Taxa Relacionada

Resumo Completo

Taxa de Variação

A gente passou o tempo todo falando de derivada de uma função qualquer, mas isso está mais teórico que aula de educação física dentro de sala: vamos ver uma abordagem mais prática do assunto por meio da taxa de variação.

Vamos supor que tenhamos uma pedra chamada Joaquim que cai do topo de um edifício de altura s o = 20 m . Qual a velocidade instantânea de Joaquim para t = 2 s ?

O problema aqui é: como determinar a taxa de variação entre s e t assim?

Bom, o Joaquim seguirá a trajetória de queda livre, que é descrita assim:

s t = s 0 - g t 2 2 s t = 20 - 9.8 t 2 2 s t = 20 - 4.9 t ²

A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:

v ( t ) = lim Δ t 0 Δ S Δ t = s ' t = d s d t

Então, bora derivar o s :

v t = d s d t = - 9.8 t v 2 = - 9.8 2 = - 19.6 m / s

Sabe o que acabamos de calcular? A taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo! Ela nada mais é que a derivada da posição ( s ) em relação ao tempo ( d s d t ou s ( t ) ).

Taxa relacionada

Se um quadrado de lado l e área A tem seu lado crescendo a 1   m / s quando vale l = 1   m , a que taxa cresce a sua área nesse mesmo instante?

Por onde começa isso, e que raios de pergunta é essa? O cara do Responde Aí enlouqueceu?

Vamos lá. Imagine que l e A são funções do tempo. Nós não sabemos como é essa função de cada um no tempo, porém sabemos que a área de um quadrado é dada assim:

A = l 2

Mas como eu disse, ambos são função do tempo, certo?

A t = l t 2

Eu quero a taxa com que varia essa área aí. Para isso é interessante achar a taxa de variação da área pelo tempo. Ou seja, a derivada de A t por t ! Então, que tal derivar essa igualdade em relação ao tempo?

A t ' = l t 2 '

Mas repare, A é função de l , que é função do tempo. É como se tivéssemos uma função composta no l t 2 ! Nesse caso, temos que derivar com a Regra da Cadeia, e vai aparecer:

d A t d t = 2 l t d l t d t

E esse d l t d t vem da Regra da Cadeia para derivar em relação ao tempo a equação.

No instante tratado, l t 0 = 1   m e l t 0 ' = d l t d t t 0 = 1   m / s . Assim,

d A t d t = 2 l t d l t d t = 2 1 1 d A t d t = 2   m 2 / s

Ao calcular a relação entre as derivadas, relacionamos as taxas de variação de A e l em relação a t .

Logo, você terá uma equação que relaciona as variáveis do problema (no caso aqui, A = l 2 ). Todas serão função do tempo. Você derivará tudo em função do tempo, e aparecerão termos de taxas (com uma cara de d l t d t ou l t ' , como no exemplo).

Assim, substituímos as informações do problema e descobrimos a taxa desejada!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Louis Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica Vol.1, 3ª ed. São Paulo: editora HARBRA ltda., 1994, pp. 172-27

Se a água estiver sendo drenada de uma piscina e V litros for o volume de água na piscina t min após começar o escoamento, onde

V = 250 1600 - 80 t + t 2 ,

ache:

a ) A taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.

b ) Quão rápido a água está fluindo da piscina 5   m i n após o início do escoamento.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a ) A taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.

Aqui temos que calcular a taxa média e não instantânea, que será dada por:

Δ V Δ t = V 5 - V 0 5 - 0

Δ V Δ t = 250 1600 - 80 × 5 + 5 2 - 250 1600 5

Δ V Δ t = 250 × 1225 - 250 × 1600 5

Δ V Δ t = - 18750   l / m i n

Passo 2

b ) Quão rápido a água está fluindo da piscina 5   m i n após o início do escoamento.

Agora, pra calcular o quão rápido a água está fluindo, precisamos calcular a taxa instantânea com a qual a água escoa. Que é a taxa de variação do volume no tempo:

d V d t = 250 - 80 + 2 t

Quando t = 5 m i n , teremos:

d V 5 d t = 250 - 80 + 2 × 5

d V 5 d t = - 250 × 70

d V 5 d t = - 17500   l / m i n

Resposta

a )

Δ V Δ t = - 18750   l / m i n

b )

d V 5 d t = - 17500   l / m i n

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 236-5.

A voltagem V (volts), a corrente I (amperes) e a resistência R (ohms) de um circuito elétrico (veja a seguir) estão relacionadas entre si pela equação V = I R . Suponha que V esteja aumentando a uma taxa de 1 v o l t s / s , enquanto I está diminuindo a uma taxa de 1 / 3 A / s . Representaremos o tempo t em segundos.

a ) Qual é o valor de d V / d t ?

b ) Qual é o valor de d I / d t ?

c ) Qual equação relaciona d R / d t , d V / d t e d I / d t ?

d ) Encontre a taxa com a qual R está variando quando V = 12 e I = 2 A . R está aumentando ou diminuindo?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

Queremos saber o valor d V / d t , ou seja, o quanto a tensão varia no tempo. O próprio enunciado diz que a tensão está variando a uma taxa de 1 volt (tensão) por segundo (tempo). Então já temos essa informação:

d V d t = 1 v o l t s / s

Passo 2

b)

O próprio enunciado diz que a corrente está variando a uma taxa de 1 / 3 amper (corrente) por segundo (tempo). E ela está diminuindo, então a taxa de variação tem que ser negativa:

  d I d t = - 1 3 A / s

Passo 3

c)

Todas as taxas do enunciado estão em relação ao tempo. Para encontrá-la, derivamos implicitamente em relação ao tempo: V = I R d V d t = d I d t R + d R d t I

Olhe lá! d R / d t , d I / d t e d V / d t estão nessa nova equação. Esta é a equação que os relaciona.

Passo 4

Quando V = 12 v o l t s , I = 2 A e, pelo enunciado, d V / d t = 1 v o l t s / s e d I / d t = 1 / 3 A / s :

d V d t = d I d t R + d R d t I 1 = - 1 3 R + d R d t 2

Caramba! Para saber d R / d t temos que conhecer R , e agora? Simples, da primeira equação:

V = R I 12 = 2 R R = 6 Ω

Agora sim:

1 = - 1 3 6 + d R d t 2

- 2 + 2 d R d t = 1

2 d R d t = 3

Portanto:

d R d t = 3 2 Ω / s

Que é positiva, então R está aumentando!

Resposta

a ) d V d t = 1 v o l t s / s

b ) d I d t = - 1 3 A / s

c )

d V d t = d I d t R + d R d t I

d ) d R d t = 3 2 Ω / s > 0 R   e s t á   a u m e n t a n d o

Exercício Resolvido #3

Enunciado

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 236-7.

Sejam x e y funções deriváveis de t e seja s = x ² + y 2 a distância entre os pontos ( x , 0 ) e ( 0 , y ) no plano x y .

a ) Como d s / d t está relacionada a d x / d t se y é constante?

b ) Como d s / d t está relacionada a d x / d t e d y / d t se nem x nem y são constantes?

c ) Como d x / d t está relacionada a d y / d t se 𝑠 é constante?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a ) Derivando para achar as taxas relacionadas: s = x 2 + y 2 d s d t = 1 2 x 2 + y 2 2 x d x d t + 2 y d y d t

d s d t = 1 x 2 + y 2 x d x d t + y d y d t

Quando y é constante, seu valor não variará no tempo, então sua derivada é zero:

d s d t = 1 x 2 + y 2 x d x d t

Passo 2

b ) Quando nem x nem y são constantes, temos a equação que achamos antes de zerar a derivada de y :

d s d t = 1 x 2 + y 2 x d x d t + y d y d t

Passo 3

c ) Quando s é constante, sua derivada também será zero, então:

d s d t = 1 x 2 + y 2 x d x d t + y d y d t 0 = 1 x 2 + y 2 x d x d t + y d y d t

Resposta

a ) d s d t = 1 x 2 + y 2 x d x d t

b ) d s d t = 1 x 2 + y 2 x d x d t + y d y d t

c )

0 = 1 x 2 + y 2 x d x d t + y d y d t

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