Coordenadas Polares

Teoria Completa

Principais Conceitos

Fala galera! Tudo tranquilo? Vamos começar nosso estudo sobre coordenadas polares.

Estamos bastante acostumados a utilizar o sistema cartesiano de coordenadas . Mas, além dele, existem outros sistemas de coordenadas importantes, e um deles é o sistema de coordenadas polares.

No sistema cartesiano, tínhamos dois eixos: o eixo x e o eixo y . As coordenadas de um ponto P = ( x , y ) eram as distâncias (com sinal) ao eixos. Veja a figura abaixo:

Já nas coordenadas polares, vamos ter apenas um semi-eixo. Ele é chamado de semi-eixo polar e está indicado na figura abaixo por O A . O ponto O é chamado de origem ou pólo.

As coordenadas polares de um ponto P qualquer são dadas por P = r , θ .

Calma, que eu já explico o que isso significa:

  • r é a distância (com sinal) do ponto P a origem. Ou seja, r pode ser positivo ou negativo.
  • θ é o ângulo A O P   (medido em radianos). Pode ser positivo (medido no sentido anti-horário) ou negativo (medido no sentido horário).

Vamos ver alguns exemplos:

Queremos plotar o ponto P = 2 , π 4

Primeiramente marcamos o ângulo. Como θ = π 4 > 0 seguimos o sentido anti - horário. Fica assim:

Portanto sabemos que o ponto P está sobre essa reta pontilhada. Agora, como r = 2 > 0 marcamos a distancia de 2 unidades na parte da reta onde a setinha está “tocando”. Então temos:

Agora, imagine que queremos plotar o ponto P = - 2 , - π 4

Vamos marcar o ângulo. Como θ = - π 4 < 0 , percorremos no sentido horário. Fica:

Portanto sabemos que o ponto P está sobre essa reta pontilhada. Agora, como r = - 2 < 0 marcamos a distancia de 2 unidades na parte da reta onde a setinha NÃO está “tocando”. Então temos:

Equivalência entre coordenada polar e cartesiana

Agora veremos como encontrar as coordenadas polares a partir das coordenadas cartesianas de um ponto e vice-versa.

Vamos imaginar um ponto P com coordenadas cartesianas P = ( x , y ) . Queremos encontrar suas coordenadas polares correspondentes, ou seja, r e θ indicados na figura abaixo.

Bom, podemos usar as relações trigonométricas. Repare que cos ⁡ θ = x r   e que s e n θ = y r

Então chegamos as seguintes equações:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Por exemplo temos um ponto P = 4 , π 3 em coordenadas polares. Podemos encontrar suas coordenadas retangulares. Sabemos que r = 4   e   θ = π 3 . Então temos:

x = 4 cos ⁡ π 3 = 4 1 2 = 2

y = 4 s e n π 3 = 4 3 2 = 2 3

Beleza?! Mas e se tivéssemos as coordenadas retangulares e quiséssemos encontrar as coordenadas polares? Bom, já sabemos que:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Podemos ajeitar isso:

s e n θ = y r i

c o s θ = x r   ( i i )

Então podemos usar :

c o s θ 2 + s e n θ 2 = x r 2 + y r 2 = x 2 + y 2 r 2 = 1

O que nos leva a:

r = ± x 2 + y 2

Ainda podemos encontrar uma relação para determinar θ . Dividindo i por i i temos:

t g θ = y x

Vamos imaginar que queremos encontrar as coordenadas polares do ponto P = 2,2 3 . Podemos começar desenhando o ponto sistema retangular. Queremos encontrar r e θ indicados na figura abaixo:

Então vamos usar:

t g θ = y x

Substituindo:

t g θ = 2 3 2 = 3

Logo, concluímos que:

θ = π 3

Agora usamos:

r = ± x 2 + y 2

Substituindo:

r = ± 2 2 + 2 3 2 = ± 4

Repare que no esboço que fizemos acima, r está no mesmo lado onde a setinha do ângulo está “chegando”. Portanto, r > 0 e r = 4 .

Equivalência entre equação polar e cartesiana

Equação polar é qualquer equação de um gráfico dado em coordenadas polares. Usamos esse nome apenas para diferenciar da equação cartesiana que estamos acostumados.

A ideia aqui é, dada uma equação polar, encontrar sua equação cartesiana equivalente. Vamos ver alguns exemplos:

Imagine a seguinte equação polar

r = 3

Podemos usar a relação anteriormente vista:

r = ± x 2 + y 2

r 2 = x 2 + y 2

Substituindo:

3 2 = x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 9

Que é exatamente a equação de uma circunferência com centro em ( 0,0 ) e raio 3.

Agora, queremos achar a equação polar equivalente a x 2 + y 2 - 4 y = 0

Vamos usar a relação:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo:

x 2 + y 2 - 4 y = 0

r 2 c o s θ 2 + r 2 s e n θ 2 - 4 r . s e n θ = 0

Colocando r 2 em evidência: r 2 c o s θ 2 + s e n θ 2 - 4 r . s e n θ = 0

Então temos:

r 2 - 4 r . s e n θ = 0

r r - 4 s e n θ = 0

Supondo r ≠ 0 temos:

r - 4 s e n θ = 0

r = 4 s e n θ

Essa é a nossa equação polar equivalente!

Partiu exercícios?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Louis Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica Volume 1, 3ª ed. São Paulo: HARBRA, 1994, pp. 613 – 21

Ache as coordenadas cartesianas retangulares dos pontos cujas coordenadas polares são dadas:

  1. 3 , π
  2. 2 ,   - 3 4 π
  3. - 4 , 2 3 π
  4. - 1 ,   - 7 6 π
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Primeira coisa a se fazer é identificar os elementos r e θ . Vamos ter:

r = 3

θ = π

Passo 2

Agora basta utilizar:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo vamos ter:

x = 3 . c o s   π   = 3 - 1 = - 3

y = 3 . s e n π = 3 0 = 0

Passo 3

b) Identificando os elementos r e θ . Vamos ter:

r = 2

θ = - 3 4 π

Passo 4

Agora basta utilizar:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo vamos ter:

x = 2 . c o s   - 3 4 π   = 2 - 2 2 = - 1

y = 2 . s e n - 3 4 π = 2 - 2 2 = - 1

Passo 5

c) Identificando os elementos r e θ . Vamos ter:

r = - 4

θ = 2 3 π

Passo 6

Agora basta utilizar:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo vamos ter:

x = - 4 . c o s   2 3 π   = - 4 - 1 2 = 2

y = - 4 . s e n 2 3 π = - 4 3 2 = - 2 3

Passo 7

d) Identificando os elementos r e θ . Vamos ter:

r = - 1

θ = - 7 6 π

Passo 8

Agora basta utilizar:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo vamos ter:

x = - 1 . c o s - 7 6 π   = - 1 - 3 2 = 3 2

y = - 1 . s e n - 7 6 π = - 1 1 2 = - 1 2

Resposta

  1. - 3,0
  2. ( - 1 , - 1 )
  3. 2 , - 2 3
  4. 3 2 , - 1 2

Exercício Resolvido #2

Louis Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica Volume 1, 3ª ed. São Paulo: HARBRA, 1994, pp. 614 – 29

Ache a equação polar do gráfico dada a sua equação cartesiana:

x 2 = 6 y - y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar usando a relação que conhecemos:

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

Substituindo temos:

r 2 . c o s θ 2 = 6 r . s e n θ - r 2 s e n θ 2

Passo 2

Agora vamos ajeitar essa equação, passando tudo para o mesmo lado e colocando r em evidência:

r 2 . c o s θ 2 + r 2 s e n θ 2 - 6 r . s e n θ = 0

Que é o mesmo que :

r 2 - 6 r . s e n θ = 0

Colocando r em evidência, temos:

r r - 6 s e n θ = 0

Como r ≠ 0 , chegamos ao resultado:

r = 6 s e n θ

Resposta

r = 6 s e n θ

Exercício Resolvido #3

Louis Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica Volume 1, 3ª ed. São Paulo: HARBRA, 1994, pp. 614 – 37

Ache a equação cartesiana do gráfico dada a sua equação polar:

r 2 = c o s θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar usando a relação que conhecemos:

x = r . c o s θ

Substituindo temos:

r 2 = x r

O que nos leva a:

r 3 = x

Passo 2

Agora vamos usar a seguinte relação:

r = x 2 + y 2

Então temos:

x 2 + y 2 3 2 = x

Elevando ambos os lados ao quadrado temos:

( x 2 + y 2 ) 3 = x 2

Resposta

( x 2 + y 2 ) 3 = x 2

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