Método da Secante

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Teoria

Opa, seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora bater aprender o Método da Secante?!

Método da Secante: Fórmula

O Método da Secante é um método iterativo usado pra encontrar zeros de funções reais. Ele é bem parecido com o Método de Newton-Rapson, mas com uma vantagem… aqui não tem derivada. Então se você pegar uma função cabulosa, difícil de derivar, o método da secante é o melhor caminho! 🤩

Ela tem essa carinha aqui:

Método da Secante
Método da Secante

É óbvio que nem tudo são flores…o Método de Newton tem a vantagem de convergir mais rápido! Ou seja, escolha suas batalhas meu caro!

Como podemos ver na fórmula a cima, no método da secante precisamos de dois chutes iniciais e para a raiz e de um erro máximo que vai definir o critério de parada. Mas antes da gente aprender a implementar esse método, vamos dar uma olhada na interpretação geométrica!

Temos os dois chutes iniciais e . Traçamos uma reta passando pelos pontos e . Onde essa reta cruza o eixo será o nosso . Assim:

Depois disso fazemos uma outra reta, ligando os pontos e e onde essa reta tocar o eixo temos o nosso . O próximo passo seria unir os pontos e pra formar uma reta, onde essa reta tocar o eixo é o e assim sucessivamente!

Repetimos esse processo até chegarmos a uma aproximação próxima o suficiente! 😉

📢 Clique para ver mais:

-Beleza, mas como a gente usa o método da secante na prática?! 😖

A gente vai aprender tudo tim tim por tim tim! Mas pra começar com tudo, se liga nesse vídeo aqui 👇

Critério de Parada

Para o método, os critérios de parada mais usados são:

  • Seja uma aproximação da raiz encontrada em alguma iteração, paramos se ;
  • Seja a aproximação da raiz na iteração , paramos se .

Pode-se usar vários critérios de uma vez ou apenas um, vai depender do problema que temos que resolver. Além disso, vários outros critérios podem ser usados, esses são só os mais comuns. É sempre recomendável adicionar um número máximo de iterações como critério de parada.

Convergência

Este método é uma aproximação do método de Newton, e tem condições de convergência muito similares! De forma geral, a maioria das vezes em que ele diverge ou demora para convergir é quando , a mesma situação na qual o método de Newton divergia.

Apesar de ele não ser tão rápido quanto o método de Newton e necessitar de uma aproximação inicial a mais, ele não precisa mais calcular o valor da derivada a cada iteração, podendo ganhar tempo em esforço computacional!

Método da Secante: Algoritmo

Vamos ver como fica o algoritmo do método da secante!

Passo 1: Dados iniciais

Esses são os dados que o programa vai receber de você

  • Aproximações iniciais e ;
  • Precisão do resultado final e

Passo 2: Definir um contador de iterações k=0

Esse passo é importante pra sabermos quantas vezes o programa rodou até ele interagir!

Passo 3: Verificamos o primeiro critério de parada

Nesse passo falamos para o programa: Se , escolha como e FIM. Caso contrário, continue para o Passo 4.

Passo 4: Aumentamos uma iteração no contador

Para isso fazemos .

Passo 5: Calculamos o x

Para isso usamos a fórmula do método da secante:

Passo 6: Verificamos o segundo critério de parada

Nessa etapa falamos para o programa: Se , escolha como e FIM. Caso contrário continue para o Passo 7.

Passo 7: Atualizamos o x

Para isso fazemos e .

Passo 8: Voltamos para o Passo

Prontinho, é isso! Agora vamos praticar com exercícios?!

Critério de Parada

Convergência

Método da Secante: Algoritmo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Seja f x = x 2 - 6 . Dados x - 1 = 3 e x 0 = 2 , encontre x 2 usando o método da secante.

Passo 1

Só aplicar o algoritmo:

x - 1 = 3

x 0 = 2

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 2.4

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 2 . 45 -

Resposta

x 2 = 2 . 45 -

Exercício Resolvido #2

Calcule a raiz real da equação x 3 - 2 x 2 + 2 x - 5 = 0 próxima de x 0 = 2 , por meio do método da secante. Considere ε = 10 - 5 .

Passo 1

Sabemos que a raiz está próxima de 2 , então temos nossa primeira aproximação. Vamos encontrar a segunda:

f 2.1 = - 0.36

f 1.9 = - 1.56

2.1 está mais próximo de zero então ele será nosso segundo chute.

Passo 2

x - 1 = 2

x 0 = 2.1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 2.156006

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.056006 > 10 - 5

f x 1 = 0.037186 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 2.1

x 1 = 2.156006

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 2.150749

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.005257 > 10 - 5

f x 2 = 0.001176 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 2.156006

x 2 = 2.150749

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 2.150911

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000161 > 10 - 5

f x 3 = - 6 , 14 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. x - = 2.150911 .

Resposta

x - = 2.150911

Exercício Resolvido #3

Use o método da secante para encontrar soluções com precisão 10 - 5 para os seguintes problemas:

a 3 x e x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2

b 2 x + 3 c o s x - e x = 0 para 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

a Intervalo 1,2

x - 1 = 1

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 0.7746

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 1.2254 > 10 - 5

f x 1 = 5.042009 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 2

x 1 = 0.7746

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 0.617357

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.157244 > 10 - 5

f x 2 = 3.433775 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.7746

x 2 = 0.617357

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 0.281622

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.335735 > 10 - 5

f x 3 = 1.119681 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.617357

x 3 = 0.281622

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 0.119176

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.162446 > 10 - 5

f x 4 = 0.402778 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 0.281622

x 4 = 0.119176

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 0.027908

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.091267 > 10 - 5

f x 5 = 0.086094 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 0.119176

x 5 = 0.027908

ε = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = x 4 f x 5 - x 5 f x 4 f x 5 - f x 4 = 0.003096

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 0.024812 > 10 - 5

f x 6 = 0.009317 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 5 = 0.027908

x 6 = 0.003096

ε = 10 - 5

Iteração 7 :

x 7 = g x 6 = x 5 f x 6 - x 6 f x 5 f x 6 - f x 5 = 8.5 ∙ 10 - 5

Critério de Parada:

x 7 - x 6 = 0.003011 > 10 - 5

f x 7 = 0.000255 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 6 = 0.003096

x 7 = 8.5 ∙ 10 - 5

ε = 10 - 5

Iteração 8 :

x 8 = g x 7 = x 6 f x 7 - x 7 f x 6 f x 7 - f x 6 = 2.6 ∙ 10 - 7

Critério de Parada:

x 8 - x 7 = 8.5 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 8 = 7.9 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. x - = 2.6 ∙ 10 - 7 . Claro que nós sabemos que o valor correto aqui é 0 né haha, então foi uma boa aproximação.

Passo 2

b Intervalo 0,1

x - 1 = 0

x 0 = 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 1.822531

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.822531 > 10 - 5

f x 1 = 3.289691 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 1

x 1 = 1.822531

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 1.177095

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.645436 > 10 - 5

f x 2 = 0.260085 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.822531

x 2 = 1.177095

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 1.224385

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.04729 > 10 - 5

f x 3 = 0.065272 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.177095

x 3 = 1.224385

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 1.240229

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.015845 > 10 - 5

f x 4 = 0.002208 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.224385

x 4 = 1.240229

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 1.239711

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.000518 > 10 - 5

f x 5 = 1.8 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 1.240229

x 5 = 1.239711

ε = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = x 4 f x 5 - x 5 f x 4 f x 5 - f x 4 = 1.239715

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 4.1 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 6 = 4.7 ∙ 10 - 9 < 10 - 5

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. x - = 1.239715 .

Resposta

a x - = 2.6 ∙ 10 - 7

b x - = 1.239715

Exercício Resolvido #4

Calcule 26 3 pelo método da Secante. Considere ε = 10 - 5 .

Passo 1

Uma forma de se calcular o valor de 26 3 é dessa forma:

26 3 3 = 26

26 3 3 - 26 = 0

x 3 - 26 = 0

Passo 2

Agora precisamos de dois chutes iniciais. 26 3 está em algum lugar entre   8 3 e   27 3 . Ou seja, está em algum lugar entre 2 e 3 . Como 26 é bem mais próximo de 27 que de 8 , vamos usar x - 1 = 3 e x 0 = 2.9 como aproximações iniciais.

Passo 3

x - 1 = 3

x 0 = 2.9

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 2.9617

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.0617 > 10 - 5

f x 1 = 0.020941 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 2.9

x 1 = 2.9617

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 2.962513

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.000813 > 10 - 5

f x 2 = 0.000448 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 2.9617

x 2 = 2.962513

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 2.962496

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 1.7 ∙ 10 - 5 > 10 - 5