Comprimento de Arco

Teoria Completa

Vamos começar exercitando a nossa imaginação! Imagina um homenzinho andando por um esse caminho azul, indo do ponto A ao ponto B.

Agora pensa que esse caminho azul é descrito por uma f x e eu quero encontrar o quanto esse homenzinho andou. Em outras palavras, eu quero encontrar o comprimento de arco dessa função. Vamos olhar no gráfico,

Repara que eu desenhei a mesma função, mas agora o ponto A tem a coordenada ( a , f a ) e o ponto B está localizado em ( b , f b ) .

Mas, ok, e como faremos para achar esse comprimento?

Achar o comprimento de uma curva é difícil, mas de uma reta é mais fácil. A sacada aqui está em ver que toda curva se aproxima muito de uma reta para intervalos bem pequenos. Olha essa sequência de zoom:

Para esses intervalos bem pequenos, podemos considerar:

Δ x → d x   Δ y → d y

Como os eixos x e y , formam um ângulo reto, nós podemos ver em cada reta um triângulo retângulo.

Deste modo, podemos usar Pitágoras para esse pequeno intervalo. Chamando ele de   d c :

c = Δ x 2 + Δ y 2 ⟹ d c = d x 2 + d y 2

Se a gente deixar o d x 2 em evidência:

d c = d x 2 1 + d y d x 2 = 1 + d y d x 2 d x

Opa! Se liga só, d y / d x é outra maneira de escrever a derivada da função, então podemos substituir por f ' x , ficando:

d c = 1 + f ' x 2 d x

Agora, para achar o comprimento total no intervalo a , b , é só integrar:

c = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Vale um comentário: essa fórmula só vale se f ' ( x ) for contínua em [ a , b ] .

Mais um comentário: as vezes, é mais fácil calcular a integral fazendo x = f ( y ) . Nesse caso, a fórmula fica assim:

c = ∫ c d 1 + f ' y 2 d y

Repara que você vai ter que adequar os limites de integração, por isso eu coloquei, c e d como sendo esses limites para y .

E é só isso mesmo!

Vamos praticar isso aí calculando o comprimento de arco da curva

f x = 2 3 x 3 2 ,           0 ≤ x ≤ 3  

Aplicando a fórmula:

c =   ∫ 0 3 1 + f ' x 2   d x =   ∫ 0 3 1 + x 2   d x

c =   ∫ 0 3 1 + x       d x = 2 3 x + 1 3 2 0 3

c = 2 3 4 3 2 - 2 3 = 14 3

Função comprimento de arco

Até agora a gente falou de calcular o comprimento do arco entre dois pontos bem delimitados. Mas se a gente não soubesse um dos limites, iriamos precisar de uma função que calculasse, para cada x , um comprimento de arco.

Vamos chamar essa função de s x . Já os limites de integração agora vão do meu ponto inicial P a , f a até o meu ponto desconhecido P x , f x .

Então agora vamos jogar na fórmula de comprimento de arco que a gente já conhece:

s x = ∫ a x 1 + f ' t 2   d t

Onde, t representaria o quanto ele andou.

Exemplo: Encontre a função comprimento de arco de f x = x 2 - 1 8 ln ⁡ x onde P ( 1,1 ) é o ponto inicial da curva.

s x = ∫ a x 1 + f ' t 2   d t

  f t = t 2 - 1 8 l n t

f ' ( t ) = 2 t - 1 8 1 t

s x = ∫ 1 x 1 + f ' t 2   d t

s x = ∫ 1 x 1 + 2 t - 1 8 1 t 2   d t

s x = ∫ 1 x 1 + 4 t 2 - 2 . 1 8 . 1 t .   2 t + 1 64 t 2   d t

s x = ∫ 1 x 1 + 4 t 2 - 1 2 + 1 64 t 2   d t

s x = ∫ 1 x 1 2 + 4 t 2 + 1 64 t 2   d t

s x = ∫ 1 x 2 t + 1 8 t 2   d t

s x = ∫ 1 x 2 t + 1 8 t   d t

s x = t 2 + 1 8 ln ⁡ t x 1

s x = x 2 + 1 8 ln ⁡ x - 1 + 1 8 ln ⁡ 1

s x = x 2 + 1 8 ln ⁡ x - 1

Pronto. Essa é a função comprimento de arco pedida no enunciado. E aí? Vamos por mãos-à-obra, gafanhoto??

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 1 - P2 Túlio 2014.1 – 3

Ache o comprimento do arco da curva 8 y = x 4 + 2 x - 2 do ponto x = 1 ao ponto x = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, comprimento de arco é só ir direto para a fórmula:

∫ a b 1 + f ' x 2 d x

f x = x 4 + 2 x - 2 8 → f ' x = 4 x 3 - 4 x - 3 8 = x 3 - x - 3 2

Jogo na raiz para depois integrar.

1 + f ' x 2 = 1 + x 3 - x - 3 2 2 = 1 + x 6 - 2 + x - 6 4

1 + x 6 4 - 1 2 + x - 6 4 = x 6 4 + 1 2 + x - 6 4 = x 3 + x - 3 2 2

Repara que é o mesmo produto notável que eu abri no termo da derivada, só que com o sinal positivo no termo central. Assim,

∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ a b x 3 + x - 3 2 d x

Passo 2

Meus limites de integração são a = 1 e b = 2 . Integro e acabou:

1 2 ∫ 1 2 x 3 + x - 3 d x = 1 2 x 4 4 + x - 2 - 2 [ 2 1 = 1 2   2 4 4 - 2 - 2 2 - 1 4 4 - 1 - 2 2

= 1 2   16 4 - 1 8 - 1 4 - 1 2 = 1 2   4 - 1 8 - 1 4 + 1 2 = 1 2   4 + 1 8 = 33 16

Resposta

L = 33 16

Exercício Resolvido #2

USP - Cálculo 1 - P3 2011.1 - 3_a

a ) Calcule o comprimento de y x = ln ⁡ ( 1 - x 2 ) para x ∈ 0 , 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos como definição que o comprimento é dada pela fórmula abaixo:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Para a dada função, derivamos:

f ' x = 1 - x 2 ' 1 - x 2 = - 2 x 1 - x 2

Colocando no termo que vamos integrar, vamos ver como fica:

1 + f ' x 2 = 1 + - 2 x 1 - x 2 2 = 1 + 4 x 2 1 - x 2 2

= 1 - x 2 2 1 - x 2 2 + 4 x 2 1 - x 2 2 = 1 - 2 x 2 + x 4 + 4 x 2 1 - x 2 2 = 1 + 2 x 2 + x 4 1 - x 2 2

1 + x 2 2 1 - x 2 2 = 1 + x 2 1 - x 2

Agora vamos integrar de vez e ver como sai:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ 0 1 2 1 + x 2 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 2 - ( 1 - x 2 ) d x 1 - x 2 + ∫ 0 1 2 2 1 - x 2 d x

= - ∫ 0 1 2 d x + ∫ 0 1 2 2 1 - x 2 d x

Para essa segunda integral, vamos usar frações parciais:

2 1 - x 2 = A x + 1 + B 1 - x = A - A x + B + B x 1 - x 2

A = B = 1

- ∫ 0 1 2 d x + ∫ 0 1 2 2 1 - x 2 d x = - ∫ 0 1 2 d x + ∫ 0 1 2 1 1 + x d x + ∫ 0 1 2 1 1 - x d x

= - x + ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ 1 - x 1 / 2 0

- 1 2 + ln ⁡ 1 + 1 2 - ln ⁡ 1 - 1 2 - - 0 + ln ⁡ 1 + 0 - ln ⁡ 1 - 0

= - 1 2 + ln ⁡ 3 2 1 2 - 0 = ln ⁡ 3 - 1 2

Resposta

L = ln ⁡ 3 - 1 2

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 1, tradução da 5ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2005, pp. 548 ex 16

Ache o comprimento da curva:

y = ln ⁡ e x + 1 e x - 1 ,   a ≤ x ≤ b ,     a > 0

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Passo 1

Po, os limites são letras a e b . Como eu vou substituir?

Ora, vai substituir a e b . Vai ficar literal e pronto.

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Fórmula, né? Lança aí e vamos botar para fud... ,digo, botar para ferrar!

f ' x = ln ⁡ e x + 1 e x - 1 ' = e x + 1 e x - 1 ' e x + 1 e x - 1 = e x + 1 ' e x - 1 - ( e x + 1 ) e x - 1 ' e x - 1 2 e x + 1 e x - 1

Olha essa Regra do Quociente nos visitando novamente!

e x + 1 ' e x - 1 - ( e x + 1 ) e x - 1 ' e x - 1 2 e x + 1 e x - 1 = e x e x - 1 - e x e x + 1 ( e x - 1 ) e x + 1 = e x ( - 2 ) ( e x - 1 ) e x + 1

f ' x = - 2 e x e x + 1 e x - 1 = - 2 e x ( e 2 x - 1 )

Passo 2

f ' x 2 = 4 e 2 x e 2 x - 1 2

1 + f ' x 2 = e 2 x - 1 2 + 4 e 2 x e 2 x - 1 2 = e 4 x - 2 e 2 x + 1 + 4 e 2 x e 2 x - 1 2 = e 4 x + 2 e 2 x + 1 e 2 x - 1 2

= e 2 x + 1 2 e 2 x - 1 2 = e 2 x + 1 e 2 x - 1

Assim, achei o meu termo para integrar:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ a b e 2 x + 1 e 2 x - 1 d x

Maluco, agora eu vou usar uma parada que não é boba de pensar não, é uma artifício muito diferente e que eu só aprendi por que um dia um professor meu mostrou, se não eu não ia tentar ele do nada nunca. Saca, vou deixar e x em evidência em cima e embaixo:

∫ a b e x ( e x + e - x ) e x ( e x - e - x ) d x = ∫ a b ( e x + e - x ) ( e x - e - x ) d x

Cortei ali também. Bom, se isso que eu vou mostrar aqui não é verdade:

e x - e - x ' = ( e x + e - x )

Ou seja, a derivada do denominador é igual ao termo de cima!

∫ b a ( e x + e - x ) ( e x - e - x ) d x = ∫ b a d u u = ln ⁡ u = ln ⁡ ( e x - e - x )

E pronto, resolvido à base de mágica! Como eu disse, não era nenhuma obrigação que você conhecesse essa resolução, mas é uma nova ideia e ferramenta para você pensar na próxima. Substituindo os limites:

  ln ⁡ ( e b - e - b ) - ln ⁡ e a - e - a = ln ⁡ e b - e - b e a - e - a

Resposta

ln ⁡ e b - e - b e a - e - a

Exercício Resolvido #4

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2009.2 – 5

A entrada de um dos estádios para as Olimpíadas de 2016 tem a forma da figura abaixo, e é constituída por 2 tubos circulares na forma de arco de curvas C 1 e C 2 , iluminados internamente com as cores dos países participantes. O custo estimado para estes tubos é de R $   10.000,00 por metro. A curva C 1 é determinada por: y = 3 x 2 3 e a curva C 2 por: y = 3 16 - x 2 3 . Determine o custo total desta obra.

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Passo 1

O problema pede o custo da obra. O custo é dado por metro, ou seja, para calcularmos o custo, precisamos saber o comprimento dos arcos. Logo, trata-se de um problema sobre comprimento de arcos. O enunciado nos deu as fórmulas e os limites de integração no desenho. Estamos com a faca e o queijo na mão. Vamos lá.

Passo 2

Esse problema tem um “pulo do gato”!

Não precisamos calcular o comprimento de C 1 E de C 2 . Olhe para as fórmulas:

y = 3 x 2 3 e y = 3 16 - x 2 3

Repare que a diferença é só a substituição de x por 16 - x . Isso acontece porque C 2 é C 1 espelhada. Portanto, os arcos são simétricos e possuem o mesmo comprimento.

Vamos calcular só o comprimento de C 1 e multiplicá-lo por 2 . Depois, basta multiplicar pelo custo por metro para acharmos o custo total.

A fórmula para calcularmos o comprimento de um arco é:

∫ a b 1 + d y d x 2 d x

Passo 3

Curva C 1 :

y = 3 x 2 3

d y d x = 3 ⋅ 2 3 ⋅ x - 1 3 = 2 x - 1 3

∫ 0 8 1 + 4 x - 2 3 d x

Essa integral parece ser muito difícil de ser calculada. Vamos tentar usar o método x = f ( y ) :

y = 3 x 2 3 → x 2 3 = y 3 → x = y 3 2 3 3 2

d x d y = 1 3 3 2 3 2 y 1 2 = 1 2 3 y 1 2

x = 0 → y = 0

x = 8 → y = 12

∫ 0 12 1 + 1 2 3 y 1 2 2 d y = ∫ 0 12 1 + 1 12 ⋅ y d y

Fazendo a substituição u = 1 + 1 12 y → d u = 1 12 d y → d y = 12 d u

y = 0 → u = 1

y = 12 → u = 2

Aplicando:

∫ 1 2 u ⋅ 12 d u = 12 ∫ 1 2 u 1 2 d u = 12 ⋅ 2 3 u 3 2 1 2 =

= 8 2 2 - 1

Logo o custo total será:

C = 2 ⋅ 8 2 2 - 1 ∙ 10000 = 292548,34   reais

Obs:

Nesse problema, tivemos que calcular em função de y , já que facilitou muito o cálculo da integral. Portanto, se você estiver em um problema de comprimento de arco e cair em uma integral enrolada de calcular, tente fazer em relação a y para ver se a situação melhora!

Resposta

O custo será de

292548,34   reais .

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Calcule o comprimento do arco enunciado abaixo:

y = arccos ⁡ ( e x ) ,                     0 ≤ x ≤ ln ⁡ 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sério cara, seus pais já devem ter te ensinado a ser humilde né. Então me diz: Você realmente lembrar a derivada do arco-cosseno? Pode até ser que sim, mas a essa altura do campeonato é foda de recordar de absolutamente tuuudo por aí.

Agora vem a boa: quem disse que precisamos dessa derivada para matar a questão, heim?

A função está escrota; os limites estão escrotos; por que não mudamos tudo e integramos para y , e não para x ?

y = arccos ⁡ ( e x )

cos ⁡ y = e x

x = ln ⁡ cos ⁡ y

Ok, também não está nada bonito, mas pelo menos você deve lembrar mais facilmente da derivada do ln ⁡ x e do cos ⁡ x . E os limites? Bom, joga na equação e pronto, descobre os novos:

y 0 = arccos ⁡ e 0 = arccos ⁡ 1 = 0      

(ou qualquer múltiplo inteiro de   2 π )  

y ln ⁡ 1 2 = arccos ⁡ e ln ⁡ 1 2 = arccos ⁡ 1 2 = π 3

( ou   π 3   mais qualquer múltiplo inteiro de   2 π )

Bom, como você tem que pegar um intervalo que cresça do primeiro para o segundo esse deve ser qualquer intervalo com essa cara:

0 + 2 π . k ≤ y ≤ π 3 + 2 π . k

( onde   k   é qualquer múltiplo inteiro )

Vou pegar o mais óbvio, mas tanto faz:

0 ≤ y ≤ π 3           ;           ( k = 0 )

Bem melhor esse limite aí!

Passo 2

Agora caímos no passo-a-passo de sempre:

x ' = f ' y = d ln ⁡ cos ⁡ y d y = cos ⁡ y ' cos ⁡ y = - sen ⁡ y cos ⁡ y = - tg ⁡ y

O termo a ser integrado agora:

1 + f ' y 2 = 1 + - tg ⁡ y 2 = 1 + tg 2 ⁡ y

Opa! Existe uma relação fundamental aí, né?

1 + tg 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y

1 + tg 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y = sec ⁡ y

Ok, agora é integrar!

L = ∫ a b 1 + f ' y 2 d y = ∫ 0 π / 3 sec ⁡ y d y

Essa é uma integral que também é meio chata de lembrar, mas vou te elucidar:

∫ sec ⁡ y = ln ⁡ sec ⁡ y + tg ⁡ y

Aplicando agora os limites:

ln ⁡ sec ⁡ π 3 + tg ⁡ π 3 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tg ⁡ 0 = ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 1 + 0 = ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 1

= ln ⁡ 2 + 3

Acabou!

Resposta

L = ln ⁡ 2 + 3

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