Derivadas de Funções Trigonométricas

Resumo Completo

Beleza, agora eu quero derivar

f x = sen x

Lascou-se, como nós fazemos? Esse treco não é um polinômio como vimos. Relaxa jovem, existe regra para seno e cosseno também.

sen x ' = cos x

cos x ' = - sen x

As demonstrações vamos deixar a cargo do leitor. Zoa, rs. Demonstrar isso dá um trabalho levemente muito grande, então vamos apenas saber o valor das derivadas mesmo.

Maluco, em trigonometria não tem só seno e cosseno, como fazemos as outras?

Existem 4 outras funções relevantes dentro dessas trigonométricas: a tangente, a secante, a cossecante e a cotangente. Suas derivadas vão ser

tg x ' = sec 2 x

sec x ' = tg x sec x

cotg x ' = - cossec 2 x

cossec x ' = - cossec x cotg x

Um detalhe importante, lembre-se de como elas todas se relacionam:

sec x = 1 cos x       ;     cossec x = 1 sen x       ;     cotg x = 1 tg x

E é sempre bom lembrar da relação fundamental:

sen 2 x + cos 2 x = 1

Maaaaaas, temos um macete para você gravar essas derivadas:

tg x sec x sec x cotg x - cossec x cossec x

Essa tabelinha é fácil de decorar, certo? A propósito, toma só o cuidado com o sinal de menos que aparece ali na cossecante do meio para não o esquecer.

A partir dessa pequena tabelinha você só precisa “andar” pro lado oposto àquele em que está a função que você quer derivar e colocar as funções que aparecem no seu caminho para fazer a derivada.

Exemplo: qual a derivada da tangente? A partir do tg x , eu ando pra direita. Tem uma secante no meio e outra na direita. Ficaria então com:

tg x ' = sec x sec x = sec x 2

E se eu te pedir a derivada da secante, basta andar para esquerda. Tem a secante no meio e a tangente na esquerda:

sec x ' = sec x tg x

A mesma coisa vale para cotangente e cossecante, basta andar para os lados (fica ligado no sinal de menos que tem na cossecante do meio da tabela). Da direita pra esquerda temos duas cossecantes e um menos, da esquerda para a direita temos uma cossecante e uma cotangente e um sinal de menos:

cotg x ' =   - cossec x 2           ;           cossec x ' = - cossec x cotg x

Só para te lembrar, aqui também podemos derivar mais de uma vez. Ou seja, a derivada segunda de f x = cos x vai ser

f ' x = - sen x

f ' ' x = - cos x

Vai exercitar agora!

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

y = 5 sen x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos uma função trigonométrica que está sendo multiplicada por uma constante, então vamos lembrar das respectivas fórmulas?

d k f x d x = k d f x d x

sen x ' = cos x

cos x ' = - sen x

Passo 2

Aplicando a regra da multiplicação por constante, teremos:

d y d x = 5 sen x ' = 5 sen x '

Aplicando a regra de derivada de seno, teremos:

= 5 cos x

Resposta

d y d x = 5 cos x

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Ache a derivada de:

f x = x 5 + tg x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Sem mistério, a derivada da soma é a soma das derivadas:

d f d x = d x 5 d x + d tg x d x

Passo 2

Da fórmula de derivada de polinômio:

d x n d x = n x n - 1

Temos que:

d x 5 d x = 5 x 4

Passo 3

E a derivada da tangente é:

d tg x d x = sec 2 x

Então a derivada da f vai dar

f ' x = 5 x 4 + sec 2 x

Resposta

f ' x = 5 x 4 + sec 2 x

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração Própria

Ache a derivada da função f tal que

f x = 3 e π sec x 7

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Apesar da função parecer meio estranha à primeira vista, ela apenas é a função sec x multiplicada pela constante 3 e π 7 , ou seja:

d f d x = 3 e π 7 d sec x d x

Passo 2

E se você estiver com as derivadas das funções trigonométricas em dia vai saber que:

d ( sec x ) d x = sec x tg x

Então vamos ter:

f ' x = 3 e π 7 sec x tg x

Resposta

f ' x = 3 e π 7 sec x tg x

Exercício Resolvido #4

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.185-9

Determine d y d x

y = 4 cos x + 1 tg x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Rearrumando, podemos nos lembrar que

sec x = 1 cos x         ;       cotg x = 1 tg x

Vamos aplicar isso no y :

y = 4 1 cos x + 1 tg x

= 4 sec x + cotg x

Passo 2

Derivamos agora:

f ' x = 4 sec x ' + cotg x '

= 4 tg x sec x + - cossec 2 x

Resposta

f ' x = 4 tg x sec x + - cossec 2 x

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

y = 5 cotg x tan x cos x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Opa! Agora que apareceu esse produto, vamos começar tentando reorganizar esse cara pra podemos aplicar a derivada.

Bem, de cara temos que:

tg x = 1 cotg x

Assim:

y = 5 cotg x tan x cos x = 5 cotg x cotg x cos x = 5 cos x

y = 5 cos x

Beeeeem melhor!

Passo 2

Lembrando que:

cos x ' = - sen x

Aplicando a regra da derivada do cosseno, teremos:

d y d x = 5 - sen x

d y d x = - 5 sen x

Resposta

d y d x = - 5 sen x

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