Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

Teoria Completa

Introdução

Ok, ok. Agora vamos falar de alguns problemas de esboço de gráfico que contém assíntota oblíqua e, principalmente, como devemos desenhá-la para não dar bobeira, mas relaxe, o pior e mais volumoso do esboço de gráfico você já viu como faz.

Assíntota obliqua

A assíntota obliqua, caso você não se lembre, ocorre quando a função se aproxima muito de uma reta qualquer quando a variável da função ( x ) vai para infinito:

x → ± ∞ ; f → a x + b

Onde a e b são as constantes dessa reta.

Como a função tá se aproximando cada vez mais de uma reta, então é natural que a diferença entre as duas caia para zero, então:

lim x → ± ∞ ⁡ f x - a x + b = 0 ⟹ lim x → ± ∞ ⁡ f x - a x = b

Onde:

a = l i m x → ± ∞ f ( x ) x

Se os dois limites existirem, temos uma assíntota oblíqua. Ficou com alguma dúvida? Temos um tipo bem legal que fala só dessa assíntota, procura lá!

Como esboçar uma

A assíntota oblíqua terá a seguinte forma:

Onde a reta pontilhada é reta para qual a função se aproxima. Quando você for calcular os limites:

lim x → ± ∞ ⁡ f x - a x = b

a = l i m x → ± ∞ f ( x ) x

Você encontrará também os coeficientes dessa reta pontilhada. Uma vez com ele, marque, no gráfico, dois pontos que pertencem à reta, como a interseção com os eixos x e y e traceje a reta ligando esses pontos.

Daí é só desenhar a função se aproximando dessa reta na hora do esboço ;-).

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2013.1 – 2

Seja f x = 3 x 2 + 5 :

( a ) Determine todas as assíntotas (verticais, horizontais e oblíquas) justificando quando não houver;

( b ) Determine pontos de máximo e mínimo, justificando quando não houver;

( c ) Esboce o gráfico de f ;

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Passo 1

a Em primeiro lugar, vou parar para analisar o domínio da função. No caso, como o termo dentro da raiz quadrado será sempre positivo nós vemos que não haverão restrições para o domínio (ou seja, D o m = R ). As assíntotas que estão ligadas com descontinuidades são as verticais. Se não temos descontinuidades, não teremos assíntotas verticais.

Para determinar as assíntotas horizontais devemos jogar o limite de f x para x → ∞ e para x → - ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 = 3 ∞ +5 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 = 3 ∞ + 5 = ∞

Notamos que não existem assíntotas horizontais também.

Passo 2

Para determinar as assíntotas oblíquas devemos seguir a definição, modelando a reta da assíntota para x → ∞ por y = m x + n e a para x → - ∞ por y = m * x + n * :

m = lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 x

… = lim x → ∞ ⁡ x 2 3 + 5 x 2 ( x ) = lim x → ∞ ⁡ x 3 + 5 x 2 ( x )

Para x > 0 nós temos que x = x , assim:

lim x → ∞ ⁡ x 3 + 5 x 2 x = lim x → ∞ ⁡ 3 + 5 x 2 = 3

n = lim x → ∞ ⁡ f x - m x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 - 3 x

= lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 - 3 x 3 x 2 + 5 + 3 x 3 x 2 + 5 + 3 x

= lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 - 3 x 2 3 x 2 + 5 + 3 x

= lim x → ∞ ⁡ 5 3 x 2 + 5 + 3 x = 5 ∞ = 0

Para x → ∞ achamos a assíntota oblíqua y = 3 x .

Passo 3

Fazendo o mesmo raciocínio para x → - ∞ modelando a reta por y = m * x + n * :

m * = lim x → - ∞ ⁡ f x x = lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 x

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 3 + 5 / x ² ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 5 / x ² ( x )

Para x > 0 nós temos que x = x , assim:

lim x → - ∞ ⁡ - x 3 + 5 / x ² x = lim x → - ∞ ⁡ - 3 + 5 / x 2 = - 3

n * = lim x → - ∞ ⁡ f x - m x = lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 + 3 x

= lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 + 3 x 3 x 2 + 5 - 3 x 3 x 2 + 5 - 3 x

= lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 - 3 x 2 3 x 2 + 5 - 3 x

= lim x → - ∞ ⁡ 5 3 x 2 + 5 - 3 x = 5 ∞ = 0

Para x → - ∞ achamos a assíntota oblíqua y = - 3 x .

Passo 4

b Vamos analisar a derivada primeira, seu sinal e seus pontos nulos.

f ' x = 3 x 2 + 5 '

= 1 2 3 x 2 + 5 ' 3 x 2 + 5 = 1 2 ⋅ 6 x 3 x 2 + 5 = 3 x 3 x 2 + 5

Pô, esse termo aí tem um denominador que é sempre positivo, correto? Ele está dentro de uma raiz quadrada, então não vai interferir no nosso sinal.

Enfim, o sinal de f ' x só depende de 3 x . Vemos que f ' é positiva para x > 0 e negativa para x < 0 . Concluímos que f ' x será crescente para x > 0 e decrescente para x < 0 havendo um ponto crítico em x = 0 , com f 0 = 5 .

No caso, 0 , 5 é um ponto de mínimo, já que a derivada é negativa antes e positiva depois. Agora, esse vai ser um mínimo global, já que a função explode para tanto para x → ∞ quanto para x → - ∞ , como vimos no Passo 1 :

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ f x = ∞

A função não possui máximos.

Passo 5

c Antes de propriamente fazer o esboço do gráfico devemos fazer a análise da sua derivada segunda, que nos diz informações sobre a concavidade. Vamos calcular a derivada segunda:

f ' ' x = 3 x ' 3 x 2 + 5 - 3 x 3 x 2 + 5 ' 3 x 2 + 5

= 3 3 x 2 + 5 - 3 x 2 / 3 x 2 + 5 3 x 2 + 5 = 3 3 x 2 + 5 - 9 x 2 3 x 2 + 5 = 15 3 x 2 + 5

Ora, achamos um termo que será sempre positivo, o que nos leva a crer que f x tem concavidade para cima sempre.

Antes do esboço, uma última informação útil, 3 x 2 + 5 é uma função par, ou seja, temos que f x = f - x . Resumindo, a função é espelhada em relação ao eixo y .

Resposta

a   A s s .   v e r t i c a l : -   ;   A s s .   h o r i z o n t a l : -   ;     A s s .   o b l í q u a : y = 3 x   e   y = - 3 x .

b   M í n i m o   g l o b a l   e m   0 , 5   ; n ã o   h á   m á x i m o s .

c   s b o ç o   n a   f i g u r a   a c i m a

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2013.2 – 4

Seja g x = - 1 + log 3 ⁡ x + e . Determine o que se pede justificando a não existência, se for o caso:

  1. Domínio
  2. Ponto de interseção do gráfico da função g com os eixos cartesianos
  3. Intervalo de crescimento e decrescimento
  4. Máximos e mínimos locais
  5. Assíntotas horizontais, verticais e oblíquas
  6. Desenhe o gráfico de g com todos os elementos encontrados acima
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Passo 1

a ) Primeiro vamos ver o domínio, temos dois detalhes com problemas ali, o cara dentro do logaritmo e a raiz quadrada, primeiro esse cara dentro do log precisa ser positivo, ou seja:

x + e > 0

Mas como raiz quadrada é algo sempre positivo isso está certinho.

O outro problema é que o cara dentro da raiz deve ser positivo, repara que eu ignoro quando a raiz for 0 por causa do log:

x + e > 0

x > - e

Então qualquer valor de x nesse intervalo, o cara dentro da raiz é maior que 0 e o cara dentro do log tbm, então o domínio são os reais:

D = x ∈ R x > - e

Passo 2

b ) Para achar os pontos de interseção com os eixos coordenados basta fazer a função quando x = 0 e achar o y e depois fazer y = 0 e achar o x .

Vamos começar fazendo x = 0 :

y = - 1 + log 3 ⁡ 0 + e

y = - 1 + log 3 ⁡ e

E a parada fica por isso mesmo, o ponto que ele corta o eixo y é 0 , - 1 + log 3 ⁡ e .

Vamos ver agora com y = 0 :

0 = - 1 + log 3 ⁡ x + e

1 = log 3 ⁡ x + e

Usando propriedades de log vamos ter:

x + e = 3 1

x + e = 3

x + e 2 = 3 2

x + e = 9

x = 9 - e

O ponto que ele corda o eixo x vai ser 9 - e , 0 .

Passo 3

c ) Para olhar o intervalo de crescimento vamos olhar a derivada, vamos derivar a função:

g ' x = - 1 + log 3 ⁡ x + e '

Temos um log meio louco ali no meio, normalmente derivamos só o logaritmo na base e , vamos usar propriedades de logaritmo e fazer essa mudança de base:

log 3 ⁡ x + e = ln ⁡ x + e ln ⁡ 3

Vamos ter:

g ' x = - 1 + ln ⁡ x + e ln ⁡ 3 '

g ' x = 0 + 1 ln ⁡ 3 x + e ' x + e = 1 ln ⁡ 3 1 x + e ∙ x + e 1 / 2 '

= 1 ln ⁡ 3 1 x + e ∙ 1 2 x + e 1 / 2 - 1 = 1 ln ⁡ 3 1 x + e ∙ 1 2 x + e - 1 / 2

= 1 ln ⁡ 3 1 x + e ∙ 1 2 ∙ 1 x + e = 1 2 ln ⁡ 3 x + e 2 = 1 2 ln ⁡ 3 x + e

Essa derivada só depende do sinal de x + e , mas x + e no domínio vai ser sempre positivo, lembra que ele precisa ser positivo para a raiz não dar problema? Isso nos diz que:

g ' x > 0

Em todo o domínio, ou seja, é sempre crescente.

Passo 4

d ) Como a função é sempre crescente ela não vai ter nenhum extremo em todo o domínio.

Passo 5

e ) A primeira pergunta é WTF é assíntota inclinada, fuuuuuuuuu!!!!

Relaxa, vamos primeiro para a assíntota que você conhece, a assíntota horizontal, como eu acho a assíntota horizontal?

Temos que fazer:

lim x → + ∞ ⁡ f x

Dessa vez não fazemos x → - ∞ isso porque o domínio começa no - e e não “começa” no - ∞ .

Vamos começar com o limite para + ∞ .

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ - 1 + log 3 ⁡ x + e = - 1 + log 3 ⁡ ∞ = - 1 + ∞ = ∞

Logo ele não vai ter assíntotas horizontais.

Passo 6

Vamos entender a assíntota inclinada, isso vai ser uma reta inclinada que a função se aproxima, a questão está em como calcular a reta.

Uma reta inclinada, vai ser assim:

y = a x + b

Precisamos achar os coeficientes a e b da assíntota obliqua, podemos ter dois pares de coeficientes, um vai ser o par de baixo:

a = lim x → + ∞ ⁡ f x x

b = lim x → + ∞ ⁡ f x - a x

Beleza? Não fazemos o x → - ∞ pelo mesmo motivo da horizontal, vamos achar o valor de a :

a = lim x → + ∞ ⁡ - 1 + log 3 ⁡ x + e x

Já vimos que a parte de cima vai dar então isso vai dar uma indeterminação ∞ / ∞ , vamos aplicar L’Hôpital:

lim x → + ∞ ⁡ - 1 + log 3 ⁡ x + e x = lim x → + ∞ ⁡ - 1 + log 3 ⁡ x + e ' x '

Já temos a derivada de f né? Então vai ficar

lim x → + ∞ ⁡ - 1 + log 3 ⁡ x + e ' x ' = lim x → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 3 x + e 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 3 x + e = 1 ∞ = 0

Precisaríamos ter a = 0 , mas uma reta assim não é inclinada, então não vamos ter assíntota oblíqua.

Passo 7

Vamos ver agora a assíntota vertical, aqui o único cara que nos interessa é quando o que está dentro do log for 0 , então vamos pegar o limite quando x → - e

lim x → - e + ⁡ - 1 + log 3 ⁡ x + e

Eu coloquei pela direita porque o nosso domínio só tem a parte maior que – e

lim x → - e + ⁡ - 1 + log 3 ⁡ x + e = - 1 + log 3 ⁡ - e + e = - 1 + log 3 ⁡ 0 = - 1 - ∞ = - ∞

Então como o limite vai para - ∞ temos uma assíntota vertical que vai ser

x = - e

Passo 8

O esboço do gráfico vai ficar:

Resposta

  1. D = x ∈ R x > - e
  2. O ponto que ele corta o eixo y é 0 , - 1 + log 3 ⁡ e
  3. O ponto que ele corda o eixo x vai ser 9 - e , 0

  4. É crescente em todo o domínio
  5. Não possui máximo e mínimos
  6. Não tem assíntotas horizontais ou oblíquas
  7. Assíntotas verticais: x = - e

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Seja f x = x + 1 x .

  1. Determine todas as assíntotas (horizontais, verticais e oblíquas) de y , justificando quando não houver
  2. Determine os pontos de máximo e mínimo, justificando quando não houver
  3. Esboce o gráfico da curva acima
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Passo 1

Vamos começar vendo se essa função tem assíntotas verticais, beleza? Pra ter assíntota horizontal, tem que ter algum ponto “que dê problema”, ou seja, alguma forma de gerarmos uma indeterminação.

Como nosso f x tem uma parcela 1 x , não vai ser qualquer x que eu escolha que vai estar tudo bem! Logo, x = 0 , um valor que gera indeterminação, é um candidato à assíntota vertical! Então partiu descobrir se ele é mesmo fazendo os limites:

lim x → 0 + ⁡ x + 1 x = 0 + ∞ = + ∞

lim x → 0 - ⁡ x + 1 x = 0 - ∞ = - ∞

Opa, como os limites são pro infinito, x = 0 é sim uma assíntota vertical!

Passo 2

Agora, pras horizontais, vamos fazer quando x tende aos infinitos. Se a gente receber um número como resposta é porque a função tende a esse valor, mas nunca chega lá, beleza? Ai sim teremos assíntotas. Então, fazemos:

lim x → ± ∞ ⁡ x + 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 1 x  

Escrevendo dessa forma a gente pode usar o famoso L’Hospital! Pra x → + ∞ , temos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x = ∞ ∞ →   lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 1 = + ∞

Pra x → - ∞ , temos:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 x = - ∞ ∞ →   lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 1 = - ∞

E já que os limites aqui foram ao infinito, não vamos ter assíntotas horizontais, beleza? Partiu agora as próximas assíntotas:

Passo 3

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

y = m x + n

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x           ;           n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - m x

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos m , depois n . Para a função f x , o cálculo de m vai ficar:

m = lim x → ± ∞ ⁡ x + 1 x x = lim x → ± ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + lim x → ± ∞ ⁡ 1 x 2

Opa, nem precisamos fazer dois limites diferentes, pra + e - , porque o limite que sobrou vai direto pra 0 !. Beleeeeza, a inclinação da assíntota oblíqua vai ser então:

m = 1

E pra calcular n , fazemos:

n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - x

n = lim x → ± ∞ ⁡ x + 1 x - z

n = lim x → ± ∞ ⁡ 1 x = 0

Fechamos então a equação oda assíntota oblíqua, que vai ser:

y = x

Passo 4

Agora vamos tentar achar pontos de máximo e de mínimo, beleza? Pra isso temos que fazer o clássico deriva e iguala a 0 . Então vamos lá:

f x = x + 1 x = x 2 + 1 x

f ' x = x x 2 + 1 ' - x ' x 2 + 1 x 2

f ' x = x 2 x - x 2 + 1 x 2 = 2 x 2 - x 2 - 1 x 2 = x 2 - 1 x 2

Igualando à 0 agora:

f ' x = x 2 - 1 x 2 = 0

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Então temos 2 pontos críticos! Vamos checar o sinal da derivada em intervalos que envolvam esses pontos, ok? Mas também não podemos esquecer do ponto x = 0 , que é um ponto em que nossa primeira derivada não está definida. Intervalos que envolvam esses 3 valores de x vão ser:

x < - 1

- 1 < x < 0

0 < x < 1

x > 1

Pro primeiro intervalo vamos escolher, por exemplo, x = - 2 . Vamos ter:

f ' - 2 = - 2 2 - 1 - 2 2 = 4 - 1 4 = 0,75 > 0

Pro segundo intervalo vamos escolher, por exemplo, x = - 0,5 . Vamos ter:

f ' - 0,5 = - 0,5 2 - 1 - 0,5 2 = - 3 < 0

Pro terceiro intervalo vamos escolher, por exemplo, x = 0,5 . Vamos ter:

f ' 0,5 = 0,5 2 - 1 0,5 2 = - 3 < 0

Pro quarto intervalo vamos escolher, por exemplo, x = 2 . Vamos ter:

f ' 2 = 2 2 - 1 2 2 = 0,75 > 0

Como a função é crescente quando a primeira derivada é positiva e decrescente quando ela é negativa, os intervalos de crescimento e decrescimento vão ser:

f x = c r e s c e n t e ,                                           x < - 1   d e c r e s c e n t e ,           - 1 < x < 0 d e c r e s c e n t e ,                       0 < x < 1 c r e s c e n t e ,                                                 x > 1