Cone e Parabolóides

Teoria Completa

Introdução

E aí, galera! Hoje vamos tratar do segundo grupo de superfícies quádricas.

O grupo que vamos estudar agora também é composto por 3 quádricas:

Cone elíptico, parabolóide elíptico e parabolóide hiperbólico.

Calma, vamos ver um por um, passo a passo.

Cone Elíptico:

O cone elíptico tem equação da forma:

z - z 0 2 c 2 = x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2

Se a = b = r temos um cone circular.

Além disso, pode aparecer também das seguintes formas, apenas mudando o eixo principal:

y - y 0 2 b 2 = x - x 0 2 a 2 + z - z 0 2 c 2

x - x 0 2 a 2 = z - z 0 2 c 2 + y - y 0 2 b 2

Seus gráficos são representados, respectivamente, a seguir:

Perceba que o eixo do cone coincide com o eixo da variável que está a esquerda (ou isolada) nas equações acima.

Parabolóides:

Tem a seguinte forma:

z - z 0 c = ± x - x 0 2 a 2 ± y - y 0 2 b 2

Quando os sinais forem iguais temos um paraboloide elíptico, quando os sinais forem opostos temos um paraboloide hiperbólico.

Parabolóide Elíptico:

Tem a forma:

z - z 0 c = x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2

Ou z - z 0 c = - x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2

Mas também pode aparecer assim:

y - y 0 b = x - x 0 2 a 2 + z - z 0 2 c 2

ou y - y 0 b = - x - x 0 2 a 2 - z - z 0 2 c 2

E assim:

x - x 0 a = z - z 0 2 c 2 + y - y 0 2 b 2

Ou x - x 0 a = - z - z 0 2 c 2 - y - y 0 2 b 2

Seus gráficos são respectivamente:

Observe que o eixo do paraboloide elíptico coincide com o eixo da variável de grau 1, e que ela ocupa a porção positiva quando os sinais são positivos e a porção negativa quando os sinais são negativos.

Parabolóide Hiperbólico

Tem a seguinte forma:

z - z 0 c = x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2

Ou

z - z 0 c = - x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2

Mas também pode aparecer com outros eixos:

y - y 0 b = x - x 0 2 a 2 - z - z 0 2 c 2

Ou y - y 0 b = - x - x 0 2 a 2 + z - z 0 2 c 2

E assim também

x - x 0 a = z - z 0 2 c 2 - y - y 0 2 b 2

Ou

x - x 0 a = - z - z 0 2 c 2 + y - y 0 2 b 2

Seus gráficos são respectivamente:

Observação:

Repare que o gráfico é parecido com uma sela de cavalo. Logo, também é chamado de sela. Além disso, a sela é orientada da direção do eixo da variável de grau 1.

Ou seja, nos dois exemplos acima, imagine que alguém irá montar na sela.O corpo vai ficar na direção do eixo z e as pernas da pessoa vão ficar na direção do eixo com sinal negativo, respectivamente y e x . Continuando os gráficos...

Exemplo:

Identifique a quádrica:

x 2 + 4 x + y 2 - 4 y - z 2 - 6 z = 1

Essa equação levanta duas possibilidades de quádricas: Cone e Hiperbelóide de uma Folha, que estudamos lá em Quádricas Parte I, pois são as únicas equações que tem todos as variáveis elevadas ao quadrado, sendo uma delas negativa.

Elas têm as seguintes equações respectivamente:

Cone:

z - z 0 2 c 2 = x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 0

Hiperbolóide de uma folha:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 1

Bom, o jeito é completar os quadrados e ver como vai ficar a equação. Bora lá, resolver essa questão!

Vamos ajeitar o termo:

x 2 + 4 x

Completando quadrados temos:

x 2 + 4 x = x + 2 2 - 4

Ajeitando

y 2 - 4 y

Temos:

y 2 - 4 y = y - 2 2 - 4

Só falta:

- z 2 - 6 z

Fica assim:

- z 2 - 6 z = - z 2 + 6 z = - ( z + 3 2 - 9 )

Substituindo na equação da quádrica fornecida no problema temos:

x 2 + 4 x + y 2 - 4 y - z 2 - 6 z = 1

x + 2 2 - 4 + y - 2 2 - 4 - ( z + 3 2 - 9 ) = 1

x + 2 2 + y - 2 2 = z + 3 2

Que é exatamente a equação do Cone Elíptico.

Esboço de Superfícies

Vamos, agora, aprender a como esboçar essas superfícies, através desse exemplo aqui

z 2 4 = x 2 9 + y 2 16

Vamos esboçar seu gráfico. Sabemos que ele tem essa cara :

Vamos começar esboçando seus traços, ou seja, a interseção do cone com os planos coordenados.

Traços:

  • Traço no plano x y   z = 0 :
  • x 2 9 + y 2 16 = 0

    Temos o ponto ( 0,0 , 0 )

  • Traço no plano x z   ( y = 0 ) :
  • x 2 9 = z 2 4

    z = + 2 x 3

    z = - 2 x 3

    Portanto temos duas retas. O traço fica:

  • Traço no plano y z   ( x = 0 ) :
  • y 2 16 = z 2 4

    z = + y 2

    z = - y 2

    Temos retas. O traço fica:

    Vamos fazer agora interseções com planos paralelos aos eixos coordenados.

    Interseções:

  • Plano z = k
  • k 2 4 = x 2 9 + y 2 16 1 = x 2 9 k 2 4 + y 2 16 k 2 4

    São elipses para k R   ,   k   0

  • Plano y = k

z 2 4 = x 2 9 + k 2 16 z 2 4 k 2 16 - x 2 9 k 2 16 = 1

São Hipérboles para k R   ,   k   0

Plano x = k

z 2 4 = k 2 9 + y 2 16 z 2 4 k 2 9 - y 2 16 k 2 9 = 1

São Hipérboles para k R   ,   k   0

Agora no seu gráfico plote os traços que achamos, desenhe duas elipses ,que são as interseções com planos paralelos ao eixo z , uma no topo e outra na base inferior. Achure a área compreendida entre as curvas. O gráfico será:

Esse é o passo a passo que você precisa saber para esboçar as superfícies!

Fechou?! Bora praticar, galera!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil Ltda, 2009, pp. 217 – 4,5,6,9,10 e 11

Associe cada quádrica ao gráfico que mais se assemelha a ela:

  1. y 2 + z 2 = x 2
  2. y 2 - z 2 = x
  3. - z 2 - y 2 = x
  4. - 4 x 2 - y 2 = z
  5. x 2 + 4 z 2 = y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente devemos observar o grau de cada variável e os sinais dos coeficientes que estão multiplicando-as.

y 2 + z 2 = x 2

já está na forma padrão da equação do cone circular. Repare que o eixo do cone é o eixo x pois é essa variável que está “isolada” na equação do cone. Portanto a melhor figura é a iv)

Passo 2

y 2 - z 2 = x

já está na forma padrão da equação do paraboloide hiperbólico(sela) pois temos uma variável com grau 1 de um lado da equação e do outro temos variáveis de grau 2 com sinais opostos.

Além disso, o eixo de grau 1 é o eixo x , imagine que se uma pessoa fosse montar nessa sela, seu corpo ficaria paralelo ao eixo x , e as pernas da pessoa ficariam ao longo do eixo com sinal negativo, eixo z . Portanto, figura ii)

Passo 3

- z 2 - y 2 = x

já está na forma padrão da equação do paraboloide elíptico, pois temos uma variável com grau 1 de um lado da equação e do outro temos variáveis de grau 2 com sinais iguais.

O eixo do paraboloide será o eixo x (variável de grau 1) , pegando a porção negativa, devido aos sinais negativos da equação. Figura v)

Passo 4

- 4 x 2 - y 2 = z - x 2 - y 2 4 = z 4

Agora está na forma padrão da equação do paraboloide elíptico, pois temos uma variável com grau 1 de um lado da equação e do outro temos variáveis de grau 2 com sinais iguais.

O eixo do paraboloide será o eixo z (variável de grau 1) , pegando a porção negativa devido aos sinais negativos da equação. Figura iii)

Passo 5

x 2 + 4 z 2 = y 2 x 2 4 + z 2 = y 2 4

Agora está na forma padrão da equação do cone elíptico, pois temos uma variável com grau 2 de um lado da equação e do outro temos variáveis de grau 2 com sinais iguais.

O eixo do cone será o eixo y (variável “separada”). Figura i)

Resposta

  1. Cone circular, figura iv)
  2. Parabolóide Hiperbólico, figura ii)
  3. Parabolóide Elíptico, figura v)
  4. Parabolóide Elíptico, figura iii)
  5. Cone Elíptico, figura i)

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 68 - 14.

Ache a superfície de ponto P = ( x , y , z ) , cuja distância ao eixo y é 2/3 da distância de P ao plano x z . Identifique a superfície.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O problema não fala diretamente em quádricas nessa questão. Bom, primeiramente vamos ilustrar geometricamente o que o problema nos informou. Chamando de D a distância de P ao eixo y temos:

Passo 2

Agora, podemos encontrar uma equação para D . Temos :

D 2 = x 2 + z 2 D = x 2 + z 2 1 2

Passo 3

A distância de um ponto ao plano x z é a própria coordenada y do ponto.

O problema diz que a distância ao eixo y é 2/3 da distância ao plano x y . Então temos:

x 2 + z 2 1 2 = 2 3 y

x 2 + z 2 = 4 9 y 2

9 x 2 4 + 9 z 2 4 = y 2

Que é a equação do cone circular.

Resposta

Cone circular com equação:

9 x 2 4 + 9 z 2 4 = y 2

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 68 - 15.

Ache a superfície de ponto P = ( x , y , z ) tais que a distância de P ao ponto ( 0,0 , 1 ) é a mesma do que a de P ao plano y = - 1 .Identifique a superfície.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O problema não fala diretamente em quádricas nessa questão. Bom, primeiramente vamos encontrar a distância de P = ( x , y , z ) ao ponto ( 0,0 , 1 ) . Chamando essa distância de D temos:

D = x 2 + y 2 + z - 1 2 1 2  

Passo 2

Perceba que a distância do ponto P = ( x , y , z ) ao plano y = - 1 é compreendida como sendo a menor distância entre o ponto P e o ponto mais próximo a ele, pertencente ao plano.

Ou seja, é a projeção do ponto P no plano y = - 1 . Vamos chamar essa projeção do ponto P no plano y = - 1 de P ' .Perceba que P ' = ( x , - 1 , z ) . Geometricamente temos:

d 2 = x , y , z - x , - 1 , z 2 = 0 + y + 1 2 + 0 = y + 1 2

d = y + 1

Passo 3

Como D = d temos:

x 2 + y 2 + z - 1 2 1 2 = ( y + 1 )

x 2 + y 2 + z - 1 2 = y + 1 2

x 2 + z - 1 2 = 2 y + 1

x 2 2 + z - 1 2 2 = y + 1 2

Que é a equação do paraboloide Elíptico

Resposta

Parabolóide Elíptico com equação:

x 2 2 + z - 1 2 2 = y + 1 2

P = ( x , y , z )

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 68 - 6.

Considere a quádrica a seguir:

x 2 + 5 y 2 = 8 z 2

Identifique a quádrica, encontre os traços, determine as seções e esboce seu gráfico.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos ajeitar a equação da quádrica para ficar na seguinte forma:

x 2 40 + y 2 8 = z 2 5

Que é a equação do cone elíptico.

Passo 2

Vamos agora determinar os traços:

  • Plano x y   ( z = 0 ) :
  • x 2 40 + y 2 8 = 0

    É o ponto 0 , 0,0

  • Plano y z   ( x = 0 ) :
  • y 2 8 = z 2 5

    z = ± 5 8 y

    Temos um par de retas.

  • Plano x z   ( y = 0 ) :

x 2 40 = z 2 5

z = ± 1 8 x

Também temos um par de retas.

Passo 3

Vamos determinar seções paralelas aos planos coordenados.

Interseções:

  • Plano z = k
  • x 2 40 + y 2 8 = k 2 5

    Se k 0 :

    x 2 40 ( k 2 5 ) + y 2 8 ( k 2 5 ) = 1

    São elipses para k R   ,   k   0

  • Plano y = k
  • x 2 40 + k 2 8 = z 2 5 x 2 40 - z 2 5 = - k 2 8

    Se k 0

    x 2 40 ( - k 2 8 ) - z 2 5 ( - k 2 8 ) = 1

    São Hipérboles para k R   ,   k   0

  • Plano x = k

k 2 40 + y 2 8 = z 2 5 y 2 8 - z 2 5 = - k 2 40

Se k 0 :

y 2 8 ( - k 2 40 ) - z 2 5 ( - k 2 40 ) = 1

São Hipérboles para k R   ,   k   0

Passo 4

Primeiramente desenhe os traços que a gente achou. Após isso, perceba que as interseções com planos paralelos ao eixo z são elipses. Logo,para representar isso, desenhe duas elipses: uma no topo e outra na parte inferior. O gráfico fica:

Resposta

A quádrica é um cone elíptico . Ela tem os seguintes traços: o ponto ( 0,0 , 0 ) no plano x y , retas z = ± 5 8 y no plano y z e retas z = ± 1 8 x no plano x z .

As interseções com planos k paralelos aos eixos coordenados , com k 0 , são: No plano z = k temos elipses, e nos plnos x = k e y = k temos hipérboles.

O gráfico fica:

Exercício Resolvido #5

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON, 2008, pp. 218 - 65

Esboce o gráfico da quádrica a seguir:

z = - ( x 2 + y 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A quádrica apresentada no enunciado é um paraboloide elíptico, pois do lado esquerdo da equação tem uma variável “isolada” de grau 1 e do lado direito tem variáveis de grau 2 com sinais iguais.

Passo 2

Vamos fazer os traços:

Traços:

  • Traço no plano x y   z = 0 :
  • 0 = - ( x 2 + y 2 )

    Temos o ponto ( 0,0 , 0 )

  • Traço no plano x z   ( y = 0 ) :
  • z = - x 2

    Temos uma parábola. O traço fica:

  • Traço no plano y z   ( x = 0 ) :
  • z = - y 2

    Temos uma parábola. O traço fica:

    Passo 4

    Vamos fazer agora interseções com planos paralelos aos eixos coordenados.

    Interseções:

  • Plano z = k
  • k = - ( x 2 + y 2 )

    Se k = 0 temos o ponto 0,0 , 0

    Se k 0 temos:

    1 = - x 2 + y 2 k

    Se k > 0 a equação acima é impossível. Logo não há interseção.

    Se k < 0 então a equação acima é um círculo.

    São elipses para k < 0

  • Plano y = k
  • z = - ( x 2 + k 2 )

    São Parábolas para k R  

  • Plano x = k

z = - ( k 2 + y 2 )

São Parábolas para k R  

Passo 3

Plote os traços que encontramos. Como as interseções da quádrica com eixos paralelos ao eixo z são elipses, para k < 0 , desenhe uma elipse na parte mais negativa do eixo z para demonstrar isso. O esboço fica:

Resposta

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Identifique as superfícies quadráticas abaixo e esboce seu gráfico.

S 1 : z = 4 - 2 x 2 - 3 y 2

S 2 : z = 4 - 2 x 2 + 3 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de tentar identificar a Quádrica devemos completar os quadrados na equação, vamos começar pela S 1 marotamente porque não precisa completar o quadrado. Porque não precisa? Ele só tem caras ao quadrado ou z sem estar elevado a ninguém. Se tivesse alguém ao quadrado e essa mesma letra não elevada ao quadrado ai sim iríamos completar quadrados.

Temos

z = 4 - 2 x 2 - 3 y 2

z - 4 = - 2 x 2 - 3 y 2

Como temos z sem estar ao quadrado e x e y tem o mesmo sinal temos um paraboloide elíptico. Mas como não temos o z sozinho ele está deslocado, fica atento a isso.

Ele vai ter a “Pontinha” no ponto 0,0 , 4

O gráfico vai ficar

Passo 2

A superfície S 2 também não precisa completar quadrado, fica muito atento que agora temos uma equação onde os sinais dos caras ao quadrado são diferente, isso nos diz que isso é um paraboloide hiperbólico, vulgo sela.

z = 4 - 2 x 2 + 3 y 2

z - 4 = - 2 x 2 + 3 y 2

O gráfico vai ficar

Repara que o eixo da sela está na direção do eixo y , só que deslocado para cima, ou seja, com z = 4 , que é o que aquele 4 está fazendo.

Resposta

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Identifique essa Quádrica e faça seu esboço

- x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos fazer a superfície S 1

Temos em x

- x 2 - 2 x - b 2 = - a 2 - 2 a b - b 2

Porque coloquei tudo negativo dessa vez? O x 2 está negativo, então agora temos que por todo mundo negativo, se ele for positivo é como antes, sacou?

Então

- a 2 = - x 2 a = x

- 2 x = - 2 a b - 2 x = - 2 b x b = 1

Dessa forma devemos somar dos dois lados - b 2 = - 1

Vamos ter em y do lado esquerdo

- x 2 - 2 x - 1

Está lindão essa porra né? Só que não. O ideal é sempre termos a letra multiplicando 1 então vamos por - 1 em evidência

- 1 x 2 + 2 x + 1 = - x + 1 2

Beleza?

Passo 2

Vamos para z agora

z 2 - 2 z + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Então

a 2 = z 2 a = z

- 2 z = 2 a b - 2 z = 2 z b b = 1

Dessa forma devemos somar dos dois lados b 2 = 1

Vamos ter em y do lado esquerdo

z 2 - 2 z + 1 = z - 1 2

Beleza?

Passo 3

A equação vai ficar

- x + 1 2 + y 2 + z - 1 2 = - 1 + 1 = 0

- x + 1 2 + y 2 + z - 1 2 = 0

y 2 + z - 1 2 = x + 1 2

Essa é uma equação de um cone, com eixo igual ao eixo x , mas a ponta do coné não vai ser na origem vai ser no ponto - 1,0 , 1

O gráfico vai ficar

Resposta

Exercício Resolvido #8

UFRJ - Cálculo 2 - P1 2012.2 – 4a

z = x 2 + y 2

Faça um esboço da superfície, destacando as curvas de interseção com os planos coordenados x = 0 , y = 0 e z = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Identificar a superfície:

z = x 2 + y 2

z 2 = x 2 + y 2

Essa é a equação de um cone circular.

Mas como z = x 2 + y 2 > 0 , então o gráfico dessa superfície é apenas a parte superior do cone:

x = 0 z = y 2 = y → Retas

y = 0 z = x 2 = x → Retas

z = 0 x 2 + y 2 = 0 x = y = 0 → Ponto

Resposta

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