Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

Teoria Completa

Introdução

Ok, ok. Agora vamos falar de alguns problemas de esboço de gráfico que contém assíntota oblíqua e, principalmente, como devemos desenhá-la para não dar bobeira, mas relaxe, o pior e mais volumoso do esboço de gráfico você já viu como faz.

Assíntota obliqua

A assíntota obliqua, caso você não se lembre, ocorre quando a função se aproxima muito de uma reta qualquer quando a variável da função ( x ) vai para infinito:

x → ± ∞ ; f → a x + b

Onde a e b são as constantes dessa reta.

Como a função tá se aproximando cada vez mais de uma reta, então é natural que a diferença entre as duas caia para zero, então:

lim x → ± ∞ ⁡ f x - a x + b = 0 ⟹ lim x → ± ∞ ⁡ f x - a x = b

Onde:

a = l i m x → ± ∞ f ( x ) x

Se os dois limites existirem, temos uma assíntota oblíqua. Ficou com alguma dúvida? Temos um tipo bem legal que fala só dessa assíntota, procura lá!

Como esboçar uma

A assíntota oblíqua terá a seguinte forma:

Onde a reta pontilhada é reta para qual a função se aproxima. Quando você for calcular os limites:

lim x → ± ∞ ⁡ f x - a x = b

a = l i m x → ± ∞ f ( x ) x

Você encontrará também os coeficientes dessa reta pontilhada. Uma vez com ele, marque, no gráfico, dois pontos que pertencem à reta, como a interseção com os eixos x e y e traceje a reta ligando esses pontos.

Daí é só desenhar a função se aproximando dessa reta na hora do esboço ;-).

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Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2013.1 – 2

Seja f x = 3 x 2 + 5 :

( a ) Determine todas as assíntotas (verticais, horizontais e oblíquas) justificando quando não houver;

( b ) Determine pontos de máximo e mínimo, justificando quando não houver;

( c ) Esboce o gráfico de f ;

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Passo 1

a Em primeiro lugar, vou parar para analisar o domínio da função. No caso, como o termo dentro da raiz quadrado será sempre positivo nós vemos que não haverão restrições para o domínio (ou seja, D o m = R ). As assíntotas que estão ligadas com descontinuidades são as verticais. Se não temos descontinuidades, não teremos assíntotas verticais.

Para determinar as assíntotas horizontais devemos jogar o limite de f x para x → ∞ e para x → - ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 = 3 ∞ +5 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 = 3 ∞ + 5 = ∞

Notamos que não existem assíntotas horizontais também.

Passo 2

Para determinar as assíntotas oblíquas devemos seguir a definição, modelando a reta da assíntota para x → ∞ por y = m x + n e a para x → - ∞ por y = m * x + n * :

m = lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 x

… = lim x → ∞ ⁡ x 2 3 + 5 x 2 ( x ) = lim x → ∞ ⁡ x 3 + 5 x 2 ( x )

Para x > 0 nós temos que x = x , assim:

lim x → ∞ ⁡ x 3 + 5 x 2 x = lim x → ∞ ⁡ 3 + 5 x 2 = 3

n = lim x → ∞ ⁡ f x - m x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 - 3 x

= lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 - 3 x 3 x 2 + 5 + 3 x 3 x 2 + 5 + 3 x

= lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 - 3 x 2 3 x 2 + 5 + 3 x

= lim x → ∞ ⁡ 5 3 x 2 + 5 + 3 x = 5 ∞ = 0

Para x → ∞ achamos a assíntota oblíqua y = 3 x .

Passo 3

Fazendo o mesmo raciocínio para x → - ∞ modelando a reta por y = m * x + n * :

m * = lim x → - ∞ ⁡ f x x = lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 x

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 3 + 5 / x ² ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 5 / x ² ( x )

Para x > 0 nós temos que x = x , assim:

lim x → - ∞ ⁡ - x 3 + 5 / x ² x = lim x → - ∞ ⁡ - 3 + 5 / x 2 = - 3

n * = lim x → - ∞ ⁡ f x - m x = lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 + 3 x

= lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 + 3 x 3 x 2 + 5 - 3 x 3 x 2 + 5 - 3 x

= lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 - 3 x 2 3 x 2 + 5 - 3 x

= lim x → - ∞ ⁡ 5 3 x 2 + 5 - 3 x = 5 ∞ = 0

Para x → - ∞ achamos a assíntota oblíqua y = - 3 x .

Passo 4

b Vamos analisar a derivada primeira, seu sinal e seus pontos nulos.

f ' x = 3 x 2 + 5 '

= 1 2 3 x 2 + 5 ' 3 x 2 + 5 = 1 2 ⋅ 6 x 3 x 2 + 5 = 3 x 3 x 2 + 5

Pô, esse termo aí tem um denominador que é sempre positivo, correto? Ele está dentro de uma raiz quadrada, então não vai interferir no nosso sinal.

Enfim, o sinal de f ' x só depende de 3 x . Vemos que f ' é positiva para x > 0 e negativa para x < 0 . Concluímos que f ' x será crescente para x > 0 e decrescente para x < 0 havendo um ponto crítico em x = 0 , com f 0 = 5 .

No caso, 0 , 5 é um ponto de mínimo, já que a derivada é negativa antes e positiva depois. Agora, esse vai ser um mínimo global, já que a função explode para tanto para x → ∞ quanto para x → - ∞ , como vimos no Passo 1 :

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ f x = ∞

A função não possui máximos.

Passo 5

c Antes de propriamente fazer o esboço do gráfico devemos fazer a análise da sua derivada segunda, que nos diz informações sobre a concavidade. Vamos calcular a derivada segunda:

f ' ' x = 3 x ' 3 x 2 + 5 - 3 x 3 x 2 + 5 ' 3 x 2 + 5

= 3 3 x 2 + 5 - 3 x 2 / 3 x 2 + 5 3 x 2 + 5 = 3 3 x 2 + 5 - 9 x 2 3 x 2 + 5 = 15 3 x 2 + 5

Ora, achamos um termo que será sempre positivo, o que nos leva a crer que f x tem concavidade para cima sempre.

Antes do esboço, uma última informação útil, 3 x 2 + 5 é uma função par, ou seja, temos que f x = f - x . Resumindo, a função é espelhada em relação ao eixo y .

Resposta

a   A s s .   v e r t i c a l : -   ;   A s s .   h o r i z o n t a l : -   ;     A s s .   o b l í q u a : y = 3 x   e   y = - 3 x .

b   M í n i m o   g l o b a l   e m   0 , 5   ; n ã o   h á   m á x i m o s .

c   s b o ç o   n a   f i g u r a   a c i m a