Teoria Completa
Derivada de Exponencial
Dada a função exponencial abaixo:
A fórmula da derivada, sem demonstrações dolorosas, é essa:
Sendo que o número é a famosa constante de Euler. Ela vale aproximadamente e tem uma propriedade muito especial: quando a base do expoente é este número (ou seja, ), temos uma função cuja derivada é igual a si mesma:
Isto é um resultado muito importante, e você vai cansar de ver essa função por aí, mas, por hora, é só isso que precisamos saber.
Aliás, é bom te lembrar que como propriedade dos expoentes temos que o produto ou o quociente de exponenciais se relacionam com o resultado sendo, respectivamente, a soma e a diferença dos expoentes:
Derivada de função Logarítmica
Agora podemos atacar a função logarítmica. O fato é que, se você decorar o resultado, já dá pra fazer muita coisa em termos de conteúdo:
Isso serve para o log na base . Numa base qualquer, teríamos:
Por propriedade de logaritmo eu vou trazer esse log pra base antes de derivá-lo.
Onde o é uma constante. Então:
Das propriedades do logaritmo é bom lembrar dessas :
Exercício Resolvido #1
Calcule a derivada da função abaixo:
Passo 1
Aplicando a regra da derivada de funções exponenciais:
Teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Seja a função
O que se pode dizer sobre a razão ?
Passo 1
Vamos achar a derivada da .
A função nada mais é que a função exponencial multiplicada pela constante . Então temos que:
Passo 2
Temos que:
Só que pra exponencial, a derivada acaba sendo ela mesma, pois :
Então vamos ter:
Passo 3
Ou seja
Qualquer função da forma com constante é igual a sua derivada! Então pra qualquer diferente de 0 essa razão dá .
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule a derivada da função:
Passo 1
Aplicando a regra da derivada de logaritmos, teremos:
Antes de mais nada, vamos usar as propriedades de log para melhorar essa conta
Agora vamos derivar as partes
Passo 2
Temos
Lembrando que é uma constante, então
E
Assim, vamos ter:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Calcule a derivada da função:
Passo 1
Temos uma soma para derivada, para isso vamos usar as propriedades das derivadas, para organizar vamos fazer:
Com
E
Assim, vamos ter:
Passo 2
Vamos começar derivando
Aqui, como apareceram essas duas exponenciais com a mesma base , o primeiro passo é arrumar esse cara, lembrando que uma divisão de exponenciais de mesma base dará uma exponencial com essa base e expoente valendo a diferença de seus expoentes:
Passo 3
Aplicando a regra da derivada de funções exponenciais:
Teremos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
Usando as propriedades de derivadas, vamos ter:
Passo 5
Assim, vamos ter:
Substituindo o que fizemos nos passos, vamos ter:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Determine a derivada de em relação a
Passo 1
Aqui teremos que aplicar uma propriedade importante dos logaritmos. Se temos um logaritmo com uma base qualquer e logaritmando também com uma base qualquer, podemos dizer que:
Dessa maneira, teríamos nesse caso:
Como é um número real
temos aqui que derivar um polinômio! Essa questão tá aqui para te lembrar dessa propriedade mesmo, por que não precisamos da derivada do log ou da exponencial para ela não.
Passo 2
Derivando, teremos: