Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Cara, cê pode estar um pouco assustado em como o comprimento de arco se relaciona como o Teorema Fundamental do Cálculo, mas calma, vamos descobrir juntos. Segura na minha mão e vem!

Imagina que a gente tem esse exemplo:

Exemplo: Encontre o comprimento de arco da curva abaixo:

f x = ∫ 0 x t g 2 t + 2 t g   t   d t ,           0 ≤ x ≤ π 3

Aquela função f x já dá um pouco de medo, né? Isso porque ela está definida por uma integral. Mas vai dar tudo certo! Temos que a fórmula para calcular comprimento do arco de uma função f x num intervalo a , b é

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Então na verdade, a gente vai usar f ' x , e não f x , na fórmula. A questão é: como a gente acha a derivada de uma função definida por integral? Cara, é aí que a gente lembra da primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)!

Ela diz que para derivar

f x = ∫ 0 x t g 2 t + 2 t g   t   d t

É só a gente pegar o integrando dessa integral, e no lugar de t , colocar x , assim:

f ' x = t g 2 x + 2   t g   x

E na fórmula, a , b é o intervalo onde nossa curva está, então

a = 0

  b = π 3

Aí nosso comprimento de arco fica:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

L =   ∫ 0 π 3 1 + t g 2 x + 2 t g   x 2   d x

L =   ∫ 0 π 3 1 + t g 2 x + 2 t g   x   d x

L =   ∫ 0 π 3 1 + 2 t g   x + t g 2 x   d x

Agora repara uma coisa. Ali dentro da raiz temos um produto notável, do tipo

A 2 + 2 A B + B 2 = a + b 2

Sendo que para nós A = 1 e B = t g   x , então

1 + 2 t g   x + t g 2 x = 1 + t g   x 2

Substituindo isso na nossa integral:

L =   ∫ 0 π 3 t g x + 1 2   d x

L =   ∫ 0 π 3 ( t g   x + 1 )   d x

A integral de t g   x é ln ⁡ sec ⁡ x , podemos chegar nesse resultado usando uma substituição simples u = cos ⁡ x . Aí substituindo essa primitiva nas nossas continhas:

L = ln ⁡ | sec ⁡ x | +   x π 3 0

L = ln ⁡ 1 cos ⁡ x +   x π 3 0 = ln ⁡ 1 1 / 2 +   x π 3 0

L = ln ⁡ 2 + π 3 - ( ln ⁡ 1 + 0 )   π 3 0

L = ln ⁡ 2 + π 3     u . c .

Prontinho!

Visão Geral

Cara, percebeu como o comprimento do arco e o TFC se relacionam? Na fórmula do comprimento de arco tem a derivada de uma função.

Se essa função for definida por integral, temos que usar o TFC para derivar essa bonita. E o que TFC diz? Foi o que a gente fez no exemplo! Lembra que a gente tinha

f x = ∫ 0 x t g 2 t + 2 t g   t   d t

Para achar a derivada, a gente só substituiu x em t :

f ' x = t g 2 x + 2 t g   x

Ou seja, a gente tinha uma função do tipo:

f x = ∫ c x g t d t

E para achar a derivada, a gente só substituiu x em t :

f ' x = g x

Regra da Cadeia

Cara, vamos ver mais um exemplo:

Exemplo: Encontre o comprimento de arco da curva abaixo:

f x = ∫ 0 2 x t g   t 2   d t ,           0 ≤ x ≤ π 6

Vimos ali em cima que vamos precisar de f ' x . Mas repara que no argumento de f x , ou seja, no extremo superior da integral que define a função, nós não temos o x sozinho, mas temos 2 x . Isso quer dizer que f x é uma função composta!

E para derivar funções compostas, precisamos usar a regra da cadeia. E como fica essa regra para o TFC mesmo? Cara, vamos derivar

f x = ∫ 0 2 x t g   t 2 d t

Então o que a gente vai fazer é substituir todo o extremo superior dessa integral, ou seja, 2 x , no integrando, no lugar de t . E depois vamos multiplicar esse cara pela derivada de 2 x . Assim

f ' x = t g 2 x 2 ⋅ 2 x ' = t g 2 x 2 ⋅ 2 = t g 2 x

Ou seja, vemos nesse exemplo que f x pode ser uma função composta, do tipo

f x = ∫ c h x g t d t

E nesse caso, para achar a derivada, a gente substitui a função do extremo superior da integral h x em t , e multiplica isso pela derivada h ' x :

f ' x = g h x ⋅ h ' x

Agora voltando para finalizar nosso exemplo...

Como o intervalo do nosso arco é

a , b = 0 , π 6

Nós substituímos o que temos na fórmulinha:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

L =   ∫ 0 π 6 1 + t g   2 x 2   d x

Temos a identidade trigonométrica que diz que

sec 2 ⁡ 2 x = 1 + t g 2 2 x

Substituindo

L =   ∫ 0 π 6 sec 2 ⁡ 2 x   d x = ∫ 0 π 6 sec ⁡ 2 x   d x

Aí para resolver essa integral usamos a substituição u = 2 x :

d u d x = 2 → d u = 2 d x → d u 2 = d x

Achando os novos extremos de integração

u = 2 x

u 1 = 2 0 = 0

u 2 = 2 π 6 = π 3

A nossa integral fica

L = ∫ 0 π 6 sec ⁡ 2 x   d x = ∫ 0 π 3 sec ⁡ u 2   d u

Olhando uma tabelinha de integrais, achamos a primitiva da secante

L = 1 2 ln ⁡ t g   u + sec ⁡ u 0 π 3

L = 1 2 ln ⁡   t g π 3 + sec ⁡ π 3 - 1 2 ln ⁡   t g   0 + sec ⁡ 0

L = 1 2 ln ⁡ 3 + 2 - 1 2 ln ⁡   0 + 1

Como ln ⁡ 1 = 0 , temos

L = 1 2 ln ⁡ 3 + 2

Prontinho. 😊

Vamos exercitar!

Visão Geral

Regra da Cadeia

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O comprimento L da curva que é gráfico de y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , é dado pela fórmula

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Calcule L se

f x = ∫ 1 x t 3 - 1 d t ,       p a r a   1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Bom, ele já deu a fórmula do comprimento. Então a questão toda é derivar esse f ( x ) e fazer a nova integral de L . O f ' ( x ) vai sair tranquilamente pelo TFC, o Teorema fundamental:

f ' x = d ∫ 1 x t 3 - 1 d t d x = x 3 - 1 x ' = x 3 - 1

Joga lá agora, Colocando nossos limites de integração sendo 1 e 4 pelo enunciado:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ 1 4 1 + x 3 - 1 2 d x

= ∫ 1 4 1 + x 3 - 1 d x = ∫ 1 4 x 3 d x = ∫ 1 4 x 3 2 d x

x 5 2 5 2 1 4 = 2 5 4 5 2 - 1 5 2 = 2 5 2 5 - 1 5

= 2 5 32 - 1 = 2 31 5 = 62 5

Resposta

L = 62 5

Exercício Resolvido #2

Calcule o comprimento da curva definida pelo gráfico de f x = ∫ 1 x - 1 + t 2 + t 3 d t com x entre 1 e 3 . Dica: não tente resolver a integral que define f x , ela é muito difícil.

Passo 1

Vamos lá, se o cara deu a dica para resolver é claro que nós vamos seguir, né? Então, sendo f dada por uma integral, que não vamos resolver, e se queremos o comprimento dela como é que a gente vai fazer?

Lembra o seguinte: para achar o comprimento de uma função a gente não precisa da função explícita e sim de sua derivada!

E derivar uma integral nós sabemos, isso pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

f ' x = ∫ 1 x - 1 + t 2 + t 3 d t '

= - 1 + x 2 + x 3 x '

= - 1 + x 2 + x 3

Agora é só aplicar a fórmula do comprimento.

Passo 2

Vamos lá, a gente quer aplicar a função dada e os limites na fórmula do comprimento, que é essa aqui embaixo:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Os Limites de integração foram dados, a = 1 e b = 3 . Com o f ' x que já calculamos, fica assim:

L = ∫ 1 3 1 + - 1 + x 2 + x 3 2   d x

= ∫ 1 3 1 + - 1 + x 2 + x 3   d x

= ∫ 1 3 x 2 + x 3   d x = ∫ 1 3 x 1 + x   d x

Passo 3

A gente pode fazer esse cara por partes, da seguinte maneira:

u = x → d u = d x

d v = x + 1 d x → v = x + 1 3 2 3 2

∫ 1 3 x 1 + x   d x = 2 x x + 1 3 2 3 - ∫ 2 x + 1 3 2 3 d x [ 3 1

= 2 x x + 1 3 2 3 - 4 x + 1 5 2 15 [ 3 1

= 2 3 3 + 1 3 2 3 - 4 3 + 1 5 2 15 - 2 1 1 + 1 3 2 3 - 4 1 + 1 5 2 15

= 16 - 128 15 - 4 2 3 - 16 2 15

= 112 - 4 2 15

Resposta

L = 112 - 4 2 15   u . c .

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen
Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen
Nos Exercícios 1-10, determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são.14- x = 1 - y 2 , - 1 2 ≤ y ≤ 1 2
Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen
Faça o seguinte: a ) Estabeleça uma integral para o comprimento da curva. b ) Trace a curva para ver como ela é c ) Use seu programa gráfico ou programa para calcular integrais e determine o comprimen