Forma Quadrática – Quádricas

Teoria Completa

Introdução

Pessoas! Como indica o título desse capítulo, a ideia é similar ao capítulo Forma Quadrática: Conicas, com uma pequena diferença, no caso, uma coordenada a mais!

Vamos relembrar rapidamente as quádricas que estudamos e suas equações:

  • Elipsóide:
  • x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 + z - z 0 2 c 2 = 1

  • Hiperbolóide de uma folha:
  • x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 1

  • Hiperbolóide de duas folhas:
  • x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 1

  • Cone Elíptico:
  • z - z 0 2 c 2 = x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2

  • Parabolóide Elíptico:
  • z - z 0 c = x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2

  • Parabolóide Hiperbólico:
  • z - z 0 c = x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2

    Qualquer dúvida volte nos tipos sobre as quádricas

    A ideia é aprender o que fazer quando aparece isso:

    4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 + 4 x y + 4 x z + 4 y z - x = 3

    Já que essa equação não se encaixa em nenhuma das quádricas que estudamos. Na verdade, ela representa uma quádrica, cujo gráfico é uma superfície no R 3 . Portanto, seus pontos tem coordenadas x , y e z .

    O passo a passo pra resolução de problemas assim é essencialmente igual ao das cônicas. Você só vai ter que trabalhar com uma matriz 3 × 3 , achar 3 autovalores e 3 autovetores.

    Representação Matricial:

    Como já dito, vimos 6 tipos de quádricas especiais. Porém quádrica é o conjunto de pontos que satisfazem a equação:

    A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z = J

    Bom, pegando novamente nossa equação lá em cima, reparem que:

    4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 + 4 x y + 4 x z + 4 y z - x = 3

    É uma quádrica e pode ser escrita na forma matricial:

    x y z   4 2 2 2 4 2 2 2 4 ⏟ Q   x y z +   - 1 0 0   x y z = 3

    Para as quádricas, adicionamos uma coordenada naquela forma geral, então agora teremos:

    A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z = J

    → r e e s c r e v e n d o   x y z   A D / 2 E / 2 D / 2 B F / 2 E / 2 F / 2 C ⏟ Q   x y z +   G H I   x y z = J

    E olha a matriz Q aí de novo!

    Interpretação Geométrica

    Bom, vamos voltar a equação na forma incial:

    4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 + 4 x y + 4 x z + 4 y z - x = 3

    Temos duas observações importantes:

  • Os termos lineares de x , y e z indicam que a quádrica está deslocada em relação à origem.
  • E os termos mistos x y , x z e y z indicam que a quádrica está rotacionada em relação aos eixos cartesianos.

Como nossa quádrica está rotacionada e com o centro fora da origem, nós temos que encontrar os eixos nos quais a quádrica está ( x ' , y '   e   z ' ) . Então vamos fazer todo aquele procedimento pra uma matriz 3 × 3 .

Encontrando os eixos das quádricas rotacionadas

Tinhamos a equação de uma quádrica qualquer da forma:

A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z = J

Reescrevemos ela na forma matricial:

x y z   A D / 2 E / 2 D / 2 B F / 2 E / 2 F / 2 C ⏟ Q   x y z +   G H I   x y z = J

Para encontrar os eixos x ' , y ' e z ' , vamos reescrever a equação da quádrica utilizando os autovalores e autovetores da matriz Q .

A equação deverá ficar assim:

x ' y ' z ' λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 x ' y ' z ' + G H I u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 x ' y ' z ' = J

Aonde λ 1 , λ 2 e λ 3 são os autovalores da matriz Q e u = ( u 1 , u 2 , u 3 ), v = v 1 , v 2 , v 3 e w = w 1 , w 2 , w 3 são os autovetores UNITÁRIOS associados à λ 1 , λ 2 e λ 3 , respectivamente. Ou seja, a disposição dos autovetores na matriz deve acompanhar a dos autovalores.

Só pra relembrar, pra achar o UNITÁRIO de um vetor, basta dividir as coordenadas do vetor pelo seu MÓDULO!!!

Depois que você escrever a equação matricial, é só multiplicar as matrizes e encontrar a equação reescrita que a gente tava procurando nos eixos x ' , y ' e z ' !!! YEAAAH!!

Exemplo

Vamos resolver aquele exemplo do início pra gente visualizar melhor:

4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 + 4 x y + 4 x z + 4 y z - x = 3

Escrevemos na forma matricial:

x y z   4 2 2 2 4 2 2 2 4 ⏟ Q   x y z +   - 1 0 0   x y z = 3

A partir da matriz Q , encontramos seus autovalores λ 1 = 2 , λ 2 = 2 e λ 3 = 8 e seus autovetores unitários associados u = - 1 2 , 1 2 , 0 , v = - 1 6 , - 1 6 , 2 6 e w = 1 3 , 1 3 , 1 3 .

Feito isso, podemos jogar os valores encontrados na equação matricial:

x ' y ' z ' λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 x ' y ' z ' + G H I u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 x ' y ' z ' = J

E então encontramos:

x ' y ' z ' 2 0 0 0 2 0 0 0 8 x ' y ' z ' + - 1 0 0 - 1 2 - 1 6 1 3 1 2 - 1 6 1 3 0 2 6 1 3 x ' y ' z ' = 3

Multiplicando as matrizes, a gente chega em:

2 x ' 2 + 2 y ' 2 + 8 z ' 2 + 2 2 x ' = 3  

E assim como no exemplo das cônicas, vamos completar quadrados pra ver melhor nossa equação:

2 x ' + 2 8 2 + 2 y ' 2 + 8 z ' 2 = 49 16

E dividindo toda a equação por 49 16 , vamos chegar em:

x ' + 2 8 2 49 32 + y ' 2 49 32 + z ' 2 49 128 = 1

Então, chegamos à conclusão de que aquela nossa equação “estranha” lá do início é, na verdade, um elipsoide no sistema de eixos x ' , y ' e z ' . E esse elipsoide tem centro em - 2 8 , 0,0 e semieixos nas direções x ' , y ' e z ' iguais a 7 4 2 , 7 4 2 e 7 8 2 , respectivamente.

Lembre que assim como nas cônicas, as direções dos semieixos   x ' , y ' e z ' são dados pelas direções dos autovetores que nós encontramos da matriz Q .

E nessa hora, você provavelmente já estava pensando: SE ME PEDIREM PRA DESENHAR NO R 3 , EU CHORO!

Mas, porém, entretanto, todavia, fique tranquilo, pois NÃO vão te pedir pra desenhar no R 3 . Até porque convenhamos, nem os professores sabem desenhar direito no R 3 . Então, podem te pedir só as direções dos eixos x ' , y ' e z ' , e aí é só mandar os autovetores e correr pro abraço!! “TOMA ESSA, PROVA DE CÁLCULO, SEGURA MEU GABARITO AEEE!!”

Bom, pessoal, é isso! Então vamos partir pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch, Álgebra Linear, 2ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., pp 368 - 9

Identifique que a Quádrica na forma quadrática abaixo

3 x 2 + 5 y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z - 4 x + 6 y - 2 z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, observamos que essa não é uma quádrica do jeito que estamos acostumados. Os termos elevados a potência 1 e os termos mistos nos levam a pensar que ela está com o centro deslocado e rotacionada.

Vamos escrever a sua equação na forma matricial:

x y z   3 - 1 1 - 1 5 - 1 1 - 1 3 ⏟ Q   x y z +   - 4 6 - 2   x y z = 0

Passo 2

A partir da matriz Q , encontramos seus autovalores.

Para calcular os autovalores de uma matriz 3x3:

Q = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Devemos fazer:

det ⁡ λ I - Q = 0

Isso implica:

λ - a 11 - a 12 - a 13 - a 21 λ - a 22 - a 23 - a 31 - a 32 λ - a 33   = 0