Derivadas de Funções Trigonométricas

Teoria Completa

Beleza, agora eu quero derivar

f x = sen ⁡ x

Lascou-se, como nós fazemos? Esse treco não é um polinômio como vimos. Relaxa jovem, existe regra para seno e cosseno também.

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

As demonstrações vamos deixar a cargo do leitor. Zoa, rs. Demonstrar isso dá um trabalho levemente muito grande, então vamos apenas saber o valor das derivadas mesmo.

Maluco, em trigonometria não tem só seno e cosseno, como fazemos as outras?

Existem 4 outras funções relevantes dentro dessas trigonométricas: a tangente, a secante, a cossecante e a cotangente. Suas derivadas vão ser

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

sec ⁡ x ' = tg ⁡ x sec ⁡ x

cotg ⁡ x ' = - cossec 2 ⁡ x

cossec ⁡ x ' = - cossec ⁡ x cotg ⁡ x

Um detalhe importante, lembre-se de como elas todas se relacionam:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x       ;     cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x       ;     cotg ⁡ x = 1 tg ⁡ x

E é sempre bom lembrar da relação fundamental:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Maaaaaas, temos um macete para você gravar essas derivadas:

tg ⁡ x sec ⁡ x sec ⁡ x cotg ⁡ x - cossec ⁡ x cossec ⁡ x

Essa tabelinha é fácil de decorar, certo? A propósito, toma só o cuidado com o sinal de menos que aparece ali na cossecante do meio para não o esquecer.

A partir dessa pequena tabelinha você só precisa “andar” pro lado oposto àquele em que está a função que você quer derivar e colocar as funções que aparecem no seu caminho para fazer a derivada.

Exemplo: qual a derivada da tangente? A partir do tg ⁡ x , eu ando pra direita. Tem uma secante no meio e outra na direita. Ficaria então com:

tg ⁡ x ' = sec ⁡ x sec ⁡ x = sec ⁡ x 2

E se eu te pedir a derivada da secante, basta andar para esquerda. Tem a secante no meio e a tangente na esquerda:

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x tg ⁡ x

A mesma coisa vale para cotangente e cossecante, basta andar para os lados (fica ligado no sinal de menos que tem na cossecante do meio da tabela). Da direita pra esquerda temos duas cossecantes e um menos, da esquerda para a direita temos uma cossecante e uma cotangente e um sinal de menos:

cotg ⁡ x ' =   - cossec ⁡ x 2           ;           cossec ⁡ x ' = - cossec ⁡ x cotg ⁡ x

Só para te lembrar, aqui também podemos derivar mais de uma vez. Ou seja, a derivada segunda de f x = cos ⁡ x vai ser

f ' x = - sen ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

Vai exercitar agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

y = 5 sen ⁡ x

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Passo 1

Temos uma função trigonométrica que está sendo multiplicada por uma constante, então vamos lembrar das respectivas fórmulas?

d k f x d x = k d f x d x

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Passo 2

Aplicando a regra da multiplicação por constante, teremos:

d y d x = 5 sen ⁡ x ' = 5 sen ⁡ x '

Aplicando a regra de derivada de seno, teremos:

= 5 cos ⁡ x

Resposta

d y d x = 5 cos ⁡ x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Ache a derivada de:

f x = x 5 + tg ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sem mistério, a derivada da soma é a soma das derivadas:

d f d x = d x 5 d x + d tg ⁡ x d x

Passo 2

Da fórmula de derivada de polinômio:

d x n d x = n x n - 1

Temos que:

d x 5 d x = 5 x 4

Passo 3

E a derivada da tangente é:

d tg ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x

Então a derivada da f vai dar

f ' x = 5 x 4 + sec 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = 5 x 4 + sec 2 ⁡ x

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Ache a derivada da função f tal que

f x = 3 e π sec ⁡ x 7

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Apesar da função parecer meio estranha à primeira vista, ela apenas é a função sec ⁡ x multiplicada pela constante 3 e π 7 , ou seja:

d f d x = 3 e π 7 ∙ d sec ⁡ x d x

Passo 2

E se você estiver com as derivadas das funções trigonométricas em dia vai saber que:

d ( sec ⁡ x ) d x = sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Então vamos ter:

f ' x = 3 e π 7 sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Resposta

f ' x = 3 e π 7 sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Exercício Resolvido #4

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.185-9

Determine d y d x

y = 4 cos ⁡ x + 1 tg ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Rearrumando, podemos nos lembrar que

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x         ;       cotg ⁡ x = 1 tg ⁡ x

Vamos aplicar isso no y :

y = 4 1 cos ⁡ x + 1 tg ⁡ x

= 4 sec ⁡ x + cotg ⁡ x

Passo 2

Derivamos agora:

f ' x = 4 sec ⁡ x ' + cotg ⁡ x '

= 4 tg ⁡ x sec ⁡ x + - cossec 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = 4 tg ⁡ x sec ⁡ x + - cossec 2 ⁡ x

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

y = 5 cotg ⁡ x tan ⁡ x cos ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Opa! Agora que apareceu esse produto, vamos começar tentando reorganizar esse cara pra podemos aplicar a derivada.

Bem, de cara temos que:

tg ⁡ x = 1 cotg ⁡ x

Assim:

y = 5 cotg ⁡ x tan ⁡ x cos ⁡ x = 5 cotg ⁡ x ∙ 1 cotg ⁡ x ∙ cos ⁡ x =

= 5 ⋅ cotg ⁡ x cotg ⁡ x cos ⁡ x = 5 cos ⁡ x

y = 5 cos ⁡ x

Beeeeem melhor!

Passo 2

Lembrando que:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Aplicando a regra da derivada do cosseno, teremos:

d y d x = 5 - sen ⁡ x

d y d x = - 5 sen ⁡ x

Resposta

d y d x = - 5 sen ⁡ x

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