Taxa Relacionada – Casos Clássicos

Teoria Completa

Pitágoras

Quase sempre a equação que relaciona as variáveis do problema não é fornecida no enunciado. Aí que mora grande parte da dificuldade de taxas relacionadas.

Um problema clássico aqui: Imagine que José, o desatento, tinha uma escada de 5 m de comprimento e a apoiou em uma parede. Como não se preocupou em deixá-la firme, a escada, agora, está escorregando de forma que sua base aumenta 2 m / s : O quanto variará a altura quando o comprimento da base for de 3 m ?

Como relacionar essas variáveis do deslocamento das pontas da escada??

Repare que em nenhum momento foi dada a equação que precisamos usar no problema, mas, como a escada faz um triângulo retângulo quando apoiada na parede, podemos considerar y a altura e x a base e usar Pitágoras para relacionar tudo:

5 ² = x ² + y ²

Queremos saber também a variação da altura, portanto d y / d t . Vamos derivar a equação implicitamente:

0 = 2 x ⋅ d x d t + 2 y ⋅ d y d t ⟹ 0 = x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

A base aumenta 2 m / s , então d x / d t   = 2 m / s e também x = 3 m .

Assim, quando x = 3 m :

5 ² = 3 ² + y ² ⟹ y = 4

Substituindo tudo:

0 = x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t ⟹ 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ d y d t = 0 ��� d y d t =   - 3 2 m / s

Encontramos a variação da altura da escada, que é negativa, porque a escada está caindo.

Então é isso. Fique esperto! Apareceu triângulo retângulo, provavelmente você usará Pitágoras.

Perímetros, áreas e volumes

Além dos problemas envolvendo o teorema de Pitágoras, também são comuns aqueles que envolvem perímetros, áreas e volumes. Aí é só se ligar nas principais áreas e volumes cobrados.

Aqui a gente te apresenta as fórmulas de outras áreas recorrentes:

A q u a d r a d o = l a d o 2 ;     l a d o 1 ⋅ l a d o 2 ;     A r e t â n g u l o = l a d o 1 ⋅ l a d o 2 ;    

A t r i â n g u l o = b a s e ⋅ a l t u r a 2 ;   A c i r c u f e r ê n c i a = π r a i o 2   ;    

A l a t e r a l   d o   c i l í n d r o = 2 π ⋅ r a i o ⋅ a l t u r a ;     A e s f e r a = 4 π r a i o 2

Os principais volumes que você precisa saber:

V e s f e r a = 4 π r a i o 3 3 ;     V c i l í n d r o = π r a i o 2 a l t u r a

V c o n e = π r a i o 2 a l t u r a 3 ;     V p r i s m a = A b a s e ⋅ ( a l t u r a )

Além disso tudo, lembre-se que a vazão é variação do volume no tempo ( d V / d t ).

Achando ângulos

Vamos repensar o problema da escada caindo:

Qual a velocidade que altura diminui quando a velocidade angular de θ é de 2 r a d / s e θ = π / 3   r a d ? Como descrever ângulo em relação a distâncias??

Trigonometria! Pegamos ali o seno, considerando y a altura, então queremos saber d y / d t .

sin ⁡ θ = y 5 ⟹ cos ⁡ θ ⋅ d θ d t = 1 5 ⋅ d y d t

Com:

d θ d t = - 2 r a d / s

Obs.: o sinal de “menos” na derivada d θ d t significa que o ângulo está diminuindo em magnitude;)

Substituindo tudo:

cos ⁡ π / 3 ⋅ - 2 = 1 5 ⋅ d y d t ⟹ d y d t = - 5 m / s

Outras relações importantes que você precisa saber:

Lei dos cossenos e Lei dos Senos:

A ² = B ² + C ² - 2 B C ⋅ c o s ⁡ ( Â )

A s e n  = B s e n B ^ = C s e n C ^

Soma de senos e cossenos:

s e n a ± b = s e n a cos ⁡ b ± s e n b cos ⁡ a ;  

cos ⁡ a ± b = cos ⁡ a cos ⁡ b ∓ s e n ( a ) s e n ( b )

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Exercício Resolvido #1

UFRJ – Lista do Jair, Taxas Relacionadas, Questão 7

Um balão eleva-se verticalmente do solo à razão de 3   m/s . Quando o balão está a 48   m do solo, passa exatamente sob ele um automóvel viajando à velocidade de 20   m/s . Com que velocidade varia, 4 segundos após, a distância entre eles?

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Passo 1

Vamos desenhar o problema:

Agora a gente precisa determinar o que a gente tem que achar aí. O problema quer saber a variação da distância entre eles. Se a distância é s então queremos saber:

d s d t = ? ?

Passo 2

Agora precisamos ver o que a gente tem. O balão se eleva verticalmente à razão de 3   m/s . Isso é a velocidade vertical. Se a posição é y então:

d y d t = 3 m / s

Não se engane com relação a y . O valor inicial de y é 48 m . Para instantes seguintes teremos que:

y t = y 0 + v t ⟹ y t = 48 + 3 t

No instante 4 :

y 4 = 48 + 3 ⋅ 4 = 48 + 12 = 60 m

Temos também a velocidade do carro, que está andando horizontalmente. Sendo x a posição horizontal:

d x d t = 20 m / s

O que vai relacionar isso tudo? Pitágoras!

s ² = x 2 + y 2 ⟹ 2 s ⋅ d s d t = 2 x ⋅ d x d t + 2 y ⋅ d y d t ⟹ s ⋅ d s d t = x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

Substituindo tudo que a gente sabe:

s ⋅ d s d t = x ⋅ 20 + 60 ⋅ 3 ⟹ s ⋅ d s d t = 20 x + 180

Passo 3

E agora? Se o carro estava andando a 20   m/s então sua posição será:

x t = 20 t

No ponto que a gente quer: x 4 = 20 ⋅ 4 = 80 m

E s ? Quando x = 80 m :

s ² = x 2 + y 2 ⟹ s 2 = 80 2 + 60 2 ⟹ s = 100

Agora é só felicidade. Vamos substituir tudo:

s ⋅ d s d t = 20 x + 180 ⟹ 100 ⋅ d s d t = 20 ⋅ 80 + 180 ⟹ 100 ⋅ d s d t = 1780

d s d t = 1780 100 ⟹ d s d t = 17.8   m / s

Resposta

d s d t = 17,80   m/s

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Cálculo 1 – P1 2010.2 – 3

No desenho, o ponto A representa um objeto que se desloca sobre uma semicircunferência de raio 5   m , com velocidade constante 0,1   m / s . Em cada instante, h é a distância de A até o diâmetro P Q .

Durante o movimento de subida, qual será a taxa de variação da distância h no momento em que ela medir 4   m ?

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Passo 1

O que a questão pede é:

d h d t =   ? ?

No instante em que h = 4 m. O dado que nós temos é referente à velocidade.

Como a velocidade é a taxa de variação da posição com relação ao tempo, e o espaço percorrido pela partícula em A é o arco s , então é seguro dizer que a velocidade é:

d s d t = 0,1 m / s

Também temos o valor do raio da figura:

r = 5 m

Passo 2

O que vai conectar os nossos s e h vai ser o ângulo θ que é comum aos dois:

s = r θ

h = r sen ⁡ θ

Passo 3

Derivando em relação ao tempo:

d s d t = 5 d θ d t

d h d t = 5 cos ⁡ θ d θ d t

Substituindo o que a gente já sabe na primeira:

0,1 = 5 d θ d t ⟹ d θ d t = 0,02 r a d / s

Substituindo na segunda:

d h d t = 5 d θ d t cos ⁡ θ

d h d t = 0,1 ⋅ cos ⁡ θ

Passo 4

Agora basta achar quanto é o cos ⁡ θ quando h = 4 : cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

Da figura, temos, quando h = 4 :

sen ⁡ θ = 4 5

Calculando essa felicidade:

cos ⁡ θ = 1 - 16 25 = 25 - 16 25

cos ⁡ θ = 9 25

cos ⁡ θ = 3 5

Substituindo:

d h d t = 0,1 ⋅ 3 5

Resposta

d h d t = 0,06 m / s

Exercício Resolvido #3

UERJ - Cálculo 1 - Lista Derivadas – 4

Selecionado da Lista de Derivadas da Professora Renata - Cálculo 1 - UERJ

Um homem com 1,80   m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5   m/s . Se existe um ponto de luz no chão a 15   m do edifício, com que velocidade a sombra do homem estará diminuindo, quando ele estiver a 9   m do edifício?

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Passo 1

Vamos desenhando:

Bom, chamando a altura do cara de h , a distância do ponto até a parede de d e do ponto até o homem de l . Repare, quando falamos na velocidade do cara, estamos, basicamente, falando da velocidade com que l aumenta. Colocando, então tudo o que o cara me passou como dados, fica assim:

h = 1,8   m           ;           d = 15   m           ;           l = varia           ;           l ' = 1,5   m/s

E ele quer saber, quando d - l = 9 m , como varia a altura da sombra do maluco aí. Que é basicamente:

d H d t = H ' = ? ?

Passo 2

Vamos “matematicar” esse desenho:

Onde a sombra tem altura H . Repara que a inclinação θ que marcamos ali varia, é maior quando ele está mais perto do ponto e menor quando ele se afasta. O que não muda é essa relação entre as alturas e as distâncias que, por Semelhança de Triângulos, fica desse jeito:

h l = H d

Bom, pegando aquilo que já conhecemos, podemos deixar o H em função do l :

H = d ⋅ h l = 15 1,8 l - 1 = 27 ⋅ l - 1

Passo 3

Repara no seguinte, tanto a altura quando a distância l variam com o tempo. Se derivarmos em relação ao tempo ambas grandezas, podemos construir uma relação entre as taxas:

H ' = 27 ⋅ l - 1 ' = - 27 ⋅ l - 2 ( l ) ' = - 27 ⋅ l ' l 2

Queremos essa taxa H ' quando ele estiver a 9   m da parede vamos ter:

d - l = 9

Assim

15 - l = 9

l = 6

Sabendo ainda que a taxa de variação l ' vale, em qualquer momento, a mesma coisa:

l ' = 1,5   m/s

Substituindo, portanto:

H ' = - 27 ⋅ l ' l 2 = - 27 ⋅ 1,5 6 2 = - 27 ⋅ 1,5 36 = - 4,5 4 = - 1,125   m/s

E é isso!

Resposta

H ' = - 1,125   m/s

Exercício Resolvido #4

UFRJ - Lista do Jair, Taxas Relacionadas, Questão 3

Um retângulo possui lados que variam com o tempo e está inscrito numa região triangular conforme a figura abaixo. Determine com que taxa a área do retângulo está variando no instante em que sua altura y   mede 36   c m e está aumentando à taxa de 0,5   c m / s . Neste instante a área está aumentando ou diminuindo?

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Passo 1

O problema quer saber a taxa com que a área do retângulo varia. Então ele quer:

d A d t = ? ?

Ele também nos disse que para o instante tratado, y = 36 c m e

d y d t = 0,5 c m / s

Passo 2

Podemos usar a expressão da área do retângulo para relacionar as variáveis do problema:

A expressão da área é:

A = x y

Precisamos então derivar:

d A d t = y d x d t + x d y d t

Substituindo o que a gente já sabe:

d A d t = y d x d t + x d y d t ⟹ d A d t = 36 d x d t + 0,5 x

Passo 3

Precisamos de x sua derivada. Mas temos que, por semelhança de triângulos: y 40 - x = 60 40

2 y = 3 40 - x

Derivando ambos os lados: 2 d y d t = - 3 d x d t

Substituindo:

2 ⋅ 0,5 = - 3 d x d t

d x d t = - 1 3   c m / s

No momento em que a altura vale 36   c m , temos:

36 40 - x = 3 2

x = 16

Portanto, substituindo de volta na fórmula de d A / d t :

d A d t = 36 d x d t + 0,5 x

d A d t = - 1 3 ⋅ 36 + 16 ⋅ 1 2

d A d t = - 12 + 8

d A d t = - 4   c m 2 / s

Resposta

A taxa de variação da área é negativa e, portanto, a área do retângulo está diminuindo.

Exercício Resolvido #5

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2015.1 – 3

Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera. Se o raio da esfera cresce a uma taxa de 1   c m / s   e o raio da base do cilindro cresce a uma taxa de 3   c m / s , com que razão está variando a área lateral do cilindro no momento em que o raio da esfera é 10   c m e o raio da base do cilindro é de 6   c m ?

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Passo 1

O que a gente quer achar? Queremos calcular a variação da área lateral do cilindro:

d A l d t = ? ?

Chamando, como na figura, de R o raio da esfera, r o do cilindro e h a metade da altura, vamos reunir aqui os dados num instante dado que eu vou chamar de t 0 :

d R t 0 d t = 1   c m / s

d r t 0 d t = 3   c m / s

R t 0 = 10   c m

r t 0 = 6   c m

Passo 2

E ele quer saber, com isso, como varia a área lateral do cilindro. Bom, podemos calcular essa área pela definição geométrica dela, que é a seguinte:

A l = 2 π r 2 h

Porém, h é uma variável da qual não conhecemos a taxa de variação e o valor em t 0 , o que complica para trabalhar. Por outro lado, dá para ver pela própria figura que r , h e R formam um triângulo retângulo, então poderemos escrever h em função de r e R :

h 2 + r 2 = R 2 → h = R 2 - r 2

Substituindo:

A l = 4 π r R 2 - r 2

Passo 3

Vamos derivar os dois lados em função do tempo e ver como ficamos (não se esqueça da regra da soma, heim):

d A l d t = 4 π d r d t R 2 - r 2 + r d R 2 - r 2 d t

Derivando a raiz e aplicando a regra do cadeia...

= 4 π d r d t R 2 - r 2 + r 2 R 2 - r 2 ⋅ d R 2 - r 2 d t

= 4 π R 2 - r 2 + r R 2 - r 2 ⋅ ( R d R d t - r d r d t )

Bom, em t 0 a gente sabe quais serão os valores de r , r ' , R e R ' .

… = 4 π d r ( t 0 ) d t R t 0 2 - r t 0 2 + r ( t 0 ) R t 0 2 - r t 0 2 ⋅ R ( t 0 ) d R ( t 0 ) d t - r ( t 0 ) d r ( t 0 ) d t

Agora é só substituir tudo o que temos mesmo...

= 4 π 3 10 2 - 6 2 + 6 10 ⋅ 1 - 6 ⋅ 3 10 2 - 6 2

= 4 π 3 100 - 36 + 6 10 - 18 100 - 36

= 4 π 3 64 + 6 ⋅ ( - 8 ) 64 = 4 π 3 ⋅ 8 - 48 8

= 4 π 24 - 6 = 4 π 18

= 72 π   c m 2 / s

Resposta

d A l d t = 72 π   c m 2 / s

Exercício Resolvido #6

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 239-38

Dois navios a vapor estão navegando para longe de um ponto O em rotas que forma um ângulo de 120 º . O navio A desloca-se a 14 nós (milhas náuticas por hora). O navio B desloca-se a 21 nós. A que taxa os navios estão se afastando entre si, quando O A = 5 e O B = 3 milhas náuticas?

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Passo 1

Vamos tentar visualizar o problema:

Queremos achar a variação da distância entre os navios que é descrita por B A :

d B A d t = ? ?

Temos a informação das distancias O B e O A :

O B = 3 m i l h a s

O A = 5 m i l h a s

E as variações dessas distâncias (velocidades):

d O A d t = 14 n ó s

d O B d t = 21 n ó s

Sendo 1 nó igual à 1 milha náutica por hora.

Passo 2

Agora, o que relaciona isso tudo? Não dá para usar Pitágoras, pois não temos um triângulo retângulo. Que nos salvará agora será a lei dos cossenos:

B A 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O B O A ⋅ cos ⁡ ( 120 º )

B A 2 = O A 2 + O B 2 + 2 2 O B O A

Derivando isso tudo em relação ao tempo: 2 B A d B A d t = 2 O A d O A d t + 2 O B d O B d t + d O B d t O A + d O A d t O B

Substituindo tudo que a gente já sabe:

2 B A d B A d t = 10   ⋅ 14 + 6 ⋅ 21 + 21 ⋅ 5 + 14 ⋅ 3

B A d B A d t = 413 2

Falta só achar B A que achamos tudo que queremos.

Passo 3

Da lei dos cossenos:

B A 2 = O A 2 + O B 2 + O B O A

Substituindo:

B A 2 = 5 2 + 3 2 + 3 ⋅ 5