Teoria Completa
Bom, já sabemos que para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por entre um ponto e um ponto , basta usar a fórmula
Ou
E o que acontece quando temos uma função definida como , onde é uma constante qualquer?
Como fazemos para calcular ? Isso mesmo! Utilizamos o nosso querido e amado Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1!
Lembre-se que, se ao invés de , tivermos , temos que usar a regra da cadeia para calcular :
Exemplo:Encontre o comprimento de arco da curva abaixo:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1:
Exercício Resolvido #1
O comprimento da curva que é gráfico de , , é dado pela fórmula
Calcule se
Passo 1
Bom, ele já deu a fórmula do comprimento. Então a questão toda é derivar esse e fazer a nova integral de . O vai sair tranquilamente pelo TFC, o Teorema fundamental:
Joga lá agora, Colocando nossos limites de integração sendo e pelo enunciado:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule o comprimento da curva definida pelo gráfico de com entre e . Dica: não tente resolver a integral que define , ela é muito difícil.
Passo 1
Vamos lá, se o cara deu a dica para resolver é claro que nós vamos seguir, né? Então, sendo dada por uma integral, que não vamos resolver, e se queremos o comprimento dela como é que a gente vai fazer?
Lembra o seguinte: para achar o comprimento de uma função a gente não precisa da função explícita e sim de sua derivada!
E derivar uma integral nós sabemos, isso pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Agora é só aplicar a fórmula do comprimento.
Passo 2
Vamos lá, a gente quer aplicar a função dada e os limites na fórmula do comprimento, que é essa aqui embaixo:
Os Limites de integração foram dados, e . Com o que já calculamos, fica assim:
Passo 3
A gente pode fazer esse cara por partes, da seguinte maneira: