Coordenadas Polares

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala galera! Tudo tranquilo? Vamos começar nosso estudo sobre coordenadas polares!?

E afinal, o que são coordenadas polares?

As coordenadas polares são um sistema de coordenadas bidimensional usado para expressar a posição de um ponto. Nele cada ponto do plano pode ser determinado por uma distância e um ângulo em relação a um ponto fixo de referência.

Sistema de coordenadas polares
Sistema de coordenadas polares

Estamos bastante acostumados a utilizar o sistema cartesiano de coordenadas. No sistema cartesiano temos dois eixos: e . As coordenadas de um ponto qualquer são dadas pelas distâncias (com sinal) aos eixos.

Sistema de coordenadas cartesianas
Sistema de coordenadas cartesianas

Enquanto no sistema de coordenadas polares teremos um único semi-eixo , como indicado abaixo, sendo o ponto conhecido como origem ou polo:

Semi-eixo OA do sistema de coordenadas polares
Semi-eixo OA do sistema de coordenadas polares

Nesse caso, as coordenadas de um ponto qualquer serão dadas pela distância (com sinal) do ponto à origem, chamada de coordenada , e pelo ângulo (medido em radianos) que a distância faz com o semi-eixo , conhecida como coordenada .

OBS.: A coordenada pode se positiva (ponto está acima do semi-eixo ) ou negativa (ponto está abaixo do semi-eixo ). A coordenada também pode ser positiva (ângulo medido no sentido anti-horário) ou negativa (ângulo medido no sentido horário).

Por exemplo, na figura abaixo, qual é a localização do ponto ?

Representação de um ponto P em coordenadas polares
Representação de um ponto P em coordenadas polares

Ao traçarmos uma reta entre a origem do semi-eixo e o ponto temos uma distância de duas unidades e essa reta forma um ângulo de .

Logo podemos escrever:

Equivalência entre coordenadas polares e cartesianas

A grande questão é: Como achar as coordenadas polares a partir das coordenadas cartesianas? ou o contrário, como converter as coordenadas polares em coordenadas cartesianas?

Para um ponto com coordenadas cartesianas e e queremos encontrar as coordenadas polares, e , como indicado abaixo:

Coordenadas cartesianas e polares de um ponto P
Coordenadas cartesianas e polares de um ponto P

Para descobrir as coordenadas polares basta usar relações trigonométricas, temos:

Perceba que temos um triângulo retângulo, com catetos e e hipotenusa :

Triângulo retângulo formado pelas coordenadas
Triângulo retângulo formado pelas coordenadas

Assim, podemos dizer que:

ATENÇÃO!! Aqui temos e em evidência, então se quiséssemos achar as coordenadas cartesianas a partir das coordenadas polares usaríamos as relações e

Mas a nossa intenção é achar as coordenadas polares, então substituímos as equações e na equação :

A partir da expressão acima pode-se encontrar a coordenada .

Também das relações trigonométricas, temos que:

Substituindo as equações e :

Assim é possível encontrar a coordenada !

Agora você já sabe o que são coordenadas polares e como converter coordenadas polares em cartesianas e vise-versa.

Agora pratique com exercícios!

Equivalência entre coordenadas polares e cartesianas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Ache as coordenadas cartesianas retangulares dos pontos cujas coordenadas polares são dadas:

  1. 3 , π
  2. 2 ,   - 3 4 π
  3. - 4 , 2 3 π
  4. - 1 ,   - 7 6 π

Passo 1

a) Primeira coisa a se fazer é identificar os elementos r e θ . Vamos ter:

r = 3

θ = π

Passo 2

Agora basta utilizar:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo vamos ter:

x = 3 . c o s   π   = 3 - 1 = - 3

y = 3 . s e n π = 3 0 = 0

Passo 3

b) Identificando os elementos r e θ . Vamos ter:

r = 2

θ = - 3 4 π

Passo 4

Agora basta utilizar:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo vamos ter:

x = 2 . c o s   - 3 4 π   = 2 - 2 2 = - 1

y = 2 . s e n - 3 4 π = 2 - 2 2 = - 1

Passo 5

c) Identificando os elementos r e θ . Vamos ter:

r = - 4

θ = 2 3 π

Passo 6

Agora basta utilizar:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo vamos ter:

x = - 4 . c o s   2 3 π   = - 4 - 1 2 = 2

y = - 4 . s e n 2 3 π = - 4 3 2 = - 2 3

Passo 7

d) Identificando os elementos r e θ . Vamos ter:

r = - 1

θ = - 7 6 π

Passo 8

Agora basta utilizar:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo vamos ter:

x = - 1 . c o s - 7 6 π   = - 1 - 3 2 = 3 2

y = - 1 . s e n - 7 6 π = - 1 1 2 = - 1 2

Resposta

  1. - 3,0
  2. ( - 1 , - 1 )
  3. 2 , - 2 3
  4. 3 2 , - 1 2

Exercício Resolvido #2

Ache a equação polar do gráfico dada a sua equação cartesiana:

x 2 = 6 y - y 2

Passo 1

Vamos começar usando a relação que conhecemos:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo temos:

r 2 . c o s θ 2 = 6 r . s e n θ - r 2 s e n θ 2

Passo 2

Agora vamos ajeitar essa equação, passando tudo para o mesmo lado e colocando r em evidência:

r 2 . c o s θ 2 + r 2 s e n θ 2 - 6 r . s e n θ = 0

Que é o mesmo que :

r 2 - 6 r . s e n θ = 0

Colocando r em evidência, temos:

r r - 6 s e n θ = 0

Como r ≠ 0 , chegamos ao resultado:

r = 6 s e n θ

Resposta

r = 6 s e n θ

Exercício Resolvido #3

Ache a equação cartesiana do gráfico dada a sua equação polar:

r 2 = c o s θ

Passo 1

Vamos começar usando a relação que conhecemos:

x = r . c o s θ

Substituindo temos:

r 2 = x r

O que nos leva a:

r 3 = x

Passo 2

Agora vamos usar a seguinte relação:

r = x 2 + y 2

Então temos:

x 2 + y 2 3 2 = x

Elevando ambos os lados ao quadrado temos:

( x 2 + y 2 ) 3 = x 2

Resposta

( x 2 + y 2 ) 3 = x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os
O cometa Hale-Bopp, descoberto em 1995 , tem uma órbita elíptica com e
A órbita do cometa Halley, visto pela última vez em 1986 e com retorno
A órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse com excentricidade 0,09