Enunciado

Usar o método de Newton-Bairstow para determinar as raízes de P x = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 4 partindo da divisão de P ( x ) por x 2 - x .

Passo 1

Opa galerinha do Responde Aí, meu nome é Jacyara e hoje vamos resolver mais uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te informa dois polinômios, que são dados por:

x 3 - 6 x 2 + 9 x - 4  

x 2 - x

E pede para encontrar as raízes pelo método de Bairstow utilizando o polinômio de grau 2 como divisor para a estimativa inicial.

Como temos que a estimativa inicial que é o ( r , s ) no método de Bairstow é dada através de

x 2 + r x + s

Temos que nossa estimativa inicial é dada por r , s = ( - 1,0 ) , além disso precisamos lembrar que o método de Bairstow é um método iterativo então precisamos das equações de interação que são dadas por:

a n = b n

b n - 1 = a n - 1 + r b n

b i = a i + r b i + 1 + s b i + 2

c n = b n

c n - 1 = c n - 1 + r c n

c i = b i + r c i + 1 + s c i + 2

Uma vez que esses coeficientes estão prontos, precisamos resolver as equações de correção simultânea para corrigir a estimativa inicial que são dadas por:

- b 0 = c 1 Δ r + c 2 Δ s

- b 1 = c 2 Δ r + c 3 Δ s

Para resolve-la vamos utilizar o método de Cramer que gera os seguintes resultados:

D = c 2 ⋅ c 2 - c 1 ⋅ c 3

D 1 = b 0 ⋅ c 3 - b 1 ⋅ c 2

D 2 = b 1 ⋅ c 1 - b 0 ⋅ c 2

Δ r = D 1 D

Δ s = D 2 D

E agora podemos estimar os novos valores de r , s que são dados por:

r = r + Δ r

s = s + Δ s

Então, podemos começar agora? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos dos coeficientes do polinômio que são dados por:

a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 4

Sendo assim temos:

a 3 = 1

a 2 = - 6

a 1 = 9

a 0 = - 4

Como vamos utilizar a estimativa inicial definida no passo anterior, aqui já vamos começar a primeira iteração, certinho?

Na primeira iteração ( i = 1 ) iremos precisar do c 3 , c 2 , b 3   e   b 2 devido que o P ( x ) é de grau 3   portanto, n = 3 .

b 3 = a 3 = 1

b 2 = a 2 + r b 3 = - 6 - 1 * 1 = - 7

b 1 = a 1 + r b 2 + s b 3 = 9 - 1 ⋅ ( - 7 ) + 0 ⋅ 1 = 16

b 0 = a 0 + r b 1 + s b 2 = - 4 - 1 ⋅ 16 + 0 ⋅ - 7 = - 20

c 3 = b 3 = 1 c 2 = b 2 + r c 3 = - 7 - 1 ⋅ 1 = - 8 c 1 = b 1 + r c 2 + s c 3 = 16 - 1 ⋅ ( - 8 ) + 0 ⋅ 1 = 24

Agora que temos os valores dos coeficientes, vamos para as equações de correção simultânea que são dadas por:

- 8 Δ r + Δ s = - 16

24 Δ r - 8 Δ s = 20

Resolvendo pelo método de Cramer temos:

D = c 2 ⋅ c 2 - c 1 ⋅ c 3 = 40

D 1 = b 0 ⋅ c 3 - b 1 ⋅ c 2 = 108

D 2 = b 1 ⋅ c 1 - b 0 ⋅ c 2 = 224

Δ r = D 1 D = 2,7

Δ s = D 2 D = 6,6

r = r + Δ r = 1,7

s = s + Δ s = 5,6

Medindo o erro entre os novos valores de r , s temos que:

Δ r r = 2,7 1,7 * 100 % ≅ 158 %

Δ s s = 5,6 5,6 100 % ≅ 100 %

Como o erro está muito alto, vamos precisar realizar mais um passo interativo.

Passo 3

Na primeira iteração ( i = 2 ) , vamos recalcular os coeficientes com a correção do passo anterior portanto, temos:

b 3 = a 3 = 1

b 2 = a 2 + r b 3 = - 6 + 1.7 ⋅ 1 = - 4.3

b 1 = a 1 + r b 2 + s b 3 = 9 + 1.7 ⋅ ( - 4.3 ) + 5.6 ⋅ 1 = 7.29

b 0 = a 0 + r b 1 + s b 2 = - 4 + 1.7 ⋅ 7.29 + 5.6 ⋅ ( - 4.3 ) = - 15.687

c 3 = b 3 = 1 c 2 = b 2 + r c 3 = - 4.3 + 1.7 ⋅ 1 = - 2.6 c 1 = b 1 + r c 2 + s c 3 = 7.29 + 1.7 ⋅ ( - 2.6 ) + 5.6 ⋅ 1 = 8.47

Agora que temos os valores dos coeficientes, vamos para as equações de correção simultânea que são dadas por:

- 2.6 Δ r + Δ s = - 7.29

8.47 Δ r - 2,6 Δ s = 15.687

Resolvendo pelo método de Cramer temos:

D = c 2 ⋅ c 2 - c 1 ⋅ c 3 = - 1.71

D 1 = b 0 ⋅ c 3 - b 1 ⋅ c 2 = 3.267

D 2 = b 1 ⋅ c 1 - b 0 ⋅ c 2 = 3.267

Δ r = D 1 D = 3.267

Δ s = D 2 D = - 12.2574

r = r + Δ r = - 0.2105

s = s + Δ s = - 6.6574

Medindo o erro entre os novos valores de r , s temos que:

Δ r r = 907.5 %

Δ s s = 184.1173 %

Como o erro está muito alto, vamos precisar realizar mais um passo interativo.

Passo 4

Na primeira iteração ( i = 3 ) , vamos recalcular os coeficientes com a correção do passo anterior portanto, temos:

b 3 = a 3 = 1

b 2 = a 2 + r b 3 = - 6 - 0.2105 ⋅ 1 = - 6.2105

b 1 = a 1 + r b 2 + s b 3 = 9 - 0.2105 ⋅ ( - 6.2105 ) - 6.6574 ⋅ 1 = 3.6501

b 0 = a 0 + r b 1 + s b 2 = - 4 - 0.2105 ⋅ 3.6501 - 6.6574 ⋅ ( - 6.2105 ) = 36.5773

c 3 = b 3 = 1 c 2 = b 2 + r c 3 = - 6.2105 - 0.2105 ⋅ 1 = - 6.4211 c 1 = b 1 + r c 2 + s c 3 = 3.6501 - 0.2105 ⋅ ( - 6.4211 ) - 6.6574 ⋅ 1 = - 1.6555

Agora que temos os valores dos coeficientes, vamos para as equações de correção simultânea que resolvendo pelo método de Cramer temos:

D = c 2 ⋅ c 2 - c 1 ⋅ c 3 = 42.8854

D 1 = b 0 ⋅ c 3 - b 1 ⋅ c 2 = 60.0149

D 2 = b 1 ⋅ c 1 - b 0 ⋅ c 2 = 228.8223

Δ r = D 1 D = 1.3994

Δ s = D 2 D = 5.3357

r = r + Δ r = 1.1889

s = s + Δ s = - 1.3217

Medindo o erro entre os novos valores de r , s temos que:

Δ r r = 117.7077 %

Δ s s = 403.6987 %

Como o erro está muito alto, vamos precisar realizar mais um passo interativo.

Passo 5

Na primeira iteração ( i = 4 ) , vamos recalcular os coeficientes com a correção do passo anterior portanto, temos:

b 3 = a 3 = 1

b 2 = a 2 + r b 3 = - 4.8111

b 1 = a 1 + r b 2 + s b 3 = 1.9584

b 0 = a 0 + r b 1 + s b 2 = 4.6871

c 3 = b 3 = 1 c 2 = b 2 + r c 3 = - 3.6222 c 1 = b 1 + r c 2 + s c 3 = - 3.6697

Agora que temos os valores dos coeficientes, vamos para as equações de correção simultânea que resolvendo pelo método de Cramer temos:

D = c 2 ⋅ c 2 - c 1 ⋅ c 3 = 16.7901

D 1 = b 0 ⋅ c 3 - b 1 ⋅ c 2 = 11.7808

D 2 = b 1 ⋅ c 1 - b 0 ⋅ c 2 = 9.791

Δ r = D 1 D = 0.7017

Δ s = D 2 D = 0.5831

r = r + Δ r = 1.8906

s = s + Δ s = - 0.7386

Medindo o erro entre os novos valores de r , s temos que:

Δ r r = 37.1137 %

Δ s s = 37.1137 %

Como o erro está muito alto, vamos precisar realizar mais um passo interativo.

Passo 6

Na primeira iteração ( i = 5 ) , vamos recalcular os coeficientes com a correção do passo anterior portanto, temos:

b 3 = a 3 = 1

b 2 = a 2 + r b 3 = - 4.1094

b 1 = a 1 + r b 2 + s b 3 = 0.4923

b 0 = a 0 + r b 1 + s b 2 = - 0.0342

c 3 = b 3 = 1 c 2 = b 2 + r c 3 = - 2.2189 c 1 = b 1 + r c 2 + s c 3 = - 4.4412

Agora que temos os valores dos coeficientes, vamos para as equações de correção simultânea que resolvendo pelo método de Cramer temos:

D = c 2 ⋅ c 2 - c 1 ⋅ c 3 = 9.3647

D 1 = b 0 ⋅ c 3 - b 1 ⋅ c 2 = 1.0582

D 2 = b 1 ⋅ c 1 - b 0 ⋅ c 2 = 2.2623

Δ r = D 1 D = 0.113

Δ s = D 2 D = - 0.2416

r = r + Δ r = 2.0036

s = s + Δ s = - 0.9801

Medindo o erro entre os novos valores de r , s temos que:

Δ r r = 5.64 %

Δ s s = 24.6479 %

Como o erro está muito alto, vamos precisar realizar mais um passo interativo.

Passo 7

Na primeira iteração ( i = 6 ) , vamos recalcular os coeficientes com a correção do passo anterior portanto, temos:

b 3 = a 3 = 1

b 2 = a 2 + r b 3 = - 3.9964

b 1 = a 1 + r b 2 + s b 3 = 0 . 0128

b 0 = a 0 + r b 1 + s b 2 = - 0.0573

c 3 = b 3 = 1 c 2 = b 2 + r c 3 = - 1.9929 c 1 = b 1 + r c 2 + s c 3 = - 4.9602

Agora que temos os valores dos coeficientes, vamos para as equações de correção simultânea que resolvendo pelo método de Cramer temos:

D = c 2 ⋅ c 2 - c 1 ⋅ c 3 = 8.9319

D 1 = b 0 ⋅ c 3 - b 1 ⋅ c 2 = - 0.0319

D 2 = b 1 ⋅ c 1 - b 0 ⋅ c 2 = - 0.1776

Δ r = D 1 D = - 0.0036

Δ s = D 2 D = - 0.0199

r = r + Δ r = 2

s = s + Δ s = - 1

Medindo o erro entre os novos valores de r , s temos que:

Δ r r = 0.1786 %

Δ s s = 1.9886 %

Aqui temos que o erro está próximo de 1 % vamos parar aqui a estimativa já está boa sendo assim, temos que as demais raízes são dadas por:

x = r ∓ r 2 + 4 * s 2 = 2 ± 4 + 4 ( - 1 )   2 = 1

Portanto, temos que existe duas raízes iguais que valem 1 e a terceira raiz pode ser encontrada dividindo:

x 3 - 6 x 2 + 9 x - 4 x - 1 2

Que irá gerar o polinômio

x - 4

Portanto, todas as raízes são dadas por x = 1,1 , 4

Resposta

x = 1,1 , 4

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