Derivadas Trigonométricas

Teoria Completa

Fala aí, e bem vindo ao RespondeAí, nessa página nós vamos te mostrar rapidinho algumas derivadas trigonométricas importantes para você durante seu curso de Cálculo na faculdade!

Antes deixa só eu te dizer que nosso site já tem preparado uma página com algumas tabelas das derivadas que você mais vai usar no seu dia a dia na faculdade, da uma olhada aqui: Tabela de Derivadas.

Falando especificamente de derivadas de funções trigonométricas, vamos sempre começar pelas as mais simples, as derivadas do seno e do cosseno:

$$\text{Se }f(x)=sen(x) \rightarrow f'(x)=cos(x)$$
$$\text{Se }f(x)=cos(x) \rightarrow f'(x)=-sen(x)$$

Esses resultados não precisam ser demonstrados, o importante é nunca esquecê-los, ou confundi-los, mas não podemos esquecer das outras funções trigonométricas também! Temos mais quatro que aparecem bastante em questões de provas, vamos falar da derivada da tangente:

$$\text{Se }f(x)=tg(x) \rightarrow f'(x)=sec^2(x)$$

Da derivada da secante:

$$\text{Se }f(x)=sec(x) \rightarrow f'(x)=tg(x)sec(x)$$

Da derivada da cotangente:

$$\text{Se }f(x)=cotg(x) \rightarrow f'(x)=-cosec^2(x)$$

E da derivada da cossecante:

$$\text{Se }f(x)=cosec(x) \rightarrow f'(x)=-cotg(x)cosec(x)$$

No nosso site você encontra uma maneira bem simples de como fazer para não esquecer essas derivadas, usando a seguinte tabelinha:

Para ver se realmente entendemos, vamos fazer um exercício!

Exercício

Veja nossa resolução Passo a Passo de um de nossos exercícios do tópico de Derivadas de Funções Trigonométricas:

Ache a derivada de:

$$f(x)=x^5+tg(x)$$

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

y = 5 sen ⁡ x

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Passo 1

Temos uma função trigonométrica que está sendo multiplicada por uma constante, então vamos lembrar das respectivas fórmulas?

d k f x d x = k d f x d x

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Passo 2

Aplicando a regra da multiplicação por constante, teremos:

d y d x = 5 sen ⁡ x ' = 5 sen ⁡ x '

Aplicando a regra de derivada de seno, teremos:

= 5 cos ⁡ x

Resposta

d y d x = 5 cos ⁡ x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Ache a derivada de:

f x = x 5 + tg ⁡ x

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Passo 1

Sem mistério, a derivada da soma é a soma das derivadas:

d f d x = d x 5 d x + d tg ⁡ x d x

Passo 2

Da fórmula de derivada de polinômio:

d x n d x = n x n - 1

Temos que:

d x 5 d x = 5 x 4

Passo 3

E a derivada da tangente é:

d tg ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x

Então a derivada da f vai dar

f ' x = 5 x 4 + sec 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = 5 x 4 + sec 2 ⁡ x

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Ache a derivada da função f tal que

f x = 3 e π sec ⁡ x 7

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Passo 1

Apesar da função parecer meio estranha à primeira vista, ela apenas é a função sec ⁡ x multiplicada pela constante 3 e π 7 , ou seja:

d f d x = 3 e π 7 ∙ d sec ⁡ x d x

Passo 2

E se você estiver com as derivadas das funções trigonométricas em dia vai saber que:

d ( sec ⁡ x ) d x = sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Então vamos ter:

f ' x = 3 e π 7 sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Resposta

f ' x = 3 e π 7 sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Exercício Resolvido #4

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.185-9

Determine d y d x

y = 4 cos ⁡ x + 1 tg ⁡ x

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Passo 1

Rearrumando, podemos nos lembrar que

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x         ;       cotg ⁡ x = 1 tg ⁡ x

Vamos aplicar isso no y :

y = 4 1 cos ⁡ x + 1 tg ⁡ x

= 4 sec ⁡ x + cotg ⁡ x

Passo 2

Derivamos agora:

f ' x = 4 sec ⁡ x ' + cotg ⁡ x '

= 4 tg ⁡ x sec ⁡ x + - cossec 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = 4 tg ⁡ x sec ⁡ x + - cossec 2 ⁡ x

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

y = 5 cotg ⁡ x tan ⁡ x cos ⁡ x

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Passo 1

Opa! Agora que apareceu esse produto, vamos começar tentando reorganizar esse cara pra podemos aplicar a derivada.

Bem, de cara temos que:

tg ⁡ x = 1 cotg ⁡ x

Assim:

y = 5 cotg ⁡ x tan ⁡ x cos ⁡ x = 5 cotg ⁡ x ∙ 1 cotg ⁡ x ∙ cos ⁡ x =

= 5 ⋅ cotg ⁡ x cotg ⁡ x cos ⁡ x = 5 cos ⁡ x

y = 5 cos ⁡ x

Beeeeem melhor!

Passo 2

Lembrando que:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Aplicando a regra da derivada do cosseno, teremos:

d y d x = 5 - sen ⁡ x

d y d x = - 5 sen ⁡ x

Resposta

d y d x = - 5 sen ⁡ x

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