Volumes de Sólidos Infinitos

Resumo Completo

Se tivermos uma região que queremos rotacionar, e essa região for limitada por essa curva que possui uma assíntota e um eixo, para calcular o volume do sólido gerado por essa rotação, teremos que utilizar integral imprópria.

A ideia é a mesma: a curva tende àquele eixo quando x ou y   . Então um dos limites de integração será infinito.

Vou usar o mesmo exemplo que usei lá em áreas com integral imprópria.

Exemplo: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região R dada abaixo em torno do eixo x .

Lembra que para um sólido de rotação em torno do eixo x , o volume é definido por:

V = a b π R 2 d x

O raio é a distância entre a curva e o eixo de rotação e a e b são os limites de integração. Nesse caso, como o eixo de rotação é o próprio eixo x , então o raio será f ( x ) . Além disso, nesse caso, b será + .

Pronto. Então temos assim:

V = 0 π f x 2 d x

V = π 0 1 x + 1 x + 2 2 d x

V = π   lim b + 0 b 1 x + 1 x + 2 2 d x

Vamos resolver a primitiva e depois encontrar os limites:

1 x + 1 2 x + 2 2 d x

Frações parciais... É aquele caso em que todos os termos do denominador são lineares mas se repetem, lembra?

1 x + 1 2 x + 2 2 = A x + 1 + B x + 1 2 + C x + 2 + D x + 2 2

1 = A x + 1 x + 2 2 + B x + 2 2 + C x + 1 2 x + 2 + D x + 1 2

Para x = - 1 :

1 = A - 1 + 1 - 1 + 2 2 + B - 1 + 2 2 + C - 1 + 1 2 - 1 + 2 + D - 1 + 1 2

B = 1

Para x = - 2 :

1 = A - 2 + 1 - 2 + 2 2 + B - 2 + 2 2 + C - 2 + 1 2 - 2 + 2 + D - 2 + 1 2

D = 1

Para x = 1 : 1 = A 1 + 1 1 + 2 2 + B 1 + 2 2 + C 1 + 1 2 1 + 2 + D 1 + 1 2

1 = 18   A + 9 + 12   C + 4

18   A + 12 C =   - 12

Para x = 0 : 1 = A 0 + 1 0 + 2 2 + B 0 + 2 2 + C 0 + 1 2 0 + 2 + D 0 + 1 2

1 = 4 A + 4 + 2   C + 1

4   A + 2 C =   - 4

Multiplicando a equação por - 6 :

- 24   A - 12 C =   + 24

Resolvendo o sistema:

18   A + 12 C = - 12 - 24   A - 12 C =   + 24

Somando as duas equações

- 6   A = 12 A = - 2

C =   2

Sendo assim:

1 x + 1 2 x + 2 2 = - 2 x + 1 + 1 x + 1 2 + 2 x + 2 + 1 x + 2 2

1 x + 1 x + 2 d x = - 2 x + 1 d x + 1 x + 1 2 d x + 2 x + 2 d x + 1 x + 2 2 d x

1 x + 1 x + 2 d x = - 2 ln | x + 1 | + 1 x + 1 2 d x + 2 ln | x + 2 | + 1 x + 2 2 d x

Essas duas integrais que restaram saem por substituição simples:

1 x + 1 2   d x =   - 1 ( x + 1 )

1 x + 2 2 d x =   - 1 x + 2

Por fim:

1 x + 1 2 x + 2 2 d x = - 2 ln | x + 1 | - 1 x + 1 + 2 ln | x + 2 | - 1 x + 2

1 x + 1 2 x + 2 2 d x = 2 ln | x + 2 | | x + 1 | - 1 x + 1 + 1 x + 2

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

0 b 1 x + 1 2 x + 2 2 d x = 2 ln | b + 2 | | b + 1 | - 1 b + 1 + 1 b + 2 - 2 ln | 0 + 2 | | 0 + 1 | - 1 0 + 1 + 1 0 + 2

= 2 ln | b + 2 | | b + 1 | - 1 b + 1 + 1 b + 2 - 2 ln 2 + 3 2

Aplicando o limite:

lim b 0 b 1 x + 1 2 x + 2 2 d x = l i m b   2 ln | b + 2 | | b + 1 | - 1 b + 1 + 1 b + 2 - 2 ln 2 + 3 2

= 3 2 - 2 ln 2

E por fim, chegamos no volume:

V = π   lim b + 0 b 1 x + 1 x + 2 2 d x = π   3 2 - 2 ln 2

V = π   3 2 - 2 ln 2   u . v .  

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UFRJ - Cálculo 1 - PF 2014.2 – 2

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da curva

y = 1 x sen π x ,         x   1 , + ,

Em torno do eixo x .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Cara, essa função é estranhíssima, não vou perder tempo tentando fazer seu desenho. Agora, eu sei que estou girando em torno do eixo x , então vou usar o método das seções transversais torcendo que esse método realmente resolva numa integral que não seja impossível de ser feita:

V = 1 + π 1 x sen π x 2 d x = 1 + π sen π x x 2 d x

Tem que se ligar agora em duas coisas: que essa integral é imprópria; e que a derivada de 1 x é um múltiplo de 1 x 2 . Ué, e por que eu disse isso?

u = π x     ;     d u = - π x 2 d x d x x 2 = - 1 π d u

Essa substituição vai simplificar bastante a nossa integral! Mas não pode esquecer de mudar os limites de integração também:

u i n f = π 1 = π     ;     u i n f = π = 0

π 1 + sen π x d x x 2 = π π 0 sen u - 1 π d u

Passo 2

Resolvendo esse cara, olha como fica:

π - 1 π π 0 sen u d u

= - π 0 sen u d u

= 0 π sen u d u

= - cos u [ π 0

= - cos π - - cos 0

= - - 1 - - 1 = 1 + 1

= 2   u . v .

Resposta

V = 2   u . v .

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração própria

Tendo em vista a área entras as funções abaixo:

y = e - x           ;           y = 1 x           ;           x = 1

Calcule o volume do sólido obtido na rotação dessa região em torno do eixo x .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Plotei o negócio todo, agora vamos olhar qual é a região:

Se você reparar, não existe uma área perfeitamente definida. Olha o que acontece, antes do x = 1 você tem uma região na qual os gráficos vermelho e azul vão se separando e não tem um “teto” para fechar essa área. Indo para o outro lado, os dois gráficos também não são limitados por uma parede, mas pelo menos eles estão se encostando, diminuindo a área.

O que faremos nesse caso? Vamos calcular o volume de rotação de uma área ilimitada!

Bizarro, eu sei. Não faz nenhum sentido a primeira vista, mas matematicamente é perfeitamente normal. O detalhe é que vamos cair em uma amada integral imprópria.

Passo 2

Bom, se essa área roda em torno de x , podemos defini-la assim:

V = a b π f cima x 2 - π f baixo x 2 d x = π 1 1 x 2 - e - x 2 d x

Agora, é só resolver!

π 1 1 x 2 - e - x 2 d x = π 1 x - 2 - e - 2 x d x = π x - 1 - 1 - e - 2 x - 2 [ 1

Só te recordando, como a integral é imprópria, eu devo fazer um limite para o infinito de uma variável que eu colocarei no lugar do limite superior.

π - 1 x + e - 2 x 2 [ 1 = π lim a - 1 a + e - 2 a 2 - - 1 1 + e - 2 1 2

= π lim a - 1 a + e - 2 a 2 + 1 - e - 2 2

As duas funções de a ali vão ficando pequenas no infinito. Ambas tendem a 0 (basta substituir o valor para ter uma noção). Dessa forma, o resultado é aquilo que sobrou de constante:

V = π 1 - e - 2 2

Resposta

V = π 1 - e - 2 2

Exercício Resolvido #3

Enunciado

UNICAMP - Cálculo 1 - Exame 2012 Diurno - 5 b

Ao rotacionarmos em torno do eixo x a região delimitada pela função f x = e - x ,   0 x α , obtemos um sólido conhecido por Trombeta de Gabriel. No entando, ao girarmos em torno do eixo y , obtemos um outro sólido conhecido como Vulcão de Descartes.

b Calcule o volume do Vulcão de Descartes, para α suficientemente grande, ou seja, α .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

b Nosso esboço é o mesmo da última questão para um α qualquer.

Rotacionando em torno do eixo y nós teríamos o seguinte, pelo método das cascas cilíndricas:

V = 0 α 2 π r x h x d x = 0 α 2 π x e - x d x

Vamos resolver essa integral para um α qualquer e depois fazemos ele tender a .

Passo 2

Vamos com a integral por partes. Pelo LIATE, a o u = x e o d v = e - x d x :

u = x d u = d x

d v = e - x d x v = - e - x

0 α 2 π x e - x d x = 2 π - x e - x + e - x d x [ α 0

= 2 π - x e - x - e - x [ α 0

= 2 π - α e - α - e - α - 2 π - 0 e 0 - e 0

2 π - α - 1 e α + 1 = 2 π - α - 1 + e α e α

Ok, agora calculamos o limite disso aí quando α vai a + .

Passo 3

lim α 2 π - α - 1 + e α e α

Substituindo esse limite aí a gente cai numa indeterminação - . Vamos de L’Hospital então:

lim α 2 π - α - 1 + e α e α L ' H lim α 2 π - α - 1 + e α ' e α '

= lim α 2 π - 1 + e α e α = lim α 2 π - 1 e α + 1

= 2 π - 1 + 1 = 2 π

Esse é o volume que estávamos procurando!

Resposta

V = 2 π   u . v .

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