Taxa Relacionada – Casos Clássicos

Teoria Completa

Pitágoras

Quase sempre a equação que relaciona as variáveis do problema não é fornecida no enunciado. Aí que mora grande parte da dificuldade de taxas relacionadas.

Um problema clássico aqui: Imagine que José, o desatento, tinha uma escada de 5 m de comprimento e a apoiou em uma parede. Como não se preocupou em deixá-la firme, a escada, agora, está escorregando de forma que sua base aumenta 2 m / s : O quanto variará a altura quando o comprimento da base for de 3 m ?

Como relacionar essas variáveis do deslocamento das pontas da escada??

Repare que em nenhum momento foi dada a equação que precisamos usar no problema, mas, como a escada faz um triângulo retângulo quando apoiada na parede, podemos considerar y a altura e x a base e usar Pitágoras para relacionar tudo:

5 ² = x ² + y ²

Queremos saber também a variação da altura, portanto d y / d t . Vamos derivar a equação implicitamente:

0 = 2 x ⋅ d x d t + 2 y ⋅ d y d t ⟹ 0 = x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

A base aumenta 2 m / s , então d x / d t   = 2 m / s e também x = 3 m .

Assim, quando x = 3 m :

5 ² = 3 ² + y ² ⟹ y = 4

Substituindo tudo:

0 = x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t ⟹ 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ d y d t = 0 ��� d y d t =   - 3 2 m / s

Encontramos a variação da altura da escada, que é negativa, porque a escada está caindo.

Então é isso. Fique esperto! Apareceu triângulo retângulo, provavelmente você usará Pitágoras.

Perímetros, áreas e volumes

Além dos problemas envolvendo o teorema de Pitágoras, também são comuns aqueles que envolvem perímetros, áreas e volumes. Aí é só se ligar nas principais áreas e volumes cobrados.

Aqui a gente te apresenta as fórmulas de outras áreas recorrentes:

A q u a d r a d o = l a d o 2 ;     l a d o 1 ⋅ l a d o 2 ;     A r e t â n g u l o = l a d o 1 ⋅ l a d o 2 ;    

A t r i â n g u l o = b a s e ⋅ a l t u r a 2 ;   A c i r c u f e r ê n c i a = π r a i o 2   ;    

A l a t e r a l   d o   c i l í n d r o = 2 π ⋅ r a i o ⋅ a l t u r a ;     A e s f e r a = 4 π r a i o 2

Os principais volumes que você precisa saber:

V e s f e r a = 4 π r a i o 3 3 ;     V c i l í n d r o = π r a i o 2 a l t u r a

V c o n e = π r a i o 2 a l t u r a 3 ;     V p r i s m a = A b a s e ⋅ ( a l t u r a )

Além disso tudo, lembre-se que a vazão é variação do volume no tempo ( d V / d t ).

Achando ângulos

Vamos repensar o problema da escada caindo:

Qual a velocidade que altura diminui quando a velocidade angular de θ é de 2 r a d / s e θ = π / 3   r a d ? Como descrever ângulo em relação a distâncias??

Trigonometria! Pegamos ali o seno, considerando y a altura, então queremos saber d y / d t .

sin ⁡ θ = y 5 ⟹ cos ⁡ θ ⋅ d θ d t = 1 5 ⋅ d y d t

Com:

d θ d t = - 2 r a d / s

Obs.: o sinal de “menos” na derivada d θ d t significa que o ângulo está diminuindo em magnitude;)

Substituindo tudo:

cos ⁡ π / 3 ⋅ - 2 = 1 5 ⋅ d y d t ⟹ d y d t = - 5 m / s

Outras relações importantes que você precisa saber:

Lei dos cossenos e Lei dos Senos:

A ² = B ² + C ² - 2 B C ⋅ c o s ⁡ ( Â )

A s e n  = B s e n B ^ = C s e n C ^

Soma de senos e cossenos:

s e n a ± b = s e n a cos ⁡ b ± s e n b cos ⁡ a ;  

cos ⁡ a ± b = cos ⁡ a cos ⁡ b ∓ s e n ( a ) s e n ( b )

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Exercício Resolvido #1

UFRJ – Lista do Jair, Taxas Relacionadas, Questão 7

Um balão eleva-se verticalmente do solo à razão de 3   m/s . Quando o balão está a 48   m do solo, passa exatamente sob ele um automóvel viajando à velocidade de 20   m/s . Com que velocidade varia, 4 segundos após, a distância entre eles?

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Passo 1

Vamos desenhar o problema:

Agora a gente precisa determinar o que a gente tem que achar aí. O problema quer saber a variação da distância entre eles. Se a distância é s então queremos saber:

d s d t = ? ?

Passo 2

Agora precisamos ver o que a gente tem. O balão se eleva verticalmente à razão de 3   m/s . Isso é a velocidade vertical. Se a posição é y então:

d y d t = 3 m / s

Não se engane com relação a y . O valor inicial de y é 48 m . Para instantes seguintes teremos que:

y t = y 0 + v t ⟹ y t = 48 + 3 t

No instante 4 :

y 4 = 48 + 3 ⋅ 4 = 48 + 12 = 60 m

Temos também a velocidade do carro, que está andando horizontalmente. Sendo x a posição horizontal:

d x d t = 20 m / s

O que vai relacionar isso tudo? Pitágoras!

s ² = x 2 + y 2 ⟹ 2 s ⋅ d s d t = 2 x ⋅ d x d t + 2 y ⋅ d y d t ⟹ s ⋅ d s d t = x ⋅ d x d t + y ⋅ d y d t

Substituindo tudo que a gente sabe:

s ⋅ d s d t = x ⋅ 20 + 60 ⋅ 3 ⟹ s ⋅ d s d t = 20 x + 180

Passo 3

E agora? Se o carro estava andando a 20   m/s então sua posição será:

x t = 20 t

No ponto que a gente quer: x 4 = 20 ⋅ 4 = 80 m

E s ? Quando x = 80 m :

s ² = x 2 + y 2 ⟹ s 2 = 80 2 + 60 2 ⟹ s = 100

Agora é só felicidade. Vamos substituir tudo:

s ⋅ d s d t = 20 x + 180 ⟹ 100 ⋅ d s d t = 20 ⋅ 80 + 180 ⟹ 100 ⋅ d s d t = 1780

d s d t = 1780 100 ⟹ d s d t = 17.8   m / s

Resposta

d s d t = 17,80   m/s

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Cálculo 1 – P1 2010.2 – 3

No desenho, o ponto A representa um objeto que se desloca sobre uma semicircunferência de raio 5   m , com velocidade constante 0,1   m / s . Em cada instante, h é a distância de A até o diâmetro P Q .

Durante o movimento de subida, qual será a taxa de variação da distância h no momento em que ela medir 4   m ?

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Passo 1

O que a questão pede é:

d h d t =   ? ?

No instante em que h = 4 m. O dado que nós temos é referente à velocidade.

Como a velocidade é a taxa de variação da posição com relação ao tempo, e o espaço percorrido pela partícula em A é o arco s , então é seguro dizer que a velocidade é:

d s d t = 0,1 m / s

Também temos o valor do raio da figura:

r = 5 m

Passo 2

O que vai conectar os nossos s e h vai ser o ângulo θ que é comum aos dois:

s = r θ

h = r sen ⁡ θ

Passo 3

Derivando em relação ao tempo:

d s d t = 5 d θ d t

d h d t = 5 cos ⁡ θ d θ d t

Substituindo o que a gente já sabe na primeira:

0,1 = 5 d θ d t ⟹ d θ d t = 0,02 r a d / s

Substituindo na segunda:

d h d t = 5 d θ d t cos ⁡ θ

d h d t = 0,1 ⋅ cos ⁡ θ

Passo 4

Agora basta achar quanto é o cos ⁡ θ quando h = 4 : cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

Da figura, temos, quando h = 4 :

sen ⁡ θ = 4 5