Enunciado

Seja a equação f ( x ) = x - x l n ( x ) = 0 .

Construa tabelas como as dos exemplos do final do capítulo para a raiz positiva dessa equação. Use ϵ = 1 0 - 5 .

Compare os diversos métodos considerando a garantia e rapidez de convergência e eficiência computacional em cada caso.

Passo 1

Fala aí pessoal, vamos começar essa questão daqui achando essa raíz por cada método possível!

Vamos dar uma olhada na f ( x ) . . .

Sabemos que x - x l n ( x ) = 0 ,

então:

x = x l n ( x )

l n ( x ) = 1

x = e

Agora a gente já sabe que nossa raiz tá entre 2 e 3 .

Passo 2

Vamos começar fazendo o método da bissecção, escolhendo o intervalo como [ 2,3 ] .

Aplicando o método da bissecção, a gente chega em:

x ̄ = 2.718276

f ( x ) = 0.4850915 × 1 0 - 5

e r r o   e m   x   = 0.15258789 × 1 0 - 4

n º   i t e r a ç ã o   = 16

Passo 3

Vamos agora, usar o método da posição falsa, com o intervalo [ 2,3 ] .

Aplicando o método, chegamos em:

x ̄ = 2.718277

f ( x ) = 0.4796514 × 1 0 - 5

e r r o   e m   x   = 0.2818186

n º   i t e r a ç ã o   = 4

Passo 4

Vamos agora, usar o método do ponto fixo, sabemos que :

f ( x ) = x - x l n ( x ) = 0

Precisamos achar uma função φ ( x ) , tal que:

φ ( x ) = x

Então:

x - x l n x = 0

x = x l n x

x x 2 = x l n x x 2

1 x = l n x x

x = x l n x

φ ( x ) = x = x l n x

Aplicando o método, com nossa φ ( x ) e x 0 = 2.5 chegamos em:

x ̄ = 2.718283

f ( x ) = - 0.6421441 × 1 0 - 10

e r r o   e m   x   = 0.1868436 × 1 0 - 4

n º   i t e r a ç ã o   = 3

Passo 5

Vamos agora, usar o método de Newton.

Primeiro temos nossa f ( x ) = x - x l n x = 0 .

Agora precisamos calcular a derivada,

f ' ( x ) = 1 - ( l n x + 1 ) = - l n x

Aplicando o método na fórmula, chegamos em:

x ̄ = 2.718282

f ( x ) = - 0.64214411 × 1 0 - 10

e r r o   e m   x   = 0.1868436 × 1 0 - 4

n º   i t e r a ç ã o   = 3

Passo 6

Vamos começar fazendo o método da secante, escolhendo x 0 = 2 e x 1 = 3 .

Aplicando o método da secante, a gente chega em:

x ̄ = 2.718283

f ( x ) = 0.6621836 × 1 0 - 8

e r r o   e m   x   = - 0.17101306 × 1 0 - 4

n º   i t e r a ç ã o   = 5

Passo 7

Agora é só montar a tabela!

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão ϵ = 1 0 - 4 x 2 - t g ( x ) = 0 2 c o s ( x ) = e x 2 x 5 - 6 = 0
Seja f ( x ) = e x - 4 x 2 e ξ sua raiz no intervalo (0,1). Tomando x 0 = 0.5 , encontre ξ com ϵ = 1 0 - 4 , usando:o MPF com φ ( x ) = 1 2 e x / 2 ;o método de Newton.Compare a rapidez de convergênci
Método de Newton Modificado:Existe uma modificação no método de Newton na qual a função de iteração φ ( x ) é dada por φ ( x ) = x - f ( x ) f ' ( x 0 ) onde x 0 é a aproximação inicial e é tal que f
Seja f ( x ) = x 2 2 + x ( l n ( x ) - 1 ) . Obtenha seus pontos críticos com o auxílio de um método numérico.
O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: s e n ( x ) = 0 c o s ( x ) + 1 = 0 Aplique o método de Newton com x 0 = 3 e precisão 1 0 - 7 em cada caso e compare os result