Enunciado

Usando o método de Newton determine, com precisão de 10 - 3 , uma raiz para cada um dos seguintes sistemas não lineares.

  1. { 3 x 2 y - y 3 = 4   x 2 + x y 3 = 9     c o m   x 0 , y 0 = ( 2 ; 2,5 )  
  2. { x 2 + y 2 - 1 = 0   x 2 + y 2 + 1 2 = 0     c o m   x 0 , y 0 = 1 ; 3  
  3. { x - 1 2 + y 2 = 4   x 2 + y - 1 2 = 4     c o m   x 0 , y 0 = ( 2 ; 1 )  

Passo 1

E aí galera do Responde Ai, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

Bem, a questão te fornece vários sistemas de equações de duas variáveis e te informa tanto a estimativa inicial quanto o critério de convergência para encontrar a solução.

Aí vem a pergunta, “Preciso fazer oque?”

Basicamente precisamos encontrar as soluções dos sistemas partindo de uma estimativa inicial que por sorte já foi dado na própria questão, que em geral é a parte mais complicada.

O método de resolução é o método de newton que foi adaptado para sistemas de equação não linear e a melhor forma de resolver questão de cálculo numérico é memorizar um roteirozinho de cálculo para sempre utilizar para nunca se perder nas contas.

O roteiro de cálculo é sempre o mesmo, precisamos realizar os passos abaixo seguidamente até encontrar o valor das soluções que corresponde a:

{ 3 x 2 y - y 3 = 4   x 2 + x y 3 = 9     c o m   x 0 , y 0 = ( 2 ; 2,5 )  

{ x 2 + y 2 - 1 = 0   x 2 + y 2 + 1 2 = 0     c o m   x 0 , y 0 = 1 ; 3  

{ x - 1 2 + y 2 = 4   x 2 + y - 1 2 = 4     c o m   x 0 , y 0 = ( 2 ; 1 )  

Portanto:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.
    1. f 1 , f 2   ≤ 1 E - 2 ≅ 0
  4. Quarto passo: Método de Newton
    1. Calcular as derivadas parciais
    2. Calcular os determinantes das matrizes
      1. D = ∂ f 1 ∂ x * ∂ f 2 ∂ y - ∂ f 2 ∂ x * ∂ f 1 ∂ y
      2. D 1 = f 2 ∂ f 1 ∂ y - f 1 ∂ f 2 ∂ y
      3. D 2 = f 1 ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ x f 2
  5. Quinto passo: Calcular o incremento
    1. Δ x 1 = D 1 D ,   Δ y 1 = D 2 D
    2. y 1 = Δ y 1 + y 1
    3. x 1 = Δ x 1 + x 1
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Vamos definir aqui que o critério de convergência é que dado por

f 1 , f 2   ≤ 1 E - 3 ≅ 0

Agora que temos o roteiro, vamos na pratica ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Vamos resolver o sistema i) e que dado pelo seguinte conjunto de equações:

f 1 = 3 x 2 y - y 3 - 4   f 2 = x 2 + x y 3 - 9     c o m   x 0 , y 0 = 2 ; 2,5  

Agora precisamos calcular as derivadas para o método de newton, gerando as seguintes equações:

∂ f 1 ∂ x = ∂ ∂ x 3 x 2 y - y 3 - 4 = 6 x y

∂ f 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + x y 3 - 9     = 2 x + y 3

∂ f 1 ∂ y = ∂ ∂ y 3 x 2 y - y 3 - 4 = 3 x 2 - 3 y 2

∂ f 2 ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + x y 3 - 9   = 2 x y 2

Agora que temos as derivadas parciais, vamos utilizar o roteiro que vimos anteriormente para encontrar as raízes.

Então, vamos utilizar a primeira estimativa:

( 2 ; 2,5 )

Vamos lá então.

  1. Primeiro passo: ( 2 ; 2,5 )
  2. Segundo passo:
    1. f 1 ( 2 ; 2,5 ) = 10,375
    2. f 2 ( 2 ; 2,5 ) = 26,35
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 36,35 , logo ( 2 ; 2,5 ) não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = 30
    2. ∂ f 1 ∂ y = - 6,75
    3. ∂ f 2 ∂ x = 19,625
    4. ∂ f 2 ∂ y = 37,5
    5. D = ∂ f 1 ∂ x * ∂ f 2 ∂ y - ∂ f 2 ∂ x * ∂ f 1 ∂ y = 1257,4688
    6. D 1 = f 2 ∂ f 1 ∂ y - f 1 ∂ f 2 ∂ y = - 566,25
    7. D 2 = f 1 ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ x f 2 = - 583,89
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x = D 1 D = - 0,4503  
    2. Δ y = D 2 D = - 0,4643
    3. x = 2 + Δ x ≅ 1,5496 ; y = 2,5 - D 2 D = 2,035
  6. Agora que terminamos o primeiro ciclo, vamos retornar para o passo número 1, que é dado por:

    1. Primeiro passo: 1,5496 ; 2,035
    2. Segundo passo:
      1. f 1 1,5496 ; 2,035 = 2,2305
      2. f 2 1,5496 ; 2,035 = 6,4741
    3. Terceiro passo:
      1. f 1 , f 2   = 6,4741 > 1 E - 3 . Logo temos que essas não são as raízes.
    4. Repetindo o passo de newton mais 4 vezes podemos chegar nos seguintes valores de ( x , y ) , sendo assim:

      x = 1,33635

      y = 1,7542

      Onde temos os seguintes valores das funções:

      f 1 = - 5 , 36 E - 6

      f 2 = 5,7 E - 5

      Que ambos são menores que o critério de convergência e essa é a solução do nosso problema.

      Passo 2

      Agora vamos de a mesma forma resolver a segunda equação:

      f 1 = x 2 + y 2 - 1 = 0   f 2 = x 2 + y 2 + 1 2 = 0     c o m   x 0 , y 0 = 1 ; 3  

      Calculando as derivadas, temos:

      ∂ f 1 ∂ x = 2 x

      ∂ f 2 ∂ x = 2 x

      ∂ f 1 ∂ y = 2 y

      ∂ f 2 ∂ y = 2 y

      Calculando o determinante jacobiano temos que:

      D = 4 x y - 4 x y = 0

      Portanto, esse sistema não pode ser resolvido pelo método de newton.

      Passo 3

      Agora vamos resolver o ultimo sistema de equações não lineares que é dado por:

      f 1 = x - 1 2 + y 2 - 4 = 0   f 2 = x 2 + y - 1 2 - 4 = 0     c o m   x 0 , y 0 = ( 2 ; 1 )  

      Para o método de newton vamos calcular as derivadas:

      ∂ f 1 ∂ x = 2 ( x - 1 )

      ∂ f 2 ∂ x = 2 x

      ∂ f 1 ∂ y = 2 y

      ∂ f 2 ∂ y = 2 ( y - 1 )

      Agora que temos as derivadas poderemos começar o método de newton.

      Então, vamos utilizar a primeira estimativa:

      ( 2 ; 1 )

      Vamos lá então.

    5. Primeiro passo: ( 2 ; 1 )
    6. Segundo passo:
      1. f 1 2 ; 1 = - 2
      2. f 2 ( 2 ; 1 ) = 0
    7. Terceiro passo:
      1. f 1 , f 2   = 2 , logo ( 2 ; 2,5 ) não é raiz.
    8. Quarto passo:
      1. ∂ f 1 ∂ x = 2
      2. ∂ f 1 ∂ y = 2
      3. ∂ f 2 ∂ x = 4
      4. ∂ f 2 ∂ y = 0
      5. D = ∂ f 1 ∂ x * ∂ f 2 ∂ y - ∂ f 2 ∂ x * ∂ f 1 ∂ y = - 8
      6. D 1 = f 2 ∂ f 1 ∂ y - f 1 ∂ f 2 ∂ y = 0
      7. D 2 = f 1 ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ x f 2 = - 8
    9. Quinto Passo:
      1. Δ x = D 1 D = 0  
      2. Δ y = D 2 D = 1
      3. x = 2 + D 1 D ≅ 2 ; y = 1 + D 2 D = 2

    Agora que terminamos o primeiro ciclo, vamos retornar para o passo número 1, que é dado por:

  7. Primeiro passo: 2 ; 2
  8. Segundo passo:
    1. f 1 2 ; 2 = 1
    2. f 2 2 ; 2 = 1
  9. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 1 > 1 E - 3 . Logo temos que essas não são as raízes.

Repetindo o passo de newton mais 2 vezes podemos chegar nos seguintes valores de ( x , y ) , sendo assim:

x = 1,8229

y = 1,8229

Onde temos os seguintes valores das funções:

f 1 = 0,00021

f 2 = 0,00021

Que ambos são menores que o critério de convergência e essa é a solução do nosso problema.

Grandinho né? Trabalhoso? Mas rlx, você vai conseguir. Sacou tudinho? Responde Aí e até a próxima.

Resposta

Todas as questões foram devidamente respondidas nos passos anteriores

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a equação 𝑥 − 5 𝑒 − 𝑥 = 0 . Obtenha a raiz positiva com quatro casas decimais corretas. Confirme que a ordem de convergência do método das secantes é 𝑝 ≈ 1.6818   .
Determinar todas as raízes do polinômio: 𝑃 𝑥 = 𝑥 3 − 5 𝑥 2 − 𝑥 + 5 = 0 , com precisão de 10 − 2 , usando o método de Newton e o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner para o cálculo da primeira raiz.
Usando o método de Newton determine, sem efetuar divisão, o valor numérico de 𝑥 = 1 3 com 3 casas decimais corretas, iniciando com 𝑥 0 = 0.3 .
Usando o método de Newton determine t (real), com erro relativo inferior a 10 − 2 , tal que a matriz:Seja singular.
Sejam C = (1, 0) e D = (0, 1). Usando o método de Newton para sistemas não lineares determine o valor de um ponto P = (x, y), com precisão de 10−3, que diste 2 unidades de C e de D, obtendo os valores