Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Teoria Completa

As funções inversas trigonométricas são:

a r c s e n   x     ;   arccos ⁡ x     ;   arctg ⁡ x     ; …

Vamos calcular a derivada da função arco seno, que é a inversa do seno. Repare que podemos escrever:

x = sen ⁡ y

Então para resolver essa derivada vamos achar a derivada do seno

x = sen ⁡ ( y ) = f - 1 y

f ' x = 1 f - 1 ' y = 1 sen ⁡ y ' = 1 cos ⁡ y

Pera, mas ali tem um y . A nossa derivada precisa ter o x .

Calma, aqui temos que escrever aquele cosseno em função de x . Como?

Lembra que sen 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1 ?

Se eu trocar sen ⁡ y por x , vamos ter

x 2 + cos 2 ⁡ y = 1 ⟹ cos ⁡ y = 1 - x 2

Então:

f ' x = 1 cos ⁡ y = arcsen ⁡ x ' = 1 1 - x 2

E essa é a forma de achar sempre essas derivadas de inversas trigonométricas.

Agora é só gravar as derivadas de arcsen ⁡ x , arccos ⁡ x e arctg ⁡ x e as outras 3 (que são menos recorrentes, mas podem aparecer). Mas, lembre-se sempre que você pode chegar a elas através dessa análise da derivada inversa:

arcsen ⁡ x ' = 1 1 - x 2 ; arccos ⁡ x ' =   - 1 1 - x 2 ; arctg ⁡ x ' = 1 1 + x 2 ;

arccotg ⁡ x ' =   - 1 1 + x 2 ; arcsec ⁡ x ' =   1 | x | x 2 - 1 ; arccossec ⁡ x ' =   - 1 | x | x 2 - 1

Às vezes, você pode encontrar os arcos com índice - 1 :

  arctg ⁡ x → tg - 1 ⁡ x

É a mesma coisa. Só não os confunda com o inverso da função:

arctg ⁡ x = tg - 1 ⁡ x ≠ tg ⁡ x - 1 = 1 tg ⁡ x

Vai fazer exercício agora, Jovis!

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 1 - P1 Romulo 2014.2 – 3

a ) Calcule a derivada de f x = cotg ⁡ ( x ) .

b ) Use a informação da questão anterior para mostrar que D u arccotg ⁡ u = - 1 1 + u 2

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Passo 1

a ) Bom, essa é uma derivada conhecida. Ela vai ser

f ' x = - cossec 2 ⁡ ( x )

Passo 2

b ) Vamos pela derivada do inverso de uma função:

f - 1 u = 1 f ' x

Sabendo que se arccotg ⁡ u = x , então:

u = cotg ⁡ x

Escrevi como se u = f ( x ) e x = f - 1 ( u ) , ok? Bom, vamos escrever como ficaria a princípio:

arccotg ⁡ u ' = 1 cotg ⁡ x ' = 1 - cossec 2 ⁡ x

Passo 3

Certo, e pela definição que eu dei ali em cima tenho isso aqui:

u = f x = cotg ⁡ ( x )

Bom, nesse caso, como eu escrevo o - cossec 2 ⁡ x em função de u ? Eu faço em função da cotg ⁡ ( x ) , que é igual a u . Tem essa identidade trigonométrica aqui para ajudar:

cossec 2 ⁡ ( x ) = 1 + cotg 2 ⁡ ( x )

cossec 2 ⁡ ( x ) = 1 + u 2

Traz para a derivada então, um abraço:

arccotg ⁡ u ' = 1 - cossec 2 ⁡ x = - 1 1 + u 2

Provado!

Resposta

a)

f ' x = - cossec 2 ⁡ ( x )

Exercício Resolvido #2

UFF - Cálculo IA - P2 Javier 2013.2 – 4 a

Considere a função invertível f x = 1 + 2 arctg ⁡ x .

Calcule f - 1 ' 2

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Passo 1

Sabemos que

f - 1 ' 2 = 1 f ' y = 1 f ' f - 1 2

Então vamos precisar encontrar f ' x e f - 1 2 .

E quando teremos x = f - 1 ( 2 ) , ou seja, f x = 2 ?

2 = 1 + 2 arctg ⁡ x

1 = 2 arctg ⁡ x → 2 0 = 2 arctg ⁡ x

arctg ⁡ x = 0

x = 0

Logo, queremos:

f - 1 ' 2 = 1 f ' 0

Passo 2

Calculando f ' x

f ' x = 0 + 2 arctg ⁡ x × ln ⁡ 2 × arctg ⁡ x '

= 0 + 2 arctg ⁡ x ln ⁡ 2 1 1 + x 2

f ' x = ln ⁡ 2 2 arctan ⁡ x 1 + x 2

Passo 3

Aplicando a derivada da função inversa.

f - 1 ' 2 = 1 f ' f - 1 2 = 1 f ' 0 = 1 ln ⁡ 2 2 arctan ⁡ 0 1 + 0 2

f - 1 ' 2 = 1 ln ⁡ 2 2 0 1 + 0 = 1 ln ⁡ 2 1

Resposta

1 ln ⁡ 2

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Encontre a derivada da função abaixo:

f x = arcsen ⁡ ( cotg ⁡ ( 3 x ) )

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Passo 1

Certo, para chegar nessa derivada a gente vai ter que aplicar a Regra da Cadeia. Eu precisaria, então, derivar de fora pra dentro, como na definição, onde haveriam duas funções dadas por g x = arcsen ⁡ x e por h x = cotg ⁡ x . Ficaria, aplicando a Regra, assim:

g h x ' = g ' h x h ' ( x )

Ok, derivando a função de fora, g ( x ) = arcsen ⁡ x , ficaria assim:

f ' x = arcsen ⁡ ( cotg ⁡ ( 3 x ) ) ' = 1 1 - [ cotg ⁡ ( 3 x ) ] 2 ( cotg ⁡ 3 x ) '

Agora basta encontrar aquela última derivada ali

Passo 2

Beleza, precisamos pensar então na derivada de h x = cotg ⁡ 3 x . Concorda que, em se tratando de uma função i ( x ) = 3 x dentro de outra j x = cotg ⁡ x bastaria aplicar a Regra da Cadeia assim:

j i x ' = j ' i x i ' ( x )

Pois façamos isso, lembrando que a derivada da cotangente é – cossec 2 ⁡ x :

cotg ⁡ 3 x ' = – cossec 2 ⁡ 3 x 3 x '

= – 3 cossec 2 ⁡ 3 x

Passo 3

De volta à questão, basta que juntemos o que achamos no Passo 2 ao Passo 3:

f ' x = 1 1 - [ cotg ⁡ ( 3 x ) ] 2 cotg ⁡ 3 x '

= 1 1 - [ cotg ⁡ ( 3 x ) ] 2 – 3 cossec 2 ⁡ 3 x

Resposta

f ' x = – 3 cossec 2 ⁡ 3 x 1 - [ cotg ⁡ ( 3 x ) ] 2

Exercício Resolvido #4

UFF - Cálculo IA – GMA – 2008.2 – Lista 10 – 28

Verifique a igualdade

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

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Passo 1

Aqui, precisamos usar a Regra da cadeia com a função arco tangente e o quociente de dentro:

f x = arctg ⁡ x           ;           g x = x 1 + 1 - x 2

Onde queremos:

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = d d x f g x

= f ' g x g ' x

Passo 2

Derivando f :

f ' x = arctg ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Agora g :

g ' x = x 1 + 1 - x 2 ' = x ' 1 + 1 - x 2 - x 1 + 1 - x 2 ' 1 + 1 - x 2 2

= 1 1 + 1 - x 2 - x 0 + 1 - x 2 ' 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2

= 1 + 1 - x 2 - x - 2 x 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2 = 1 + 1 - x 2 + x 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2

= 1 - x 2 + 1 - x 2 + x 2 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2 = 1 - x 2 + 1 1 + 1 - x 2 2 1 - x 2

= 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

Passo 3

Reunindo o que achamos lá na Regra da Cadeia:

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = d d x f g x

= f ' g x g ' x = 1 1 + x 1 + 1 - x 2 2 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

= 1 1 + 1 - x 2 2 + x 2 1 + 1 - x 2 2 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

= 1 + 1 - x 2 2 1 + 1 - x 2 2 + x 2 1 1 - x 2 + 1 1 - x 2

= 1 - x 2 + 1 1 - 2 1 - x 2 + 1 - x 2 + x 2 1 1 - x 2

= 1 - x 2 + 1 2 + 2 1 - x 2 1 1 - x 2 = 1 - x 2 + 1 2 1 + 1 - x 2 1 1 - x 2

= 1 2 1 1 - x 2

De onde concluímos que:

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

Resposta

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

Exercício Resolvido #5

UFF - Cálculo IA - P2 Marlene 2013.2 – 2 b

Calcule o que se pede:

Seja F x = G arctan ⁡ x x - 1 , onde a função G é diferenciável. Calcule F ' 1 2 se conhecemos a informações: G ' 1 2 = - 4 ; G ' - π 4 = 2 ; G ' 3 π 4 = 4 .

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Passo 1

De novo é aplicar direto as regras que aprendemos na teoria. E lembre-se a derivada de G da coisa é G ' da coisa vezes a derivada da coisa. Nesse caso a coisa é arctan ⁡ o u t r a   c o i s a .

F ' x = G ' arctan ⁡ x x - 1 × arctan ⁡ x x - 1 '

Passo 2

A derivada da arcontangente precisar estar na cabeça. Se fizermos u = x x - 1

arctan ⁡ u ' = 1 1 + u 2 × u '

Passo 3

Derivando u em função de x .

u é um quociente, então não tem outro caminho vamos usar a regra do quociente para derivar ele.

u ' = x - 1 - x x - 1 2 = - 1 x - 1 2

Passo 4

Colocando todo mundo no lugar

F ' x = G ' arctan ⁡ x x - 1 × arctan ⁡ x x - 1 '

F ' x = G ' arctan ⁡ x x - 1 × 1 1 + x 2 x - 1 2 × - 1 x - 1 2

F ' x = - G ' arctan ⁡ x x - 1 × 1 x - 1 2 + x 2 x - 1 2 × 1 x - 1 2

F ' x = - G ' arctan ⁡ x x - 1 × x - 1 2 x - 1 2 + x 2 × 1 x - 1 2

F ' x = - G ' arctan ⁡ x x - 1 × 1 x - 1 2 + x 2

Passo 5

Aplicando no ponto

F ' 1 2 = - G ' arctan ⁡ 1 2 1 2 - 1 × 1 1 2 - 1 2 + 1 2 2

F ' 1 2 = - G ' arctan ⁡ 1 2 - 1 2 × 1 - 1 2 2 + 1 2 2 = - G ' arctan ⁡ - 1 × 1 1 4 + 1 4

Aqui vale a pena lembrar um pequeno detalhe da função arco tangente. Se olharmos aquele arco tangente que temos ali, é o mesmo que saber qual ângulo tem tangente igual a - 1 , podemos ter

x = arctan ⁡ - 1 → x = - π 4 x = 3 π 4

Mas qual dos dois valores vamos usar? Na verdade a definição de arco tangente nos diz que o arco tangente vai de - π / 2 até π / 2 , então aquele segundo valor, por mais que ele tenha tangente igual a - 1 ele não entra no domínio da função arcotangente. Então

F ' 1 2 = - G ' - π 4 × 1 1 2

F ' 1 2 = - 2 × 2

Resposta

F ' 1 2 = - 4

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