Parametrizações com Geometria

Teoria Completa

Ferramentas

O que nos interessa aqui é parametrizar curvas cuja parametrização a gente não conhece de cara. Para isso, algumas ferramentas são úteis, como a parametrização da circunferência, da reta, da elipse e etc.

Mas antes, eu preciso te lembrar de alguns conceitos tranquilinhos de geometria analítica. Vamos lá:

  • Ponto médio: ponto médio de um segmento A B → é aquele que divide o segmento em duas partes iguais. Suas coordenadas são:
  • P M = x A + x B 2 , y A + y B 2  

  • Equação da reta: seja r uma reta não-vertical, com coeficiente angular m , que passa pelos pontos A x A ,   y A e P ( x , y ) .
  • O coeficiente angular dessa reta é dado por:

    m = Δ y Δ x = y - y A x - x A

    Assim, a equação da reta é:

    y - y A = m x - x A

    y = m x - x A + y A

  • Interseção entre figuras: quando duas curvas se intersectam num ponto, temos que esse ponto pertence a essas duas figuras, assim, deve satisfazer as equações de ambos.

Por exemplo, se a gente quiser saber em quais pontos a circunferência ( x + 1 ) ² +   y ² =   25 e a reta x   +   y   –   6   =   0 se intersectam, vamos ter que pensar nessa parada aí que acabei de falar.

Temos

x   +   y   –   6   =   0

  y = 6 - x

Substituindo na equação da circunferência, temos:

( x + 1 ) ² +   y ² =   25

( x + 1 ) ² + ( 6 - x ) ² =   25

2 x 2 - 10 x + 12 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos que:

x = 2

x = 3

Assim, como y = 6 - x :

Para x = 2 :

y = 6 - 2 = 4

Para x = 3 :

y = 6 - 3 = 3

Logo, os pontos em que as figuras se intersectam são ( 2,4 ) e ( 3,3 ) .

Tranquilo, favorável?

Como você viu, não tem muita teoria. Então bora praticar com os exercícios pois eles são fundamentais para concretizar seu conhecimento.

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Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.12. questão 4.

Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta x = t y . A haste intercepta a reta y = 4 no ponto S e a elipse 4 x 2 + y - 2 2 = 4 no ponto Q (figura). Quando t varia, o vértice P do triângulo Q P S descreve uma curva.

Escreva as equações paramétricas dessa curva em função do parâmetro t .

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Passo 1

Vamos lá, as coordenadas do ponto P são:

P = p 1 , p 2

O que a gente precisa é encontrar uma relação entre as coordenadas desse ponto e as coordenadas ( s 1 , s 2 ) e ( q 1 , q 2 ) dos pontos S e Q .

Observando a figura a gente percebe que:

p 1 = s 1

p 2 = q 2

Assim

P = p 1 , p 2 = ( s 1 ,   q 2 )

Passo 2

Agora vamos encontrar as coordenadas dos pontos S e Q .

Comecemos pelo ponto S .

O que sabemos dele? Sabemos que sua coordenada y é sempre constante e igual 4 ! Assim,

S = s 1 , 4

Agora, sabemos também que o ponto S pertence à reta x = t y então:

s 1 = t . 4

s 1 = 4 t

Logo:

S = ( 4 t , 4 )

Passo 3

Para saber as coordenados do ponto Q , usamos o fato de que Q pertence a reta x = t y   e a elipse 4 x 2 + y - 2 2 = 4 . Assim, a coordenada x =   q 1 do ponto Q é igual a t y :

q 1 = t y

Se substituirmos isso na equação da elipse, encontramos a coordenada y = q 2 do ponto Q .

4 x 2 + y - 2 2 = 4

4 ( t y ) 2 + y - 2 2 = 4

4 t 2 y 2 + y 2 - 4 y + 4 - 4 = 0

y 4 t 2 + 1 y - 4 = 0

y = 0

y = 4 4 t 2 + 1

O caso y = 0 não nos interessa pois representa a origem e nosso ponto Q não está na origem. Logo, as coordenadas do ponto Q   são:

Q = q 1 , q 2 = t y , 4 4 t 2 + 1 = 4 t 4 t 1 + 1 , 4 4 t 2 + 1

Passo 4

Voltando agora para aquela relação que encontramos lá no incio.

P = p 1 , p 2 = ( s 1 ,   q 2 )

Temos então que:

P = 4 t , 4 4 t 2 + 1

Resposta

P = 4 t , 4 4 t 2 + 1

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.13. questão 6.

A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando o mesmo, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo (figura). Supondo que o centro do carretel está colocado na origem do plano x y e seu raio é a , e que o fio começa a se desenrolar no ponto A = ( a , 0 ) . Mostre que as equações paramétricas da Involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:

x θ = a ( cos ⁡ θ + θ s e n θ ) e y θ = a ( s e n θ - θ cos ⁡ θ ) , θ ∈ [ 0,2 π ]

Utilizando como parâmetro o ângulo A O T mostrado na figura.

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Passo 1

Para descobrirmos a parametrização da involuta, temos que achar o vetor posição O P → θ do ponto P .

Podemos pensar esse vetor O P → θ como a soma dos vetores O T → θ e T P → θ :

O P → θ = O T → θ + T P → θ

Sabemos que:

O T → θ = ( a c o s θ , a s e n θ )

Repare que T P → nada mais é que o arco T O A esticado, então:

T P → θ = a θ (comprimento do arco T O A )

Passo 2

Beleza, agora podemos achar também um vetor tangente ao vetor O T → θ :

O T ' → θ = ( - a s e n θ , a c o s θ )

Esse vetor é paralelo ao vetor T P → θ , mas está no sentido oposto a ele. Vamos utilizar essas informações por partes.

Como O T ' → θ está no sentido oposto de e T P → θ , devemos inverter o sentido de O T ' → θ :

O T ' → θ = ( - a s e n θ , a c o s θ )

O T ' → θ = ( + a s e n θ , - a c o s θ ) (sentido invertido)

Como já sabemos que O T ' → θ é paralelo a T P → θ e a informação que temos sobre T P → θ é a respeito de seu comprimento, vamos achar o comprimento de O T ' → θ :

O T ' → θ = a s e n θ 2 + - a c o s θ 2 = a 2 s e n 2 θ + c o s 2 θ = a 2 = a (porque a ≥ 0 )

Opa, o comprimento de O T ' → θ e T P → θ diferem por um fator multiplicativo θ . Então, para O T ' → θ e T P → θ virarem o mesmo vetor, temos que multiplicar O T ' → θ por θ (para que os comprimentos dos dois vetores fiquem iguais, agora que eles já tem o mesmo sentido):

O T ' → θ . θ = θ + a s e n θ , - a c o s θ = T P → θ