Isolamento de Raízes e Método Gráfico

Resumo Completo

Lá no 8° ano a Tia Marieta nos ensinou como achar as raízes ou os zeros de funções como f x = x + 1   ou f x = x 2 - x - 1   , que são funções do 1° e do 2° grau e a gente fez isso exaustivamente até a fórmula de bháskara ficar grudada no cérebro. Lembrou?

Tá, agora imagina aí se lá no meio da aula a Tia Marieta falasse:

Ei, turma! Valendo dois pontos na média:

Calcule para mim uma raiz da função f x = e x - 3 x ² ?

É! Se fosse depender disso, naquela época eu não ganharia nem 2 décimos.

Agora vamos aprender como resolver alguns problemas como esse pra nunca mais deixar passar esses 2 pontos. :D

Uma coisa que eu sei, é que a raiz de uma função é o valor de x pra que a minha função f ( x ) seja nula, certo? Logo:

e x - 3 x ² = 0

Tá! Eu não sei exatamente as raízes, mas um boa saída é tentar estimar valores pra f ( x ) pra ver se eles se aproximam de zero, certo?

Vamos, lá! Fazendo f 0 e f ( 1 ) teremos:

f 0 = e 0 - 3.0 2 = e 0 = 1

f 1 = e 1 - 3.1 2 = - 0,281

Opa, deu pra perceber o que aconteceu aqui? A minha função antes era positiva f 0 > 0 e logo depois passou a ser negativa f 1 < 0 . Isso significa que em algum momento a minha função teve que passar pelo zero, certo? Então podemos dizer que a nossa função possui uma raiz no intervalo [ 0,1 ] .

Saca só a figura abaixo:

Se eu tiver um número menor que zero ( nesse caso f ( 1 ) ) e multiplicar por um número maior que zero ( f ( 0 ) ), vamos encontrar um número menor que zero, certo?

Afinal 1 × - 0,28 = - 0,28

Traduzindo pro matematiquês, teremos:

f 0 . f 1 < 0

Isso a gente pode generalizar para todo e qualquer intervalo, e é isso que o Teorema de Bolzano nos fala:

Se acontecer o caso de f a . f b < 0 , dizemos que existe pelo menos uma raiz com valor igual a ξ ( x = ξ ) entre o intervalo [a,b].

Esse trabalho de localizar um intervalo o qual contém raízes é o que chamamos de isolar uma raíz.

Aí você me pergunta: Mas, como que eu sei se tem uma ou mais de uma raíz?

Dá uma olhada no gráfico.

Repara no gráfico no intervalo entre x = - 1 e x = + 1 , nesse intervalo temos duas raízes, certo?

Olhando a forma do gráfico, ele vai “subindo, chega num ponto máximo e logo depois volta a “descer.

Isso do gráfico subir e descer tem a ver com o sinal da derivada do gráfico, certo? Se a derivada é positiva, o gráfico está “subindo”, se a derivada é negativa, o gráfico está “descendo”.

Assim, pra que possamos afirmar que num intervalo só tem uma raiz, o sinal da derivada deve ser constante durante todo o intervalo, ou sempre positiva, ou sempre negativa.

Percebe lá entre o intervalo 3 e 4, o gráfico está sempre subindo, logo só temos no máximo uma raiz naquele intervalo.

Logo, se em um intervalo tiver uma raiz e o sinal de f ' ( x ) num intervalo dado [ a , b ] for preservado, teremos apenas uma única raiz.

Método Gráfico para Estimar Raízes.

Existe um método pra achar a aproximações de raízes a partir dos gráficos de duas funções.

Vamos lá pegar o exemplo que a professora nos desafiou. Lembra lá:

f x = e x - 3 x ²

Certo, pra calcular as raízes dessa função, basta igualar a função a zero. Logo:

e x - 3 x 2 = 0

Ou melhor:

e x = 3 x ²  

O valor da minha raiz é o x pra que essa igualdade seja feita, ou seja, é o ponto de encontro entre o gráfico de e x com o gráfico de 3 x ² . Faz sentido, né?

Nesse caso, teremos:

(IMPORTANTE: Você deve separar em duas expressões que você saiba o gráfico para que você consiga desenhar. Nesse exemplo eu poderia muito bem achar a igualdade e x x = 3 x . Eu mesmo não sei o gráfico de e x x , logo não conseguiria utilizar esse método pra achar as raízes.)

Tranquilo?

Como vocês podem ver, onde os gráficos se tocam é o mesmo lugar onde vimos que ficavam as raízes da função original. Saca só:

É, ainda tem a terceira raiz, alí próximo do x = 4 , mas como a professora me pediu apenas uma raiz, já conseguiríamos os dois pontos na média. :P

Só lembrando que aqui nós conseguimos estimar aproximações de raízes, utilizando gráficos e tal. Se quiséssemos fazer isso na mão, teríamos que usar réguas e deixar em escala pra achar o valor mais próximo possível da raiz.

Então tá! Revisando:

Passo 1: Igualar a minha f ( x ) a zero.

Passo 2: passar uma parte da função pro outro lado da igualdade de forma que eu chegue em duas expressões que eu sei o gráfico, algo do tipo h x = g x .

Passo 3: Traça os gráficos e marcar as intersecções.

Passo 4: Olhar no eixo x onde os gráficos se tocaram. Aquele ponto é uma raiz ξ da função.

Tudo tranquilo? Vamos exercitar, então?

#PartiuPassar

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 33, exemplo 1.

Determine um intervalo, de amplitude no máximo igual a 1, que contenha uma raiz da função abaixo:

f x = x 3 - 9 x + 3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Tá! Vamos lá!

Ele quer o intervalo de no máximo uma unidade cujo esteja localizada uma raiz dessa função. A gente pode notar que é uma equação do 3° grau, logo ela terá três raízes. Mas só precisamos achar o intervalo de apenas uma delas.

Vamos lá?

Passo 2

Primeira coisa a se fazer nesse casos é sair jogando alguns valores pra ver o sinal da função. Eu sugiro sempre iniciar colocando 0, 1 e -1. A maioria dos exercícios eles resolvem bem. Tranquilo?

Fazendo f ( 0 ) , teremos:

f 0 = 0 3 - 9.0 + 3 = 3

Agora fazendo f ( 1 ) , vai ficar:

f 1 = 1 3 - 9.1 + 3 = - 5

Opa, já achamos o intervalo então, pois pelo Teorema de Bolzano, teremos:

f 0 . f 1 = - 15

f 0 . f 1 < 0

Logo, teremos uma raiz no intervalo [ 0,1 ] que possui uma única unidade.

:D

Resposta

[ 0,1 ]

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Determine dois intervalos, de amplitude no máximo igual a 1, que contenha duas raízes da função abaixo:

f x = x 4 - 4 x 3 + x 2 + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Opa!

Nós temos a funçãozinha f x = x 4 - 4 x 3 + x 2 + 1 e ele quer dois intervalos de uma unidade que isole as duas raízes.

Passo 2

Começando. Vamos chutar os valores de praxe 0,1   e - 1 .

f 0 = 0 4 - 4.0 3 + 0 2 + 1 = 1

f 1 = 1 4 - 4.1 3 + 1 2 + 1 = - 1

Opa, mamãe! Já achamos o primeiro intervalo.

Não viu o porquê?

Temos que f 0 . f 1 = - 1

Logo f 0 . f 1 < 0 e pelo Teorema de Bolzano isso nos garante que existe uma raiz aí nesse intervalo, logo o primeiro intervalo é [ 0,1 ] .

Passo 3

Utilizando f ( - 1 ) , teremos:

- 1 4 - 4 . - 1 3 + - 1 2 + 1 = 7

É, o - 1 não dos deu nada, pois o intervalo de uma unidade mais próxima dele que já conhecemos é f 0 = 1 , que também é positivo. Logo, pelo Teorema de Bolzano 7.1 > 0 , o que não nos garante uma raiz por ali.

Vamos testar mais alguns valores?

Começando pelo 2.

f 2 = 2 4 - 4.2 3 + 2 2 + 1 = - 11

Também não no diz nada, pois o valor mais próximo conhecido é f 1 = - 1 .

f 1 . f 2 = - 11 . - 1 = 11 > 0

Logo, não tem raiz ali!

Passo 4

Continuando a chutar valores, teremos:

x = 3

f 3 = 3 4 - 4.3 3 + 3 2 + 1 = - 17

É! Também não nos diz nada, pois f ( 2 ) também é negativo, logo:

f 2 . f 3 = - 11 . - 17 > 0

Testando x = 4 agora (torce aí pra dar certo logo) , vamos ter:

f 4 = 4 4 - 4.4 3 + 4 2 + 1 = 17

Agora foi, ein? f 3 . f 4 = - 17 . 17 < 0 , logo teremos uma raiz nesse intervalo.

Logo, a resposta vai ser:

Resposta

0,1   e   [ 3,4 ]

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Rubens Vilhena Fonseca, Cálculo Numérico, Belém- Pará, UEPA, 2011, página 16, exercício 03

Dada a função f x = x 2 - c o s ( x ) , separe-a em duas funções e aproxime pelo menos uma de suas raízes pelo método gráfico.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

É! Temos agora uma questão do método gráfico para estimar raízes! Ele nos deu a função f x = x 2 - c o s ( x ) . Vamos que vamos buscar a resposta.

Passo 2

O primeiro passo é igualar a função a zero, já que ele quer a raiz, minha f x = 0 .

x 2 - cos x = 0

x 2 = cos x

Passo 3

Opa! Eu sei o gráfico de h x = x 2 , certo? É mais ou menos isso aqui:

E eu também sei a do g x = c o s ( x ) . Que é isso aqui:

Juntando os dois gráficos, teremos:

Como ele nos pede apenas uma raiz, escolhendo a raiz positiva, vamos estimar.

Ele está ali pertinho do x = 0.8 ,   logo podemos estimar que a raiz é aproximadamente 0,8 .

Resposta

x 0,8

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Determine um intervalo, de amplitude no máximo igual a 2 , que contenha três raízes da função abaixo:

f x = e x - c o s π x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos lá?

Temos a função f x = e x - cos π x - 1 e ele nos pede três raízes num intervalo de duas unidades.

Ideia de como fazer?

Passo 2

É. Eu tenho a sugestão de sempre. Vamos tentar achar os valores da função para x = 0 ,   x = 1   e   x = - 1 .

Bora lá?

f 0 = e 0 - cos 0 - 1 = 1 - 1 - 1 = - 1

f 1 = e 1 - cos π - 1 = 2,718 - - 1 - 1 = 2,718

f - 1 = e - 1 - cos - π - 1 = 1 e + 1 - 1 = 1 e 0,36

Até agora temos isso aqui:

Passo 3

Show! Temos um intervalo de duas unidades, mas só temos duas raízes aí. Vamos tentar ampliar para os valores mais próximos, tipo x = 2   e   x = - 2 pra ver no que rola.

f 2 = e 2 - cos 2 π - 1 = 5,39

f - 2 = e - 2 - cos - 2 π - 1 = - 1,86

E a tabela de valores ficará mais ou menos assim:

Boa! Isolamos as três raízes. Então acabou o problema, certo?

Errado!

Ele quer um intervalo de no máximo duas unidades. E até agora teríamos o intervalo [ - 2,1 ] que possui 3 unidades.

Passo 4

Já sabendo mais ou menos onde estão as raízes, basta agora chutar um intervalo de até duas unidades, pra ver se ele continua obedecendo os critérios da Lei de Bolzano.

Pra fazer isso, tenho que achar um número x maior que - 2 e menor que - 1   que ainda tenha f ( x ) negativo e também temos que achar um número menor que 1 e maior que 0 que já tenha valor de f ( x ) positivo.

Que números você chutaria?

É, eu também!

x = - 1,5   e   x = 0,5

f - 1,5 = e - 1,5 - cos - 1,5 π - 1 = - 1,77

f 0,5 = e 0,5 - cos 0,5 π - 1 = 0,65

Resolvida a nossa questão. O intervalo é [ - 1,5 ; 0,5 ]

Resposta

[ - 1,5 ; 0,5 ]

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 95, exercício 1a e 1b.

Localize graficamente as raízes das equações a seguir:

a   f x = 4 cos x - e 2 x

b   f x = x 2 - t g ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar pela letra a .

Ele quer pelo método gráfico, logo, teremos que seguir o passo a passo de sempre.

1ª coisa a se fazer é igualar f x = 0 .

4 cos x - e 2 x = 0

4 cos x = e 2 x

Beleza! Eu sei o gráfico do cos x :

E o do e x :

Passo 2

Tá, mas o que eu tenho é h x = 4 c o s ( x ) e g x = e 2 x

Em relação ao h ( x ) ele é a mesma função que nós já sabemos, o cosseno, porém com amplitude 4 vezes maior, que vai dar nisso aqui:

Já no caso do g ( x ) o e x vai aumentar bem mais rápido, logo o gráfico vai dar uma “achatada” pra junto ao eixo. Logo, teremos:

Fazendo a igualdade entre os dois gráficos, vai ficar:

Olhando onde eles se encontram, dá pra estimar mais ou menos as raízes com ξ 1 - 1 , 6   e   ξ 2 0,6 .

Passo 3

Letra b

Fazendo a mesma coisa da letra a , teremos:

f x = 0 = x 2 - t g x

x 2 = t g ( x )

Encontramos h x = x 2 e g x = t g ( x ) .

Uma das raízes está na nossa cara. Pra x = 0 teremos t g x = 0 também, logo ξ 1 = 0 .

A outra raiz vamos ter que juntar os gráficos:

h x = x 2 :

g x = t g x :

Juntando os dois, teremos:

Como podemos ver, uma raiz é o ξ 1 = 0 e a outra está mais ou menos localizada no ξ 2 4,2 .

Resposta

  1. ξ 1 - 1 , 6   e   ξ 2 0,6
  2. ξ 1 = 0   e   ξ 2 4,2

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 95, exercício 1c.

Localize graficamente as raízes da equação a seguir:

f x = 1 - x l n ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Mais uma pra localizar as raízes pelo método gráfico. Vamos buscá-las!

Temos a função f x = 1 - x l n ( x )

Primeiro passo de sempre:

f x = 0

1 - x l n x = 0

Passo 2

Temo que:

x l n x = 1

Tá, vamos desenhar o gráfico disso?

O gráfico da g x = 1 é de boa, é uma reta horizontal. Mas e o gráfico de h x = x l n ( x ) , qual é? Eu pelo menos não sei. Então temos que buscar uma saída, uma forma de achar funções que a gente saiba escrever:

Tem alguma ideia?

Eu tenho:

Passa o x dividindo pro outro lado, vai ficar:

ln x = 1 x

Agora sim!

Passo 3

Qual o gráfico de h x = l n ( x ) ?

E o gráfico de 1 x ?

Passo 4

Agora, juntando os gráficos, vamos ter:

É! Acho que o valor da raiz está ali entre x = 1 , 7   e   1,8 , né?

Como o que nós queremos uma aproximação, acho que uma boa aproximação pra raiz é ξ 1,75 .

Resposta

ξ 1,75

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 95, exercício 1d e 1e.

Localize graficamente as raízes da função a seguir:

a   f x = 2 x - 3 x

a   f x = x 3 + x - 100

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Opa, temos duas funçõezinhas aí. Já sabemos o passo a passo, né? Então vamos lá sem mimimi!

:D

Passo 2

a Igualar f x = 0

2 x - 3 x = 0

2 x = 3 x

Tá, temos a nossa h x = g x .

Passo 3

Desenhando o gráfico de cada função, teremos:

h x = 2 x :

E g ( x ) :

Passo 4

Igualando os dois gráficos, e catando a nossa raiz, vai ficar:

É! Pelo gráfico ele está entre 0.4 e 0,5 , né?

Como a ideia é fazer uma aproximação, podemos dizer que:

ξ a 0,4 5

Passo 5

b Igualando f x = 0 , teremos:

x 3 + x - 100 = 0

Tá! Agora temos que separar em duas funções h x = g ( x ) em que eu saiba desenhar os gráficos das duas, certo?

Temos algo do 3° grau e algo do 1° grau, então vamos separa-los.

x 3 = - x + 100

h x = x 3

g x = - x + 100

Passo 6

Lembra do gráfico do h x = x ³ ?

É mais ou menos esse aqui:

E o g x = - x + 100 é uma reta decrescente, porém “arrastada” em 100 unidades pra cima:

Passo 7

Fazendo a intersecção, ia ficar:

É! Essa raiz está bem no meio do 4 e do 5 . Como queremos a aproximação, vamos dizer que é ξ b 4,5 .

Só toma cuidado que fazer esse exercício no papel pode gerar bastante imprecisão devido à distância adotada. Cuidado quando for fazer! Usando papel milimetrado e usa boa escala pode te ajudar!

#FicaADica

Resposta

ξ a 0,4 5

ξ b 4,5

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Elaboração Própria

Estima Aí a(as) raiz(es) da função abaixo:

f x = 2 senh x - 10

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos uma função nem tão comum de se ver por aí, o Seno Hiperbólico.

Precisamos saber o que é o seno hiperbólico, antes de desenhar, certo?

O seno hiperbólico nada mais nada menos é que:

senh x = e x - e - x 2

Então, traduzindo a função, teremos:

f x = e x - e - x - 10

Passo 2

Agora sim, temos algo mais palpável.

Seguindo o passo a passo que aprendemos na teoria, teremos:

Igualando f x = 0 .

e x - e - x - 10 = 0

e x = e - x + 10

Passo 3

Agora é só saber os paranauês dos gráficos.

h x = e x :

g x = e - x + 10 :

Passo 4

Agora é só igualar os gráficos e ver mais ou menos quais serão as raízes.

Olhando aí bem mais ou menos, as raízes está entre o 2 e o 3 , um pouco mais próximo do 2 , né? Estimaremos então ξ 2,3 .

Resposta

ξ 2,3

Exercício Resolvido #9

Enunciado

José Carlos Morais de Araújo Cálculo Numérico, 1ª ed. Rio de Janeiro: Universidade Castelo Branco, 2009, pag 26, exercício 4.

Dada a função f x =   3 x .   l o g   x     2 , analise esta função e sua derivada pelo gráfico abaixo. Fundamentado neste estudo, responda:

a) Pode existir mais de uma raiz real para a equação 3 x l o g   x   2 = 0 ? Justifique.

b) Podemos afirmar que no intervalo [ 2,3 ] existe somente uma raiz real, vemos isso bem analisando o gráfico. Qual teoria discutida anteriormente sustenta esta afirmação quando não temos um gráfico para analisar?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Eita! Questãozinha diferente. Vamos desmembrando-a aos poucos!

1°, na letra a ele nos deu uma função: f x = 3 x . l o g x - 2 e ele quer saber se pode existir mais de uma raiz pra essa função aí.

Se liga que sempre quando ele falar em número de raízes você tem que logo associar ao sinal da derivada.

Quando ele pergunta “pode existir mais de uma raiz” pra essa função? Você tem que averiguar, a derivada troca de sinal alguma vez? Se sim, a função pode ter mais de uma raiz.

Nesse caso, no entanto, podemos ver que depois do ponto onde temos o zero da função a derivada é estritamente crescente! Logo, não haverá outra raiz!

Passo 2

Lá na teoria, a gente viu pelo Teorema de Bolzano duas afirmações pra definir e isolar raízes.

  • A primeira era que f a . f b < 0 , logo, existem raízes no intervalo [ a , b ] .
  • Se a função for sempre crescente ou sempre decrescente, só terá no máximo uma raiz.

Nesse caso, a segunda parte do Teorema de Bolzano é a que sustenta a afirmação do texto.

Resposta

Exercício Resolvido #10

Enunciado

Elaboração Própria

Ache o valor de x   para que f ( x ) seja mínimo:

f x = cosh x 2 - 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Que isso, cara?

Valor mínimo? Não vimos nada disso até agora!

Relaxaaa Aí!

Vamos só relembrando de quando foi se estudou Cálculo de derivadas. O valor máximo ou mínimo de uma função é dada quando a sua derivada é zero.

Então é isso o que temos que fazer:

f ' x = 2 x s e n h x 2 - 2 = 0

Passo 2

Agora deu uma clareada? Temos uma expressão bem mais parecida com os casos mais comuns.

2 x s e n h x 2 = 2

Cortando os 2:

x s e n h x 2 = 1

Ou melhor:

s e n h x 2 = 1 x

h x = s e n h x 2     e   g x = 1 x

Passo 3

Mas pera aí, né? Você não é obrigado a saber a função de s e n h ( x 2 ) . Se rolar de na prova cair alguma questão que você não sabe o gráfico, pega a calculadora (digitando as teclas hyp e sin) e vai jogando alguns valores pra f 0 , f 1 ,   f 2 ,   f 3 ,   f ( 4 ) e vai ligando os pontos, até ele ter uma boa cara de gráfico mesmo.

Fazendo isso aqui:

f 0 = 0

f 1 = 1,17

f 2 = 27,28

f 3 = 4051,54

É, um gráfico que cresce super rápido. Fazendo mais alguns valores você vai chegar num negócio assim:

Já pra função g x = 1 x , vai ser:

Passo 4

Fazendo a intersecção entre os gráficos, teremos:

Fazendo uma estimativa pelo gráfico, vamos ter que a raiz dessa função vai ser algo entre 0.9 e 1 .

Logo:

ξ 0,95

Resposta

ξ 0,95

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas