Cone e Parabolóides

Teoria Completa

Introdução

E aí, galera! Hoje vamos tratar do segundo grupo de superfícies quádricas.

O grupo que vamos estudar agora também é composto por 3 quádricas:

Cone elíptico, parabolóide elíptico e parabolóide hiperbólico.

Calma, vamos ver um por um, passo a passo.

Cone Elíptico:

O cone elíptico tem equação da forma:

z - z 0 2 c 2 = x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2

Se a = b = r temos um cone circular.

Além disso, pode aparecer também das seguintes formas, apenas mudando o eixo principal:

y - y 0 2 b 2 = x - x 0 2 a 2 + z - z 0 2 c 2

x - x 0 2 a 2 = z - z 0 2 c 2 + y - y 0 2 b 2

Seus gráficos são representados, respectivamente, a seguir:

Perceba que o eixo do cone coincide com o eixo da variável que está a esquerda (ou isolada) nas equações acima.

Parabolóides:

Tem a seguinte forma:

z - z 0 c = ± x - x 0 2 a 2 ± y - y 0 2 b 2

Quando os sinais forem iguais temos um paraboloide elíptico, quando os sinais forem opostos temos um paraboloide hiperbólico.

Parabolóide Elíptico:

Tem a forma:

z - z 0 c = x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2

Ou z - z 0 c = - x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2

Mas também pode aparecer assim:

y - y 0 b = x - x 0 2 a 2 + z - z 0 2 c 2

ou y - y 0 b = - x - x 0 2 a 2 - z - z 0 2 c 2

E assim:

x - x 0 a = z - z 0 2 c 2 + y - y 0 2 b 2

Ou x - x 0 a = - z - z 0 2 c 2 - y - y 0 2 b 2

Seus gráficos são respectivamente:

Observe que o eixo do paraboloide elíptico coincide com o eixo da variável de grau 1, e que ela ocupa a porção positiva quando os sinais são positivos e a porção negativa quando os sinais são negativos.

Parabolóide Hiperbólico

Tem a seguinte forma:

z - z 0 c = x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2

Ou

z - z 0 c = - x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2

Mas também pode aparecer com outros eixos:

y - y 0 b = x - x 0 2 a 2 - z - z 0 2 c 2

Ou y - y 0 b = - x - x 0 2 a 2 + z - z 0 2 c 2

E assim também

x - x 0 a = z - z 0 2 c 2 - y - y 0 2 b 2

Ou

x - x 0 a = - z - z 0 2 c 2 + y - y 0 2 b 2

Seus gráficos são respectivamente:

Observação:

Repare que o gráfico é parecido com uma sela de cavalo. Logo, também é chamado de sela. Além disso, a sela é orientada da direção do eixo da variável de grau 1.

Ou seja, nos dois exemplos acima, imagine que alguém irá montar na sela.O corpo vai ficar na direção do eixo z e as pernas da pessoa vão ficar na direção do eixo com sinal negativo, respectivamente y e x . Continuando os gráficos...

Exemplo:

Identifique a quádrica:

x 2 + 4 x + y 2 - 4 y - z 2 - 6 z = 1

Essa equação levanta duas possibilidades de quádricas: Cone e Hiperbelóide de uma Folha, que estudamos lá em Quádricas Parte I, pois são as únicas equações que tem todos as variáveis elevadas ao quadrado, sendo uma delas negativa.

Elas têm as seguintes equações respectivamente:

Cone:

z - z 0 2 c 2 = x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 → x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 0

Hiperbolóide de uma folha:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 1

Bom, o jeito é completar os quadrados e ver como vai ficar a equação. Bora lá, resolver essa questão!

Vamos ajeitar o termo:

x 2 + 4 x

Completando quadrados temos:

x 2 + 4 x = x + 2 2 - 4

Ajeitando

y 2 - 4 y

Temos:

y 2 - 4 y = y - 2 2 - 4

Só falta:

- z 2 - 6 z

Fica assim:

- z 2 - 6 z = - z 2 + 6 z = - ( z + 3 2 - 9 )

Substituindo na equação da quádrica fornecida no problema temos:

x 2 + 4 x + y 2 - 4 y - z 2 - 6 z = 1

x + 2 2 - 4 + y - 2 2 - 4 - ( z + 3 2 - 9 ) = 1

x + 2 2 + y - 2 2 = z + 3 2

Que é exatamente a equação do Cone Elíptico.

Esboço de Superfícies

Vamos, agora, aprender a como esboçar essas superfícies, através desse exemplo aqui

z 2 4 = x 2 9 + y 2 16

Vamos esboçar seu gráfico. Sabemos que ele tem essa cara :

Vamos começar esboçando seus traços, ou seja, a interseção do cone com os planos coordenados.

Traços:

  • Traço no plano x y   z = 0 :
  • x 2 9 + y 2 16 = 0

    Temos o ponto ( 0,0 , 0 )

  • Traço no plano x z   ( y = 0 ) :
  • x 2 9 = z 2 4

    z = + 2 x 3

    z = - 2 x 3

    Portanto temos duas retas. O traço fica:

  • Traço no plano y z   ( x = 0 ) :