161 - 0.08131 - 0.00539 - 0.01532 ~ 1 0.9 0.81 0.729 0 0.1 0.19 0.271 0 0 0.02 0.06 0 0 0 0.006 0.62161 - 0.08131 - 0.00539 0.00085

Daí temos que:

1 0.9 0.81 0.729 0 0.1 0.19 0.271 0 0 0.02 0.06 0 0 0 0.006 0.62161 - 0.08131 - 0.00539 0.00085

a 3 = 0.14167

0.02 a 2 = - 0.00539 - 0.06 0.14167

a 2 = - 0.6945

0.1 a 1 = - 0.08131 - 0.271 0.14167 - 0.19 - 0.6945

a 1 = 0.12253

a 0 = 0.62161 - 0.729 0.14167 - 0.81 - 0.6945 - 0.9 0.12253

a 0 = 0.97060

p 3 x = 0.97060 + 0.12253 x - 0.6945 x 2 + 0.14167 x 3

Passo 3

Agora jogamos 1.07 no nosso p 3 x :

p 3 1.07 = 0.48013

Resposta

x

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

f ( x )

0.69671

0.62161

0.5403

0.4536

0.36236

0.2675

p 3 x = 0.97060 + 0.12253 x - 0.6945 x 2 + 0.14167 x 3

p 3 1.07 = 0.48013

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