Esboço de Gráfico

Teoria Completa

Introdução

Esboço de gráfico é uma das matérias mais recorrentes em provas e que concentra muitos erros dos alunos. O negócio aqui é ficar muuuuuuuuuito ligado, por que essa teoria é importante demaaaaais!!!!

Vamos começar o passo-a-passo de como fazer esse esboço!

Domínio

O domínio de uma função é o conjunto de valores que o seu x pode assumir, de forma que o valor da função esteja definido.

Basicamente você tem que olhar pra função e se perguntar “o que o x pode ser pra não dar ruim?”. A resposta é o domínio da função. Quer em forma de dica as condições mais recorrentes? Então toma aqui:

  1. Denominadores devem ser ≠ 0 .
  2. Sempre que houver raiz de índice par temos que forçar o que está dentro dela a ser ≥ 0 .
  3. ln ⁡ x pede x > 0 .

Assíntotas

Outra parte importante são as assíntotas. Temos que pegar a função que estamos trabalhando e fazer o cálculo de assíntotas horizontais e verticais, como te mostramos lá na nossa teoria sobre esse tema em Limites.

Teste de crescimento e decrescimento

Pega a função, deriva uma vez e analisa onde ela é crescente, decrescente, onde ela não existe e onde temos pontos críticos de máximo ou mínimo.

Concavidade

Aqui, vamos derivar a função pela segunda vez, e observar onde temos pontos de inflexão, onde temos concavidade para cima e onde a concavidade é para baixo.

Esboço

Show! Agora podemos finalmente começar o esboço. A gente já tem:

  1. Domínio
  2. Assíntotas verticais e horizontais
  3. Derivada Primeira
  4. Pontos críticos e análise do sinal para crescimento e decrescimento
  5. Derivada segunda
  6. Pontos de inflexão e análise do sinal para concavidade
  7. Esboço

Então, vamos lá! Vamos esboçar esse exemplo:

f x = x x 2 - 1 3

1   - Domínio

D f = R - { - 1,1 }

2   - Assíntotas verticais e horizontais

Ass. Vertical em - 1 - , - 1 + ,   1 + , 1 - . Não há assíntota horizontal.

3   – Derivada primeira

Aplicando a regra do quociente, temos que: f ' x = 1   x 2 - 1 3   - x 3 x 2 - 1 - 2 3   2 x x 2 - 1 1 3 2

f ' x =   x 2 - 1 1 3 - x 3 x 2 - 1 - 2 3   2 x x 2 - 1 2 3

Multiplicando por x 2 - 1 2 3 / x 2 - 1 2 3 para simplificar:

f ' x =   x 2 - 1   - 2 x 2 3 x 2 - 1 4 3

f ' x = 3 x 2 - 3 - 2 x 2 3 x 2 - 1 4 3

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 4 / 3

4   - Pontos críticos e análise do sinal para crescimento e decrescimento

Assim, os pontos críticos são x = 1 ,   x = - 1 ,   x = 3   e   x = - 3 .

Aplicando o teste CD, x = 3 é um ponto de máximo ; x = - 3 é um ponto de mínimo.

5 - Derivada segunda

Aplicando novamente a regra do quociente, temos que:

f ' ' x = 2 x   3 x 2 - 1 4 / 3 - ( x 2 - 3 )   4 x 2 - 1 1 / 3 2 x 3 x 2 - 1 4 3 2

f ' ' x = 6 x   x 2 - 1 4 3 - 8 x ( x 2 - 3 )   x 2 - 1 1 3 9 x 2 - 1 8 3

Multiplicando, para simplificar, por x 2 - 1 - 1 3 / x 2 - 1 - 1 3 :

f ' ' x = 6 x   x 2 - 1 - 8 x ( x 2 - 3 )   9 x 2 - 1 7 3

f ' ' x = 6 x 3 - 6 x - 8 x 3 + 24 x   9 x 2 - 1 7 3

f ' ' x = 2 x ( 9 - x 2 ) 9 x 2 - 1 7 / 3

6 - Pontos de inflexão

x = ± 3   ;   x = 0     ;   x = ± 1

Enfim, podemos então começar a desenhar? Então arranja um bom pedaço de papel (nada de fazer gráfico com pouco espaço, ok? Fica horrível!) e vamos lá.

Show, a primeira coisa que faremos é marcar as assíntotas com uma linha fraca:

Beleza. Agora marcaremos os pontos críticos que obtemos lá do teste CD:

f - 3 = - 3 2 3 ;   f 3 = 3 2 3

O quanto dá aproximadamente esses números bizarros não é relevante. O que é relevante é o seu sinal, que diz se ele vai ficar abaixo do eixo x ou acima, ok? Em seguida, marcaremos as regiões de crescimento e decrescimento com retas, também fracas.

A reta simplesmente serve pra ilustrar o comportamento da função. Quando a função é crescente, desenhamos uma reta crescente, e quando é decrescente, uma reta decrescente.

Lembrando que as assíntotas estão ali como uma parede, impedindo a passagem da função. A função não pode cruzar nem tocar uma reta de assíntota vertical. O jeito é a função ir até o infinito e aproximar da reta da assíntota infinitamente, mas sem tocar. Falando desse jeito parece estranho, mas é pra ser estranho mesmo. As retas desenhadas não são a função propriamente dita, então se cruzar não tem problema.

Agora, marcamos os pontos de inflexão. Mesmo esquema dos pontos críticos. Eu gosto de marcar eles em cima das retas que já estão desenhadas, mas você pode fazer como quiser.

f 0 = 0 ;   f 3 = 3 8 3 ;   f - 3 = - 3 8 3

E marcamos as concavidades de acordo com os intervalos e também de acordo com a nossa técnica. Quando a concavidade é pra baixo, a curva passa por cima da reta. Quando é pra cima, a curva passa por baixo. Com relação às assíntotas você só tem que lembrar que a função não encosta nelas. Ela vai se aproximando à medida que vamos ao infinito.

E voilá! O gráfico está pronto. Como é só um esboço, o nosso resultado é mais do que suficiente para o gosto de qualquer professor.

De resto, você só precisa se lembrar de alguns pequenos detalhes. Por exemplo, em algum momento a função vai cruzar o eixo y , isso ocorre quando x = 0 e é bom termos o valor da função para fazermos um esboço coerente. No caso desse exemplo, f 0 = 0 , portanto se marcássemos em qualquer lugar, poderia acarretar numa perda de pontos.

Show, agora vai lá para os exercícios de aplicação que estão te esperando!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2008.1 c – 1

Considere a função y = f x = x e - x . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

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Passo 1

( a ) Bom, não tem nada que complique a existência da função, logo o domínio é R .

Passo 2

( b ) Quando ele pede os interceptos ele deseja saber aonde esse termo cruza os eixos:

x = 0 → f 0 = 0 e - 0 = 0

y = 0 → 0 = x e - x ; x = 0

Achamos apenas um ponto, que é onde ele cruza os dois eixos de uma vez:

( 0,0 )

Passo 3

( c ) O gráfico não possui simetria, uma vez que e - x não possui qualquer simetria.

Passo 4

( d ) Para resolver essa letra devemos levar em conta que os limites da função quando x está tendendo para + ∞ e - ∞ para descobrir as assíntotas horizontais. Para as verticais, não teremos nenhuma, uma vez que a função é contínua ao longo de todo seu eixo x :

lim x → + ∞ ⁡ x e - x ⟹ ∞ ⋅ 0

… = lim x → + ∞ ⁡ x e x ⇒ L ' H = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x e - x       →

Nesse caso aí, o x vai a - ∞ enquanto que e - x →   + ∞ ...

lim x → - ∞ ⁡ x e - x = - ∞ ⋅ + ∞ = - ∞

Logo, temos apenas uma assíntota, y = 0 , que é horizontal.

Passo 5

( e ) Ele pede intervalos de crescimento e decrescimento. Precisamos, então, olhar para o sinal da derivada primeira:

f ' x = x ' e - x + x e - x ' = e - x ( 1 - x )

Bom, se e - x é sempre positivo, como toda exponencial, sabemos que o sinal só depende de ( 1 - x ) . Esse termo é negativo depois de x = 1 e positivo antes.

Assim, f ( x ) é crescente para x < 1 e decrescente para x > 1 .

Passo 6

( f ) Os pontos de máximo e de mínimo locais (os famosos pontos críticos) são encontrados quando f ' x = 0 ou não existe. Nesse caso, sabemos que o ponto onde isso ocorre é x = 1 . Como a derivada é positiva antes e negativa depois, sabemos que ele é um ponto de máximo local, não havendo ponto de mínimo local.

Passo 7

( g ) Concavidade é derivada segunda; vamos derivar f ' ( x ) e analisar o sinal de f ' ' ( x ) :

f ' ' x = 1 - x ' e - x + 1 - x e - x ' = e - x ( x - 2 )

Pelo resultado, notamos que o sinal só depende de ( x - 2 ) . Logo, temos concavidade para baixo até x = 2 e para cima daí em diante.

Passo 8

( h ) Juntando as informações: - D o m = R

- I n t e r c e p t a   o s   e i x o s   e m   ( 0,0 )

- N ã o   h á   s i m e t r i a

-   A s s í n t o t a   e m   y = 0

- f ( x )   é   c r e s c e n t e   p a r a   x < 1   e   d e c r e s c e n t e   p a r a   x > 1

- ( x = 1 )   é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

- c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   a t é   x = 2   e   p a r a   c i m a   d a í   e m   d i a n t e

Esboçando, fica assim.

Resposta

a   R

b   I n t e r c e p t a   o s   e i x o s   e m   ( 0,0 )

c   N ã o   h á   s i m e t r i a

d   y = 0

( e )   f ( x )   é   c r e s c e n t e   p a r a   x < 1   e   d e c r e s c e n t e   p a r a   x > 1

( f )   ( x = 1 )   é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

( g )   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   a t é   x = 2   e   p a r a   c i m a   d a í   e m   d i a n t e

h F i g u r a   a c i m a

Exercício Resolvido #2

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2013.1 – 3 (Modificada)

Considere a função:

f x = x 2 - 4 x - 12 x + 3

E as suas primeira e segunda derivadas.

f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2

f ' ' x = 18 x + 3 3

a) Ache as assíntotas horizontais e verticais caso existam.

b) Identifique os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.

c) Encontre os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam.

d) Identifique os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

e) Usando as informações anteriores faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) .

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Passo 1

As assíntotas horizontais podem ser encontradas da seguinte forma:

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 4 x - 12 x + 3

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 4 - 12 x + 3

Como ambos limites nos levam a indeterminações do tipo ∞ / ∞ . Por L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 4 x - 12 x + 3 = lim x → ∞ ⁡ 2 x - 4 1 = ∞

Analogamente para o outro limite:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x - 4 = - ∞

Portanto não existem assíntotas horizontais.

Passo 2

Já para as verticais, podemos observar uma descontinuidade em x = - 3 , logo:

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 4 x - 12 x + 3 = ∞

Segue que existe a assíntota vertical:

x = - 3

Passo 3

Os intervalos onde a função é crescente ou decrescente são definidos abaixo:

Crescente = x ∈ R     f ' x > 0

Decrescente = x ∈ R     f ' x < 0

Portanto, vamos analisar o sinal da derivada:

f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2

Como o termo no denominador é um quadrado perfeito, não entra na nossa análise de sinal, por ser sempre positivo. Vamos então analisar o sinal de:

x 2 + 6 x

Fatorando:

x ( x + 6 )

E estudando o sinal pela nossa tabela:

Portanto segue que os respectivos intervalos são:

Crescente = - ∞ , - 6 ∪ 0 , ∞

Decrescente = - 6 ,   0

Passo 4

Em consequência de nossa análise, descobrimos onde a derivada zera, que são os pontos em que x = 0 e x = - 6 . Portanto são pontos críticos e devemos analisá-los.

Em x = 0 , temos que a função passa de decrescente para crescente, portanto é um mínimo.

Em x = - 6 , a função passa de crescente para decrescente, portanto se trata de um máximo.

Como a função cresce arbitrariamente para x muito grande, e decresce arbitrariamente para x muito pequeno, não existe mínimo nem máximo globais.

Portanto x = 0 é um mínimo local e x = - 6 é um máximo local.

Passo 5

Avaliando o sinal da derivada segunda podemos ver o comportamento da função no que tange à sua concavidade.

Cima = x ∈ R     f ' ' x > 0

Baixo = x ∈ R     f ' ' x < 0 }

Como temos que a nossa derivada segunda é:

f ' ' x = 18 x + 3 3

Só precisamos analisar o sinal de ( x + 3 ) , que é simples:

f ' ' x > 0 ⟹ x + 3 > 0 ⟹ x > - 3

f ' ' x < 0 ⟹ x + 3 < 0 ⟹ x < - 3

Portanto os intervalos são:

Cima = - 3 ,   ∞

Baixo = - ∞ , - 3

Já os pontos de inflexão não existem, pois não conseguimos fazer a derivada segunda zerar:

18 x + 3 3 ≠ 0

Passo 6

E o esboço do gráfico é, portanto:

Resposta

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ - Cálculo 1 - P4 2010.1 – 3

Considere

f x = - x e x                       ,       s e   x ≤ 0 x ln ⁡ x               ,       s e   x > 0

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, fa��a um esboço do gráfico de f .

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Passo 1

( a ) Para descobrir se a função é contínua no x = 0 , temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em x < 0 e outra em x ≥ 0 :

lim x → 0 - ⁡ - x e x = - 0 e 0 = 0

Beleza, agora vamos ver o limite pela direita:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x = - ∞ ∞

Pela regra de l’Hôpital, isso aí dá:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ - x 2 x = lim x → 0 + ⁡ - x = 0

Ora, os limites laterais batem, então a função é contínua em x = 0 .

Passo 2

Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x + 0 e 0 x

= lim x → 0 ⁡ f x x

Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando x → 0 + :

lim x → 0 + ⁡ f x x = lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Vamos fazer agora para x → 0 - :

lim x → 0 - ⁡ - x e x x = lim x → 0 - ⁡ - e - x = - 1

Como vemos, os limites laterais da definição da derivada não bateram, o que significa que f x é não derivável em x = 0 .

Passo 3

( b ) Vamos calcular os dois limites pedidos:

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x = ∞

O outro limite agora:

lim x → - ∞ ⁡ - x e x = ∞ e - ∞ = ∞ 0

Vamos de L’Hôpital:

lim x → - ∞ ⁡ - x e - x → L ' H lim x → - ∞ ⁡ - x ' e - x '

= lim x → - ∞ ⁡ - 1 - e - x = lim x → - ∞ ⁡ e x = e - ∞ = 0

Passo 4

( c ) Vamos derivar a função f x :

f x = - x e x                       ,       s e   x ≤ 0 x ln ⁡ x               ,       s e   x > 0

f ' x = - x e x '                   ,       s e   x ≤ 0 x ln ⁡ x '               ,       s e   x > 0

f ' x = - x ' e x + - x e x '                   ,       s e   x ≤ 0 x ' ln ⁡ x + x ln ⁡ x '               ,       s e   x > 0

f ' x = - e x - x e x                 ,       s e   x ≤ 0 ln ⁡ x + x 1 x               ,       s e   x > 0

f ' x = - e x x + 1                 ,       s e   x ≤ 0 ln ⁡ x + 1               ,       s e   x > 0

Na região de x ≤ 0 , temos uma exponencial com um sinal de menos multiplicando um termo que é negativo para todo x < - 1 . Assim, a função será crescente em x < - 1 e decrescente para 0 ≥ x > - 1 , com ponto crítico em x = - 1 .

Quando x > 0 a derivada será positiva quando:

ln ⁡ x + 1 > 0 → ln ⁡ x > - 1

x > 1 e

Dessa forma, há um ponto crítico em x = 1 e , com a derivada sendo negativa em 0 < x < 1 e e positiva em x > 1 e .

Conclui-se, há apenas dois pontos críticos, um em x = 1 e e outro em x = - 1 .

P o n t o   c r í t i c o : x = - 1   ;   x = 1 e

Passo 5

( d - e ) Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo 4, a derivada será positiva para todo x > 1 e e negativa para x < 1 e , com o detalhe da derivada ser nula em x = 1 e :

C r e s c e n t e : ] - ∞ , - 1   ∪   1 e , + ∞       ;   D e c r e s c e n t e :   - 1 , 1 e [

Passo 6

( f - g ) Nosso único ponto crítico é x = 1 e