Derivada de Função Exponencial e Logarítmica

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Teoria

Derivada de Exponencial

Dada a função exponencial abaixo:

f x = a x

A fórmula da derivada, sem demonstrações dolorosas, é essa:

f ' x = a x log e ⁡ a

Sendo que o número e é a famosa constante de Euler. Ela vale aproximadamente 2,72 e tem uma propriedade muito especial: quando a base do expoente é este número (ou seja, a = e ), temos uma função cuja derivada é igual a si mesma:

f x = e x

f ' x = e x

Isto é um resultado muito importante, e você vai cansar de ver essa função por aí, mas, por hora, é só isso que precisamos saber.

Aliás, é bom te lembrar que como propriedade dos expoentes temos que o produto ou o quociente de exponenciais se relacionam com o resultado sendo, respectivamente, a soma e a diferença dos expoentes:

a b a c = a b + c

a b a c = a b - c

Derivada de função Logarítmica

Agora podemos atacar a função logarítmica. O fato é que, se você decorar o resultado, já dá pra fazer muita coisa em termos de conteúdo:

y = ln ⁡ x

y ' = 1 x

Isso serve para o log na base e . Numa base qualquer, teríamos:

y = log a ⁡ x

Por propriedade de logaritmo eu vou trazer esse log pra base e antes de derivá-lo.

y ' = log a ⁡ x ' = ln ⁡ x ln ⁡ a '

Onde o ln ⁡ a é uma constante. Então:

y ' = ln ⁡ x ln ⁡ a ' = 1 ln ⁡ a 1 x

Das propriedades do logaritmo é bom lembrar dessas 3 :

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

ln ⁡ a . b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Derivada de função Logarítmica

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule a derivada da função abaixo:

y = 10 x

Passo 1

Aplicando a regra da derivada de funções exponenciais:

f x = a x → f ' x = a x ln ⁡ a

Teremos:

y = 10 x

d y d x = 10 x ln ⁡ 10

Resposta

d y d x = 10 x ln ⁡ 10

Exercício Resolvido #2

Seja a função

f x = k e x ,     k ∈ R

O que se pode dizer sobre a razão f ' x f x ?

Passo 1

Vamos achar a derivada da f .

A função nada mais é que a função exponencial e x multiplicada pela constante k . Então temos que:

d f d x = k d e x d x

Passo 2

Temos que:

f x = a x → f ' x = a x l n a  

Só que pra exponencial, a derivada acaba sendo ela mesma, pois l n e   = 1 :

d ( e x ) d x = e x l n e   = e x

Então vamos ter:

f ' x = k e x = f x

Passo 3

Ou seja

f ' x f x = k e x k e x = 1

Qualquer função da forma k e x com k constante é igual a sua derivada! Então pra qualquer k diferente de 0 essa razão dá 1 .

Resposta

P a r a   q u a l q u e r   k   d i f e r e n t e   d e   0   a   r a z ã o   v a l e   1 .

Exercício Resolvido #3

Calcule a derivada da função:

y = ln ⁡ 3 x

Passo 1

Aplicando a regra da derivada de logaritmos, teremos:

y = ln ⁡ 3 x

Antes de mais nada, vamos usar as propriedades de log para melhorar essa conta

y = ln ⁡ 3 x = ln ⁡ 3 + ln ⁡ x

Agora vamos derivar as partes

Passo 2

Temos

d y d x = ln ⁡ 3 ' + ln ⁡ x '

Lembrando que ln ⁡ 3 é uma constante, então

ln ⁡ 3 ' = 0

E

ln ⁡ x ' = 1 x

Assim, vamos ter:

d y d x = 0 + 1 x

d y d x = 1 x

Resposta

d y d x = 1 x

Exercício Resolvido #4

Calcule a derivada da função:

y = 5 e 3 x e 2 x + 3 ln ⁡ x

Passo 1

Temos uma soma para derivada, para isso vamos usar as propriedades das derivadas, para organizar vamos fazer:

y = y 1 + y 2

Com

y 1 = 5 e 3 x e 2 x

E

y 2 = 3 ln ⁡ x

Assim, vamos ter:

d y d x = d y 1 d x + d y 2 d x

Passo 2

Vamos começar derivando

y 1 = 5 e 3 x e 2 x

Aqui, como apareceram essas duas exponenciais com a mesma base e , o primeiro passo é arrumar esse cara, lembrando que uma divisão de exponenciais de mesma base dará uma exponencial com essa base e expoente valendo a diferença de seus expoentes:

y 1 = 5 e 3 x - 2 x

y 1 = 5 e x

Passo 3

Aplicando a regra da derivada de funções exponenciais:

f x = e x → f ' x = e x

Teremos:

y 1 = 5 e x

d y 1 d x = 5 e x ' = 5 e x

Passo 4

Agora, vamos derivar

ln ⁡ x

Usando as propriedades de derivadas, vamos ter:

y 2 = 3 ln ⁡ x

d y 2 d x = 3 ( ln ⁡ x ) '

d y 2 d x = 3 1 x

d y 2 d x = 3 x

Passo 5

Assim, vamos ter:

d y d x = d y 1 d x + d y 2 d x

Substituindo o que fizemos nos passos, vamos ter:

d y d x = 5 e x + 3 x

Resposta

d y d x = 5 e x + 3 x

Exercício Resolvido #5

Determine a derivada de y em relação a x

y = log 5 ⁡ e x

Passo 1

Aqui teremos que aplicar uma propriedade importante dos logaritmos. Se temos um logaritmo com uma base qualquer e logaritmando também com uma base qualquer, podemos dizer que:

log a ⁡ b c = c log a ⁡ b

Dessa maneira, teríamos nesse caso:

log 5 ⁡ e x = x log 5 ⁡ e

Como log 5 ⁡ e é um número real

log 5 ⁡ e ≅ 0,62

temos aqui que derivar um polinômio! Essa questão tá aqui para te lembrar dessa propriedade mesmo, por que não precisamos da derivada do log ou da exponencial para ela não.

Passo 2

Derivando, teremos:

y ' = log 5 ⁡ e ⏟ c o n s t a n t e x ' = log 5 ⁡ e ⏟ c o n s t a n t e x '

= log 5 ⁡ e

Resposta

y ' = log 5 ⁡ e

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique que y = - ln ⁡ e 2 - x   satisfaz d y d x = e y = 1 e ,
Calcule g ' x g x = ln ⁡ x
Calcule g ' x g x = log π ⁡ x
Calcule f ' x . f x = π x