Método de Newton Raphson

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Teoria

Fala aí, você acaba de chegar no Responde Aí! E agora vamos bater um papo sobre o Método de Newton Raphson

Método de Newton Raphson

Fórmula do método de Newton Raphson

O método de Newton-Raphson é um tipo de método do ponto fixo que utiliza uma técnica diferente pra refinamento.

O que esse método faz é minimizar o valor da função de iteração no ponto fixo acelerando a convergência do método do ponto fixo.

E como calculamos isso matematicamente?

Pensando em termos de funções que funcionam por iteração e que cada método depende do anterior. A nossa sequência de iteração será:

Convergência do método de Newton Raphson

Geralmente o método de Newton converge desde que nosso palpite inicial seja escolhido “suficientemente próximo” da raiz ξ , satisfazendo as hipóteses de convergência do MPF.

Ou seja, com uma boa escolha de a convergência do método é garantida pelo seguinte teorema

Teorema
Teorema

Critério de parada

Basicamente, aplicamos os critérios de convergência e iteração até que o valor de atenda ao critério de parada!

Beleza, nós já vimos qual a função de iteração desse método, e como ele é uma derivação do Método do Ponto Fixo, ele necessita exatamente das mesmas coisas!

Ele precisa de um chute inicial e o critério de parada será:

E, novamente, outro critério usado é:

Prova geométrica do método de Newton Raphson

O método de Newton Raphson também pode ser obtido geometricamente.

Dado o ponto , traçamos a reta tangente à curva neste ponto. A fórmula da reta tangente é dada por:

Essa reta funciona como uma aproximação para a função na vizinhança de . Ou seja, quanto mais próximo de estivermos, melhor a reta tangente aproxima a própria função.

Obtenção geométrica do método de Newton Raphson
Obtenção geométrica do método de Newton Raphson

E como nosso chute deve estar próximo da raiz de , consideramos a aproximação como uma aproximação boa o suficiente para encontrar o zero de e fazemos:

Exercício

Calcule o valor de pelo método de Newton Raphson usando

Prova geométrica do método de Newton Raphson

Exercício

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Seja f x = - x 3 - cos ⁡ x e x 0 = - 1 . Use o Método de Newton para encontrar x 2 . O valor x 0 = 0 poderia ser usado?

Passo 1

Só aplicar o algoritmo:

Cálculos Iniciais

f ' x = - 3 x 2 + sin ⁡ x

g x = x + x 3 + cos ⁡ x - 3 x 2 + sin ⁡ x

x 0 = - 1

x 1 = g x 0 = - 0.88033

x 2 = g x 1 = - 0.86568

Taí o nosso x 2 .

A próxima pergunta é, x 0 = 0 poderia ser usado? Não poderia pois a derivada nesse ponto vale 0 :

f ' 0 = - 3 0 2 + sin ⁡ 0 = 0

Isso nos criaria uma indeterminação na nossa função de iteração.

Resposta

x 2 = - 0.86568 .

Não poderia pois criaria uma indeterminação na nossa função de iteração.

Exercício Resolvido #2

Dê um exemplo de função f x , que tenha pelo menos uma raiz, onde o Método de Newton-Raphson não converge sempre.

Passo 1

-

Um exemplo de função para a qual o método de Newton não converge sempre é f x = a r c t g x . A sequência diverge para valores acima de x ≅ 1.3917 e para valores abaixo de x ≅ - 1.3917 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Use o Método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10 - 5 para os seguintes problemas:

a e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 = 0 para 1 ≤ x ≤ 2

b 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 = 0 para 2 ≤ x ≤ 3 e 3 ≤ x ≤ 4

c x - 2 2 - ln ⁡ x = 0 para 1 ��� x ≤ 2 e e ≤ x ≤ 4

d e x - 3 x 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 e 3 ≤ x ≤ 5

Passo 1

a Intervalo 1,2

Cálculos Iniciais

f x = e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6

f ' x = e x - 2 - x ln ⁡ 2 - 2 sin ⁡ x

g x = x - e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 e x - 2 - x ln ⁡ 2 - 2 sin ⁡ x

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.850521

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.149479 > 10 - 5

f x 1 = 0.088245 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.850521

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.829751

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.02077 > 10 - 5

f x 2 = 0.001508 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.829751

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.829384

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000367 > 10 - 5

f x 3 = 4.6 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.829384 .

Passo 2

b Intervalo 2,3

Cálculos Iniciais

f x = 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2

f ' x = - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

g x = x - 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 2.550769

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.550769 > 10 - 5

f x 1 = 1.632185 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 2.550769

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 2.371359

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.179411 > 10 - 5

f x 2 = 0.005908 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 2.371359

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 2.370687

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000671 > 10 - 5

f x 3 = 1.2 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 2.371359 .

Passo 3

b Intervalo 3,4

Cálculos Iniciais

f x = 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2

f ' x = - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

g x = x - 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.743349

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.256651 > 10 - 5

f x 1 = 0.350935 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.743349

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.72239

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.02096 > 10 - 5

f x 2 = 0.004513 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.72239

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.722113

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000277 > 10 - 5

f x 3 = 8.1 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.722113 .

Passo 4

c Intervalo 1,2

Cálculos Iniciais

f x = x - 2 2 - ln ⁡ x

f ' x = 2 x - 1 x - 4

g x = x - x - 2 2 - ln ⁡ x 2 x - 1 x - 4

x 0 = 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.333333

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.333333 > 10 - 5

f x 1 = 0.156762 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.333333

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.408579

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.075246 > 10 - 5

f x 2 = 0.007197 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.408579

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.412382

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.003802 > 10 - 5

f x 3 = 1.8 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.412382

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 1.412391

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 9.6 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 4 = 1.1 ∙ 10 - 10 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.412391 .

Passo 5

c Intervalo e , 4

Cálculos Iniciais

f x = x - 2 2 - ln ⁡ x

f ' x = 2 x - 1 x - 4

g x = x - x - 2 2 - ln ⁡ x 2 x - 1 x - 4

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.303012

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.696988 > 10 - 5

f x 1 = 0.503005 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.303012

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.084624

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.218387 > 10 - 5

f x 2 = 0.04998 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.084624

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.057536

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.027089 > 10 - 5

f x 3 = 0.000773 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.057536

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 3.057104

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.000432 > 10 - 5

f x 4 = 2 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.057104 .

Passo 6

d Intervalo 0,1

Cálculos Iniciais

f x = e x - 3 x 2

f ' x = e x - 6 x

g x = x - e x - 3 x 2 e x - 6 x

x 0 = 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 0.914155

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.085845 > 10 - 5

f x 1 = 0.012373 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.914155

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.910017

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.004137 > 10 - 5

f x 2 = 3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.910017

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 0.910008

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 1.01 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 3 = 1.8 ∙ 10 - 10 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 0.910008 .

Passo 7

d Intervalo 3,5

Cálculos Iniciais

f x = e x - 3 x 2

f ' x = e x - 6 x

g x = x - e x - 3 x 2 e x - 6 x