Teoria

Fala aí, você acaba de chegar no Responde Aí! E agora vamos bater um papo sobre o Método de Newton Raphson

Método de Newton Raphson

Fórmula do método de Newton Raphson

O método de Newton-Raphson é um tipo de método do ponto fixo que utiliza uma técnica diferente pra refinamento.

O que esse método faz é minimizar o valor da função de iteração no ponto fixo acelerando a convergência do método do ponto fixo.

E como calculamos isso matematicamente?

Pensando em termos de funções que funcionam por iteração e que cada método depende do anterior. A nossa sequência de iteração será:

Convergência do método de Newton Raphson

Geralmente o método de Newton converge desde que nosso palpite inicial seja escolhido “suficientemente próximo” da raiz ξ , satisfazendo as hipóteses de convergência do MPF.

Ou seja, com uma boa escolha de a convergência do método é garantida pelo seguinte teorema

Teorema
Teorema

Critério de parada

Basicamente, aplicamos os critérios de convergência e iteração até que o valor de atenda ao critério de parada!

Beleza, nós já vimos qual a função de iteração desse método, e como ele é uma derivação do Método do Ponto Fixo, ele necessita exatamente das mesmas coisas!

Ele precisa de um chute inicial e o critério de parada será:

E, novamente, outro critério usado é:

Prova geométrica do método de Newton Raphson

O método de Newton Raphson também pode ser obtido geometricamente.

Dado o ponto , traçamos a reta tangente à curva neste ponto. A fórmula da reta tangente é dada por:

Essa reta funciona como uma aproximação para a função na vizinhança de . Ou seja, quanto mais próximo de estivermos, melhor a reta tangente aproxima a própria função.

Obtenção geométrica do método de Newton Raphson
Obtenção geométrica do método de Newton Raphson

E como nosso chute deve estar próximo da raiz de , consideramos a aproximação como uma aproximação boa o suficiente para encontrar o zero de e fazemos:

Exercício

Calcule o valor de pelo método de Newton Raphson usando

Prova geométrica do método de Newton Raphson

Exercício

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