Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

Resumo Completo

Bom, já sabemos que para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por f x entre um ponto a e um ponto b , basta usar a fórmula

c = a b 1 + f ' x 2 d x

Ou

c = c d 1 + f ' y 2 d y

E o que acontece quando temos uma função f ( x ) definida como f x = a x g t d t , onde a é uma constante qualquer?

c = a b 1 + f ' x 2 d x

Como fazemos para calcular f ' ( x ) ? Isso mesmo! Utilizamos o nosso querido e amado Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1!

f ' x = g ( x )  

c = a b 1 + g ( x ) 2 d x

Lembre-se que, se ao invés de f x = a x g t d t , tivermos f x = a u ( x ) g t d t , temos que usar a regra da cadeia para calcular f ' ( x ) :

f ' x = g u x . u ' ( x )

Exemplo:Encontre o comprimento de arco da curva abaixo:

f x = a x t g 2 t + 2 t g   t   d t ,           0 x π 3

c =   0 π 3 1 + f ' x 2   d x

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1:

f ' x = t g 2 x + 2 t g   x

c =   0 π 3 1 + t g 2 x + 2 t g   x 2   d x

c =   0 π 3 t g x + 1 2   d x

c =   0 π 3 ( t g   x + 1 )   d x

c = ln | sec x | +   x π 3 0

c = ln 2 + π 3 - ( ln 1 + 0 )   π 3 0

c = ln 2 + π 3     u . c .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UNICAMP - Cálculo 1 - P3 2008.1 b – 3

O comprimento L da curva que é gráfico de y = f ( x ) , a x b , é dado pela fórmula

L = a b 1 + f ' x 2 d x

Calcule L se

f x = 1 x t 3 - 1 d t ,       p a r a   1 x 4

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, ele já deu a fórmula do comprimento. Então a questão toda é derivar esse f ( x ) e fazer a nova integral de L . O f ' ( x ) vai sair tranquilamente pelo TFC, o Teorema fundamental:

f ' x = d 1 x t 3 - 1 d t d x = x 3 - 1 x ' = x 3 - 1

Joga lá agora, Colocando nossos limites de integração sendo 1 e 4 pelo enunciado:

L = a b 1 + f ' x 2 d x = 1 4 1 + x 3 - 1 2 d x

= 1 4 1 + x 3 - 1 d x = 1 4 x 3 d x = 1 4 x 3 2 d x

x 5 2 5 2 1 4 = 2 5 4 5 2 - 1 5 2 = 2 5 2 5 - 1 5

= 2 5 32 - 1 = 2 31 5 = 62 5

Resposta

L = 62 5

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UNICAMP - Cálculo 1 - Exame 2015 – 3

Calcule o comprimento da curva definida pelo gráfico de f x = 1 x - 1 + t 2 + t 3 d t com x entre 1 e 3 . Dica: não tente resolver a integral que define f x , ela é muito difícil.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos lá, se o cara deu a dica para resolver é claro que nós vamos seguir, né? Então, sendo f dada por uma integral, que não vamos resolver, e se queremos o comprimento dela como é que a gente vai fazer?

Lembra o seguinte: para achar o comprimento de uma função a gente não precisa da função explícita e sim de sua derivada!

E derivar uma integral nós sabemos, isso pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

f ' x = 1 x - 1 + t 2 + t 3 d t '

= - 1 + x 2 + x 3 x '

= - 1 + x 2 + x 3

Agora é só aplicar a fórmula do comprimento.

Passo 2

Vamos lá, a gente quer aplicar a função dada e os limites na fórmula do comprimento, que é essa aqui embaixo:

L = a b 1 + f ' x 2   d x

Os Limites de integração foram dados, a = 1 e b = 3 . Com o f ' x que já calculamos, fica assim:

L = 1 3 1 + - 1 + x 2 + x 3 2   d x

= 1 3 1 + - 1 + x 2 + x 3   d x

= 1 3 x 2 + x 3   d x = 1 3 x 1 + x   d x

Passo 3

A gente pode fazer esse cara por partes, da seguinte maneira:

u = x d u = d x

d v = x + 1 d x v = x + 1 3 2 3 2

1 3 x 1 + x   d x = 2 x x + 1 3 2 3 - 2 x + 1 3 2 3 d x [ 3 1

= 2 x x + 1 3 2 3 - 4 x + 1 5 2 15 [ 3 1

= 2 3 3 + 1 3 2 3 - 4 3 + 1 5 2 15 - 2 1 1 + 1 3 2 3 - 4 1 + 1 5 2 15

= 16 - 128 15 - 4 2 3 - 16 2 15

= 112 - 4 2 15

Resposta

L = 112 - 4 2 15   u . c .

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