Método da Secante
Teoria
Falaaaaa meu amigo, nós acabamos de estudar um método maravilhoso que tem só benefícios, converge rapidinho e tal: O super poderoso método de Newton! Po, então pra que tem outro?
O grande problema é que o método de Newton é muito mais difícil de implementar do que outros métodos numéricos e em algumas vezes o cálculo da derivada se torna tão difícil que a gente perde um tempo bem maior pra resolver! Uma forma de contornar este problema é substituir a derivada pelo quociente das diferenças:
Nesse caso, a função de iteração ficaria:
São necessárias duas aproximações para iniciarmos o método. Além disso, cada iteração usará as duas últimas aproximações. Onde são duas aproximações para a raiz.
Vamos dar uma olhada na interpretação geométrica agora. Temos os dois chutes iniciais e . Traçamos uma reta passando pelos pontos e . Onde essa reta cruza o eixo será o nosso . O mesmo processo é feito para encontrarmos , mas dessa vez ligamos os pontos e . Esse processo continua até chegarmos a uma aproximação suficientemente próxima.
Perceba que no nosso gráfico fizemos a primeira iteração passando por que era justamente a reta secante do gráfico, a próxima secante era em e esse processo é repetido inuuuuuuuúmeras vezes até satisfazer aos critérios de parada.
O método da secante vem láaaaaaaaa do MPF, então ele necessita exatamente das mesmas coisas! A única diferença é que aqui precisamos de chutes iniciais e não apenas .O critério de parada será:
E, novamente, outro critério usado é:
“Em um intervalo de [1,2], utilize como critério de parada , onde usando .Encontre a raíz ”
Vamos lá?
Consegue adivinhar qual é a primeira coisa que vamos fazer???? Isso mesmo, montar uma tabela de bola com toooodas as informações que precisamos: o número k de iterações (que vai de 0 até n), o valor de e para cada iteração, os valores de calculado a caaaada iteração , e o valor da nossa função aplicada em : , e . E por último e não menos importante: o critério de parada. Fica mais ou menos assim:
Agora, vou ensinar como se completa a tabela: Nesse caso, começamos com k=1!
Vamos usar nosso exemplo super manjado que temos usado deeeesde o método da bissecção. Calcular o zero da função usando
Temos uma raiz no intervalo , então vamos usar e .
Iteração :
Critério de Parada:
Agora que nós vimos como se calcula ,vamos jogar os valores na tabela pra ficar organizadinho e bem mais fácil de enxergar o que ta acontecendo a cada iteração.Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações. Bora jogar na tabela e ver como fica ?
Vamos só dar uma analisada na tabela, meu amigo vou te ensina um macete que vai mudar sua vida .... Perceba que a começamos com uma iteração. O de uma iteração seeeeempre vai ser ser o da anterior, e aquele antigo passa a ser o novo. MARAVILHOSO NÉ?
Organizando desse jeito fica bem mais fácil aplicar na fórmula do :
Perceba na tabela que deixei em colorido a nossa escadinha iterativa, na iteração 1 , na iteração 2 ele passou a ser e na iteração 3 ele era . Isso significa que quando montamos a tabelinha a gente nem força muito os neurônios!
Opa, fizemos em iterações. Continua sendo bem menos que nosso método da bisseção que precisaria de , mas ainda não é tão bom quanto o Newton que fez em . Nesse caso seria bem mais aconselhável usarmos Newton já que a derivada de um polinômio é bem tranquila, mas pra derivadas mais complicadas esse método ajuda muito ;)
Algoritmo
Vamos para o algoritmo:
Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):
a. Aproximações iniciais e
b. Precisão do resultado final e
Passo 2. Definimos um contador de iterações .
Passo 3. Se , escolha como e FIM. Caso contrário, continue para o Passo 4.
Passo 4. , aumentamos uma iteração no contador.
Passo 5.
Passo 6. Se , escolha como e FIM. Caso contrário continue para o Passo 7.
Passo 7.
Passo 8.
Passo 9. Voltamos para o Passo .
É recomendável adicionar o número de iterações como critério de parada também ;)
Aqui o algoritmo mudou um pouco do MPF já que nossa usa as duas últimas iterações então precisamos de aproximações iniciais. Além disso repare que aqui não precisamos definir duas funções ( e ), já que nossa usa nossa e tem sempre a mesma estrutura.
Estudo da Convergência
Como o método da secante é simplesmente uma aproximação do método de Newton, onde usamos
as condições de convergência são praticamente as mesmas. O método pode divergir caso , que é justamente a situação em que , na qual o método de Newton podia divergir.
Observações
Resumindo tudo o que eu disse aqui, os melhores métodos em dos casos são os de Newton e da Secante, por serem normalmente muito mais rápidos. O de Newton deve ser usado caso a derivada da seja fácil de se obter e de se calcular. Caso contrário, usamos o método da Secante.
Claro que isso depende do seu objetivo. Por exemplo, se quisermos um intervalo de um tamanho bem pequeno que contenha a raiz o melhor método a se usar normalmente será o da Bisseção, já que o de Newton e o da Secante não trabalham com intervalos.
Além disso os métodos derivados do MPF tem condições de convergência bem mais limitadas, o que deve ser levado em conta.
Desvantagens
- Se o cálculo da derivada não for difícil, então o método logo será substituído pelo de Newton-Raphson;
- Se o gráfico da função for a um dos eixos e/ou o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o método da Secante ;
- Não pode ser usado quando há tendência da curva ao paralelelismo a qualquer um dos eixos (exemplo função quadrática) ou quando a tendência da função à tangência ao eixo das abscissas em um ou mais pontos.
Algoritmo
Estudo da Convergência
Observações
Desvantagens
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 75, exercício 3 adaptado
Seja . Dados e , encontre usando o método da secante.
Passo 1
Só aplicar o algoritmo:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Lista 1 – UTFPR – Prof Violeta Stephan – Questão 9
Calcule a raiz real da equação próxima de , por meio do método da secante. Considere .
Passo 1
Sabemos que a raiz está próxima de , então temos nossa primeira aproximação. Vamos encontrar a segunda:
está mais próximo de zero então ele será nosso segundo chute.
Passo 2
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. .
Resposta
Exercício Resolvido #3
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 75, exercício 11 adaptado
Use o método da secante para encontrar soluções com precisão para os seguintes problemas:
para
para
Passo 1
Intervalo
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. . Claro que nós sabemos que o valor correto aqui é né haha, então foi uma boa aproximação.
Passo 2
Intervalo
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada: