Taxa Relacionada

Teoria Completa

Taxa de Variação

A gente passou o tempo todo falando de derivada de uma função qualquer, mas isso está mais teórico que aula de educação física dentro de sala: vamos ver uma abordagem mais prática do assunto por meio da taxa de variação.

Vamos supor que uma pedrinha cai do topo de um edifício de altura s o = 20 m . Qual a velocidade instantânea dessa pedrinha para t = 2 s ?

O problema aqui é: como determinar a taxa de variação entre s e t assim?

Bom, a pedra seguirá a trajetória de queda livre, que é descrita assim:

s t = s 0 - g t 2 2 ⟹ s t = 20 - 9.8 t 2 2 ⟹ s t = 20 - 4.9 t ²

A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:

v ( t ) = lim Δ t → 0 ⁡ Δ S Δ t = s ' t = d s d t

Então, bora derivar o s :

v t = d s d t = - 9.8 t ⟹ v 2 = - 9.8 ⋅ 2 = - 19.6 m / s

Sabe o que acabamos de calcular? A taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo! Ela nada mais é que a derivada da posição ( s ) em relação ao tempo ( d s d t ou s ’ ( t ) ).

Taxa relacionada

Se um quadrado de lado l e área A tem seu lado crescendo a 1   m / s quando vale l = 1   m , a que taxa cresce a sua área nesse mesmo instante?

Por onde começa isso, e que raios de pergunta é essa? O cara do Responde Aí enlouqueceu?

Vamos lá. Imagine que l e A são funções do tempo. Nós não sabemos como é essa função de cada um no tempo, porém sabemos que a área de um quadrado é dada assim:

A = l 2

Mas como eu disse, ambos são função do tempo, certo?

A t = l t 2

Eu quero a taxa com que varia essa área aí. Para isso é interessante achar a taxa de variação da área pelo tempo. Ou seja, a derivada de A t por t ! Então, que tal derivar essa igualdade em relação ao tempo?

A t ' = l t 2 '

Mas repare, A é função de l , que é função do tempo. É como se tivéssemos uma função composta no l t 2 ! Nesse caso, temos que derivar com a Regra da Cadeia, e vai aparecer:

d A t d t = 2 l t d l t d t

E esse d l t d t vem da Regra da Cadeia para derivar em relação ao tempo a equação.

No instante tratado, l t 0 = 1   m e l t 0 ' = d l t d t t 0 = 1   m / s . Assim,

d A t d t = 2 l t d l t d t = 2 1 1 ⟹ d A t d t = 2   m 2 / s

Ao calcular a relação entre as derivadas, relacionamos as taxas de variação de A e l em relação a t .

Logo, você terá uma equação que relaciona as variáveis do problema (no caso aqui, A = l 2 ). Todas serão função do tempo. Você derivará tudo em função do tempo, e aparecerão termos de taxas (com uma cara de d l t d t ou l t ' , como no exemplo).

Assim, substituímos as informações do problema e descobrimos a taxa desejada!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Louis Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica Vol.1, 3ª ed. São Paulo: editora HARBRA ltda., 1994, pp. 172-27

Se a água estiver sendo drenada de uma piscina e V litros for o volume de água na piscina t min após começar o escoamento, onde

V = 250 1600 - 80 t + t 2 ,

ache:

a ) A taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.

b ) Quão rápido a água está fluindo da piscina 5   m i n após o início do escoamento.

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Passo 1

a ) A taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.

Aqui temos que calcular a taxa média e não instantânea, que será dada por:

Δ V Δ t = V 5 - V 0 5 - 0

Δ V Δ t = 250 1600 - 80 × 5 + 5 2 - 250 1600 5

Δ V Δ t = 250 × 1225 - 250 × 1600 5

Δ V Δ t = - 18750   l / m i n

Passo 2

b ) Quão rápido a água está fluindo da piscina 5   m i n após o início do escoamento.

Agora, pra calcular o quão rápido a água está fluindo, precisamos calcular a taxa instantânea com a qual a água escoa. Que é a taxa de variação do volume no tempo:

d V d t = 250 - 80 + 2 t

Quando t = 5 m i n , teremos:

d V 5 d t = 250 - 80 + 2 × 5

d V 5 d t = - 250 × 70

d V 5 d t = - 17500   l / m i n

Resposta

a )

Δ V Δ t = - 18750   l / m i n

b )

d V 5 d t = - 17500   l / m i n

Exercício Resolvido #2

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 236-5.

A voltagem V (volts), a corrente I (amperes) e a resistência R (ohms) de um circuito elétrico (veja a seguir) estão relacionadas entre si pela equação V = I R . Suponha que V esteja aumentando a uma taxa de 1 v o l t s / s , enquanto I está diminuindo a uma taxa de 1 / 3 A / s . Representaremos o tempo t em segundos.

a ) Qual é o valor de d V / d t ?

b ) Qual é o valor de d I / d t ?

c ) Qual equação relaciona d R / d t , d V / d t e d I / d t ?

d ) Encontre a taxa com a qual R está variando quando V = 12 e I = 2 A . R está aumentando ou diminuindo?

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Passo 1

a)

Queremos saber o valor d V / d t , ou seja, o quanto a tensão varia no tempo. O próprio enunciado diz que a tensão está variando a uma taxa de 1 volt (tensão) por segundo (tempo). Então já temos essa informação:

d V d t = 1 v o l t s / s

Passo 2

b)

O próprio enunciado diz que a corrente está variando a uma taxa de 1 / 3 amper (corrente) por segundo (tempo). E ela está diminuindo, então a taxa de variação tem que ser negativa:

  d I d t = - 1 3 A / s

Passo 3

c)

Todas as taxas do enunciado estão em relação ao tempo. Para encontrá-la, derivamos implicitamente em relação ao tempo: V = I R ⟹ d V d t = d I d t ⋅ R + d R d t ⋅ I

Olhe lá! d R / d t , d I / d t e d V / d t estão nessa nova equação. Esta é a equação que os relaciona.

Passo 4

Quando V = 12 v o l t s , I = 2 A e, pelo enunciado, d V / d t = 1 v o l t s / s e d I / d t = 1 / 3 A / s :

d V d t = d I d t ⋅ R + d R d t ⋅ I ⟹ 1 = - 1 3 ⋅ R + d R d t ⋅ 2

Caramba! Para saber d R / d t temos que conhecer R , e agora? Simples, da primeira equação:

V = R I ⟹ 12 = 2 R ⟹ R = 6 Ω

Agora sim:

1 = - 1 3 ⋅ 6 + d R d t ⋅ 2

- 2 + 2 d R d t = 1

2 d R d t = 3

Portanto:

d R d t = 3 2 Ω / s

Que é positiva, então R está aumentando!

Resposta

a ) d V d t = 1 v o l t s / s

b ) d I d t = - 1 3 A / s

c )

d V d t = d I d t ⋅ R + d R d t ⋅ I

d ) d R d t = 3 2 Ω / s > 0 → R   e s t á   a u m e n t a n d o

Exercício Resolvido #3

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 236-7.

Sejam x e y funções deriváveis de t e seja s = x ² + y 2 a distância entre os pontos ( x , 0 ) e ( 0 , y ) no plano x y .

a ) Como d s / d t está relacionada a d x / d t se y é constante?

b ) Como d s / d t está relacionada a d x / d t e d y / d t se nem x nem y são constantes?

c ) Como d x / d t está relacionada a d y / d t se 𝑠 é constante?

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Passo 1

a ) Derivando para achar as taxas relacionadas: s = x 2 + y 2 ⟹ d s d t = 1 2 x 2 + y 2 ⋅ 2 x ⋅ d x d t + 2 y ⋅ d y d t

d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

Quando y é constante, seu valor não variará no tempo, então sua derivada é zero:

d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t

Passo 2

b ) Quando nem x nem y são constantes, temos a equação que achamos antes de zerar a derivada de y :

d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

Passo 3

c ) Quando s é constante, sua derivada também será zero, então:

d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t ⟹ 0 = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

Resposta

a ) d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t

b ) d s d t = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

c )

0 = 1 x 2 + y 2 ⋅ x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

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