Esboço De Gráfico

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Teoria

Fala aí! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora conversar sobre Esboço de Gráfico?

Já vamos começar com tudo! Eu quero que você me diga como você faria o esboço do gráfico da seguinte função:

Difícil, não é?! 😱

Existem algumas funções clássicas, tipo a de segundo grau que a gente aprende a esboçar lá no ensino médio. Mas como fazer um esboço de um gráfico quando temos uma função mais complexa?

A gente vai aprender hoje, mas já vou te dando um spoiler, essa técnica de esboço de gráfico é uma aplicação de derivadas!

Vamos ver como fazer um esboço de um gráfico?! Se liga nesse vídeo então 👇

Ou continua comigo no textinho e vamos ver como esboçar o gráfico da função acima, passo a passo! 🤩

1º Passo: Domínio

Nosso primeiro passo é a análise do domínio para nossa função!

O domínio de uma função é o conjunto de valores que o seu pode assumir, de forma que o valor da função esteja definido.


Basicamente você tem que olhar pra função e se perguntar “o que o x pode ser pra não dar ruim?”

A resposta é o domínio da função! Para isso:

  • Os denominadores devem ser ;
  • Sempre que houver raiz de índice par temos que forçar o que está dentro dela a ser ;
  • Para funções logarítmicas tipo temos que ter .

Podemos escrever então o domínio:

2º Passo: Assíntotas Verticais e Horizontais

Outra parte importante são as assíntotas!

Temos que pegar a função que estamos trabalhando e fazer o cálculo de assíntotas horizontais e verticais!

Você pode clicar aqui para ver como calcular assíntotas horizontais e verticais!

Para nosso exemplo temos assíntotas verticais em: e não temos assíntotas horizontais

3º Passo: Derivada Primeira

Show! Agora vamos derivar nossa função para achar os pontos críticos:

Para isso vamos usar a regra do quociente:

Resolvendo, temos:

4º Passo: Pontos críticos, Crescimento e Decrescimento

Os pontos críticos acontecem quando ou quando temos uma indeterminação, isso acontece quando:

Logo os pontos críticos são .

Substituindo os pontos onde na função, temos:

Logo, é um ponto de máximo ; é um ponto de mínimo.

5º Passo: Derivada Segunda

Derivando a função novamente, para encontrar os pontos de inflexão:

6º Passo: Pontos de Inflexão e Análise do Sinal para concavidade

Os pontos de inflexão acontecem quando a derivada segunda é igual a zero ou temos uma indeterminação, para isso devemos ter:

Logo, nossos pontos de inflexão são: .

7º Passo: Esboço

Enfim, podemos então começar a desenhar? Então arranja um bom pedaço de papel e vamos lá!


Show, a primeira coisa que faremos é marcar as assíntotas com uma linha fraca:

Esboço do gráfico: Primeiro Passo
Esboço do gráfico: Primeiro Passo

Beleza. Agora marcaremos os pontos críticos:

Marcaremos as regiões de crescimento e decrescimento com retas, também fracas, assim:

Esboço do Gráfico: Segundo passo
Esboço do Gráfico: Segundo passo

A reta simplesmente serve pra ilustrar o comportamento da função. Quando a função é crescente, desenhamos uma reta crescente, e quando é decrescente, uma reta decrescente.

Agora, marcamos os pontos de inflexão. Mesmo esquema dos pontos críticos. Eu gosto de marcar eles em cima das retas que já estão desenhadas, mas você pode fazer como quiser.

E marcamos as concavidades de acordo com os intervalos e também de acordo com a nossa técnica.

Quando a concavidade é pra baixo, a curva passa por cima da reta. Quando é pra cima, a curva passa por baixo. Com relação às assíntotas você só tem que lembrar que a função não encosta nelas. Ela vai se aproximando à medida que vamos ao infinito!

Nossa versão final do esboço do gráfico fica assim:

Esboço do Gráfico: Versão final
Esboço do Gráfico: Versão final

Agora vamos praticar com exercícios?!

2º Passo: Assíntotas Verticais e Horizontais

3º Passo: Derivada Primeira

4º Passo: Pontos críticos, Crescimento e Decrescimento

5º Passo: Derivada Segunda

6º Passo: Pontos de Inflexão e Análise do Sinal para concavidade

7º Passo: Esboço

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere a função y = f x = x e - x . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

Passo 1

( a ) Bom, não tem nada que complique a existência da função, logo o domínio é R .

Passo 2

( b ) Quando ele pede os interceptos ele deseja saber aonde esse termo cruza os eixos:

x = 0 → f 0 = 0 e - 0 = 0

y = 0 → 0 = x e - x ; x = 0

Achamos apenas um ponto, que é onde ele cruza os dois eixos de uma vez:

( 0,0 )

Passo 3

( c ) O gráfico não possui simetria, uma vez que e - x não possui qualquer simetria.

Passo 4

( d ) Para resolver essa letra devemos levar em conta que os limites da função quando x está tendendo para + ∞ e - ∞ para descobrir as assíntotas horizontais. Para as verticais, não teremos nenhuma, uma vez que a função é contínua ao longo de todo seu eixo x :

lim x → + ∞ ⁡ x e - x ⟹ ∞ ⋅ 0

… = lim x → + ∞ ⁡ x e x ⇒ L ' H = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x e - x       →

Nesse caso aí, o x vai a - ∞ enquanto que e - x →   + ∞ ...

lim x → - ∞ ⁡ x e - x = - ∞ ⋅ + ∞ = - ∞

Logo, temos apenas uma assíntota, y = 0 , que é horizontal.

Passo 5

( e ) Ele pede intervalos de crescimento e decrescimento. Precisamos, então, olhar para o sinal da derivada primeira:

f ' x = x ' e - x + x e - x ' = e - x ( 1 - x )

Bom, se e - x é sempre positivo, como toda exponencial, sabemos que o sinal só depende de ( 1 - x ) . Esse termo é negativo depois de x = 1 e positivo antes.

Assim, f ( x ) é crescente para x < 1 e decrescente para x > 1 .

Passo 6

( f ) Os pontos de máximo e de mínimo locais (os famosos pontos críticos) são encontrados quando f ' x = 0 ou não existe. Nesse caso, sabemos que o ponto onde isso ocorre é x = 1 . Como a derivada é positiva antes e negativa depois, sabemos que ele é um ponto de máximo local, não havendo ponto de mínimo local.

Passo 7

( g ) Concavidade é derivada segunda; vamos derivar f ' ( x ) e analisar o sinal de f ' ' ( x ) :

f ' ' x = 1 - x ' e - x + 1 - x e - x ' = e - x ( x - 2 )

Pelo resultado, notamos que o sinal só depende de ( x - 2 ) . Logo, temos concavidade para baixo até x = 2 e para cima daí em diante.

Passo 8

( h ) Juntando as informações: - D o m = R

- I n t e r c e p t a   o s   e i x o s   e m   ( 0,0 )

- N ã o   h á   s i m e t r i a

-   A s s í n t o t a   e m   y = 0

- f ( x )   é   c r e s c e n t e   p a r a   x < 1   e   d e c r e s c e n t e   p a r a   x > 1

- ( x = 1 )   é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

- c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   a t é   x = 2   e   p a r a   c i m a   d a í   e m   d i a n t e

Esboçando, fica assim.

Resposta

a   R

b   I n t e r c e p t a   o s   e i x o s   e m   ( 0,0 )

c   N ã o   h á   s i m e t r i a

d   y = 0

( e )   f ( x )   é   c r e s c e n t e   p a r a   x < 1   e   d e c r e s c e n t e   p a r a   x > 1

( f )   ( x = 1 )   é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

( g )   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   a t é   x = 2   e   p a r a   c i m a   d a í   e m   d i a n t e

h F i g u r a   a c i m a

Exercício Resolvido #2

Considere a função:

f x = x 2 - 4 x - 12 x + 3

E as suas primeira e segunda derivadas.

f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2

f ' ' x = 18 x + 3 3

a) Ache as assíntotas horizontais e verticais caso existam.

b) Identifique os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.

c) Encontre os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam.

d) Identifique os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

e) Usando as informações anteriores faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) .

Passo 1

As assíntotas horizontais podem ser encontradas da seguinte forma:

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 4 x - 12 x + 3

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 4 - 12 x + 3

Como ambos limites nos levam a indeterminações do tipo ∞ / ∞ . Por L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 4 x - 12 x + 3 = lim x → ∞ ⁡ 2 x - 4 1 = ∞

Analogamente para o outro limite:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x - 4 = - ∞

Portanto não existem assíntotas horizontais.

Passo 2

Já para as verticais, podemos observar uma descontinuidade em x = - 3 , logo:

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 4 x - 12 x + 3 = ∞

Segue que existe a assíntota vertical:

x = - 3

Passo 3

Os intervalos onde a função é crescente ou decrescente são definidos abaixo:

Crescente = x ∈ R     f ' x > 0

Decrescente = x ∈ R     f ' x < 0

Portanto, vamos analisar o sinal da derivada:

f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2

Como o termo no denominador é um quadrado perfeito, não entra na nossa análise de sinal, por ser sempre positivo. Vamos então analisar o sinal de:

x 2 + 6 x

Fatorando:

x ( x + 6 )

E estudando o sinal pela nossa tabela:

Portanto segue que os respectivos intervalos são:

Crescente = - ∞ , - 6 ∪ 0 , ∞

Decrescente = - 6 ,   0

Passo 4

Em consequência de nossa análise, descobrimos onde a derivada zera, que são os pontos em que x = 0 e x = - 6 . Portanto são pontos críticos e devemos analisá-los.

Em x = 0 , temos que a função passa de decrescente para crescente, portanto é um mínimo.

Em x = - 6 , a função passa de crescente para decrescente, portanto se trata de um máximo.

Como a função cresce arbitrariamente para x muito grande, e decresce arbitrariamente para x muito pequeno, não existe mínimo nem máximo globais.

Portanto x = 0 é um mínimo local e x = - 6 é um máximo local.

Passo 5

Avaliando o sinal da derivada segunda podemos ver o comportamento da função no que tange à sua concavidade.

Cima = x ∈ R     f ' ' x > 0

Baixo = x ∈ R     f ' ' x < 0 }

Como temos que a nossa derivada segunda é:

f ' ' x = 18 x + 3 3

Só precisamos analisar o sinal de ( x + 3 ) , que é simples:

f ' ' x > 0 ⟹ x + 3 > 0 ⟹ x > - 3

f ' ' x < 0 ⟹ x + 3 < 0 ⟹ x < - 3

Portanto os intervalos são:

Cima = - 3 ,   ∞

Baixo = - ∞ , - 3

Já os pontos de inflexão não existem, pois não conseguimos fazer a derivada segunda zerar:

18 x + 3 3 ≠ 0

Passo 6

E o esboço do gráfico é, portanto:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Considere

f x = - x e x                       ,       s e   x ≤ 0 x ln ⁡ x               ,       s e   x > 0

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

( a ) Para descobrir se a função é contínua no x = 0 , temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em x < 0 e outra em x ≥ 0 :

lim x → 0 - ⁡ - x e x = - 0 e 0 = 0

Beleza, agora vamos ver o limite pela direita:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x = - ∞ ∞

Pela regra de l’Hôpital, isso aí dá:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ - x 2 x = lim x → 0 + ⁡ - x = 0

Ora, os limites laterais batem, então a função é contínua em x = 0 .

Passo 2

Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x + 0 e 0 x

= lim x → 0 ⁡ f x x

Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando x → 0 + :

lim x → 0 + ⁡ f x x = lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Vamos fazer agora para x → 0 - :

lim x → 0 - ⁡ - x e x x = lim x → 0 - ⁡ - e - x = - 1

Como vemos, os limites laterais da definição da derivada não bateram, o que significa que f x é não derivável em x = 0 .

Passo 3

( b ) Vamos calcular os dois limites pedidos:

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x = ∞

O outro limite agora:

lim x → - ∞ ⁡ - x e x = ∞ e - ∞ = ∞ 0

Vamos de L’Hôpital:

lim x → - ∞ ⁡ - x e - x → L ' H lim x → - ∞ ⁡ - x ' e - x '

= lim x → - ∞ ⁡ - 1 - e - x = lim x → - ∞ ⁡ e x = e - ∞ = 0

Passo 4

( c ) Vamos derivar a função f x :

f x = - x e x                       ,       s e   x ≤ 0 x ln ⁡ x               ,       s e   x > 0

f ' x = - x e x '                   ,       s e   x ≤ 0 x ln ⁡ x '               ,       s e   x > 0

f ' x = - x ' e x + - x e x '                   ,       s e   x ≤ 0 x ' ln ⁡ x + x ln ⁡ x '               ,       s e   x > 0

f ' x = - e x - x e x                 ,       s e   x ≤ 0 ln ⁡ x + x 1 x               ,       s e   x > 0

f ' x = - e x x + 1                 ,       s e   x ≤ 0 ln ⁡ x + 1               ,       s e   x > 0

Na região de x ≤ 0 , temos uma exponencial com um sinal de menos multiplicando um termo que é negativo para todo x < - 1 . Assim, a função será crescente em x < - 1 e decrescente para 0 ≥ x > - 1 , com ponto crítico em x = - 1 .

Quando x > 0 a derivada será positiva quando:

ln ⁡ x + 1 > 0 → ln ⁡ x > - 1

x > 1 e

Dessa forma, há um ponto crítico em x = 1 e , com a derivada sendo negativa em 0 < x < 1 e e positiva em x > 1 e .

Conclui-se, há apenas dois pontos críticos, um em x = 1 e e outro em x = - 1 .

P o n t o   c r í t i c o : x = - 1   ;   x = 1 e

Passo 5

( d - e ) Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo 4, a derivada será positiva para todo x > 1 e e negativa para x < 1 e , com o detalhe da derivada ser nula em x = 1 e :

C r e s c e n t e : ] - ∞ , - 1   ∪   1 e , + ∞       ;   D e c r e s c e n t e :   - 1 , 1 e [

Passo 6

( f - g ) Nossos pontos críticos são x = - 1 e x = 1 e , vamos substituir esses pontos na função de acordo com os intervalos que elas pertencem para ver seus valores. Para x = - 1 , temos que a função é f x = - x e x , logo

f - 1 = - - 1 e - 1 = 1 e

E para o ponto crítico x = 1 e , temos

f 1 e = 1 e ln ⁡ 1 e = e - 1 ln ⁡ e - 1

f 1 e = - e - 1 ln ⁡ e = - 1 e

Isso quer dizer que dados nossos pontos críticos, f - 1 = 1 e e f 1 e = - 1 e . Portanto

  x = - 1   é   m á x i m o   l o c a l ;   x = 1 e   é   m í n i m o   l o c a l  

Passo 7

h - i Vamos calcular f ' ' x e analisar seu sinal para descobrir quais são suas regiões de crescimento e decrescimento:

f ' ' x = - e x x + 1 '                 ,       s e   x ≤ 0 ln ⁡ x - 1 '               ,       s e   x > 0

f ' ' x = - e x ' x + 1 + - e x x + 1 '                 ,       s e   x ≤ 0 1 x                                                                                                             ,       s e   x > 0

f ' ' x = - e x x + 2           ,       s e   x ≤ 0 1 x           ,       s e   x > 0