Existência, Unicidade e Solução por Inspeção

Teoria Completa

Cara antes de começarmos a falar qualquer coisa sobre solução de EDO precisamos garantir se essa solução existe. Se não existir vai ser igual caçar um unicórnio, nunca vamos conseguir. Outro ponto importante é saber se uma dada solução é única. Para garantirmos essas coisas existe um teorema muito importante.

Mas antes de enunciarmos o teorema, vamos definir uma coisa muito importante: a forma de escrever a EDO. Na hora de fazer exercícios vocês vão perceber que as equações podem vir em diversas formas. Para utilizar o teorema, temos que as escrever no formato especifico abaixo.

d y d x = f ( x , y )

O que o formato acima quer dizer pra gente é que temos que colocar a derivada de um lado da equação e jogar todo o resto pro outro e esse outro lado nós chamaremos de uma função f .

Vamos ao teorema agora

Teorema da Existencia e Unicidade

Garantir existência e unicidade significa garantir que a solução existe e ela é única. Para garantirmos isso existe um teorema que resumimos aqui nesse passo a passo

  1. Isolar a derivada na forma que te mostrei acima
  2. Identificar f ( x , y ) e calcular ∂ f / ∂ y
  3. Verificar onde as funções calculadas no passo 2 são contínuas
  4. Escolher um intervalo para x e outro para y onde as funções do passo 2 são contínuas e que contenham a condição inicial.

Se você conseguir fazer os 4 passos, parabéns a solução existe e é única!

Imagine que queremos determinar a existência e unicidade do problema abaixo:

d y d x + x = y 2 y 1 = 2

Como eu falei o passo 1 é isolar a derivada como aqui embaixo

d y d x = y 2 - x

Agora, vamos ao passo 2, identificando f ( x , y )

f x , y = y 2 - x

Calculando a derivada

∂ f ∂ y = 2 y

Aqui no passo 3, devemos achar intervalos onde essas funções são contínuas. Como são polinômios, essas funções são continuas para todos os reais.

O passo 4 diz que devemos escolher intervalos que contenham a condição inicial. Condição inicial é essa informação adicional que ele te deu no enunciado:

y 1 = 2

Agora precisamos de intervalos que contenham essa condição e que estejam dentro dos intervalos achados no passo 3. Vamos escolher então os seguintes intervalos

0 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 3

Veja que o valor do x inicial, 1, está contido no intervalo de x bem como o y inicial, 2, está contido no intervalo de y . Já que as funções são contínuas para todos os reais a gente poderia ter tomado qualquer intervalo em que a condição inicial estivesse dentro.

Como fomos capazes de fazer o passo a passo o teorema garante que existe uma única solução num intervalo que contem o valor de x inicial.

Só para deixar mais geral. Se tivermos o seguinte problema de valor inicial

d y d x = f ( x , y ) y x 0 = y 0

Devemos determinar intervalos α < x < β e δ < y < γ que contenha x 0 , y 0 . Se f ( x , y ) e ∂ f / ∂ y forem contínuas nesses intervalos a solução existe e é única num intervalo que contem x 0 .

OBS: Olha bem que o intervalo de x não precisa ser o mesmo do y . Além disso, o teorema garante que a solução existe e é única num intervalo que contem x 0 , não necessariamente o intervalo que a gente determinou no nosso passo 1.

Solução por Inspeção

Agora sabemos como garantir a existência de soluções! Então não vamos perder mais tempo e vamos resolver algumas EDO’s. A gente vai ver vários métodos para resolver EDO’s complicadonas, mas por hora vou relembrar umas propriedades de derivadas que vão te ajudar:

d d x e a x = a e a x

d d x s e n   b x = b cos ⁡ b x

d d x cos ⁡ b x = - b s e n   b x

d d x x n = n x n - 1

d d x C = 0 ,       C é uma constante

Tá pronto para resolver nossa primeira EDO? Então, lá vai

y ' = y

Pra resolver esse problema temos que achar alguma função que se comporte dessa maneira. A idéia é sempre usar alguma daquelas funções que conversamos antes. Do que eu te mostrei ali em cima qual função é bem parecida com sua derivada? A exponencial! Para a função ser idêntica a derivada basta que a = 1 . Portanto a solução é:

y = e x

Isso que fizemos, chama-se solução por inspeção. Batendo só mais um casinho pra fixar.

y ' ' = - y

Mexendo no nosso arsenal de funções, nós percebemos que a função seno vira menos seno depois de ser derivada duas vezes. Assim, a solução é:

y = s e n   x

Como vocês devem ter percebido, a função cosseno também funciona dessa forma. Será que é possível ter mais de uma solução pra uma EDO? Sim!

Uma EDO pode ter mais de uma solução sem nenhum problema. Podemos simplesmente pensar no primeiro caso de termos uma função do tipo

y = 5 e x

y ' = 5 e x

y ' = y

Logo não devemos nos assustar quando acharmos mais de uma solução para uma EDO, isso é perfeitamente comum.

Mantendo em mente as funções características seremos capazes de resolver qualquer problema de solução por inspeção que encontrarmos.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Verifique se existe solução e se ela é única para o seguinte problema

d y d x = 2 x ( 1 + y ) y 0 = 0

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Passo 1

Como já vimos a primeira coisa é escrever a equação isolando a derivada, ou seja, da seguite forma

d y d x = f ( x , y )

Por sorte, aqui ele já nos deu nesse formato.

Passo 2

Agora, devemos identificar f ( x , y ) . Por comparação a gente tem que

f x , y = 2 x ( 1 + y )

E a derivada com respeito a y é:

∂ f ∂ y = ∂ 2 x 1 + y ∂ y = 2 x

Passo 3

Nesse passo, devemos determinar onde as funções anteriores são contínuas.

Tanto f ( x , y ) como sua derivada com relação a y são polinômios, logo são contínuas em todos os reais.

Passo 4

Como as funções são contínuas para todos os reais, podemos escolher qualquer intervalo que contenha a condição inicial

x 0 = 0 ,   y 0 = 0

Só para ilustrar, podemos escolher

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

Portanto, existe solução e ela é única em algum intervalo que contenha x = 0 .

Resposta

Exercício Resolvido #2

Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp42-3

Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região

d y d x = x y

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Passo 1

Bom, já que ele falou de única solução, tá com cara que vamos usar o teorema da existência e unicidade. Então vamos lá.

Pra nossa função f ( x , y ) vamos seguir os passos:

  1. Isolar a derivada e chamar de f ( x , y ) .
  2. d y d x = f ( x , y ) = x y

  3. Identificar f ( x , y ) e calcular ∂ f / ∂ y .
  4. f ( x , y ) = x y

    ∂ f ∂ y = x 2 x y

  5. Verificar onde as funções do passo 2 são contínuas.
  6. A função f é contínua pra x y ≥ 0 e ∂ f ∂ y é contínua pra x y > 0 . Como queremos que as duas sejam contínuas, devemos ter x y > 0 .

  7. Escolher um intervalo para x e outro para y onde as funções do passo 2 são contínuas e que contenham a condição inicial.

Como a condição inicial que ele deu foi genérica, y x 0 = y 0 , vamos só pegar os intervalos em que as funções são contínuas.

Passo 2

Nós vimos que pra f ( x , y ) e sua derivada ∂ f ∂ y serem contínuas devemos ter:

x y > 0

Mas quando uma multiplicação de dois números é necessariamente maior que zero?

Quando:

x > 0   e   y > 0

Ou quando:

x < 0   e   y < 0

Passo 3

Bom, como conseguimos achar intervalos em que f ( x , y ) e ∂ f ∂ y são contínuas, e que contenham a condição inicial (genérica), o teorema da existência e unicidade diz que nossa equação possui solução e ela é única nas regiões:

x > 0   e   y > 0

x < 0   e   y < 0

Resposta

A EDO terá solução única nas duas regiões abaixo do plano x y :

x > 0   e   y > 0

x < 0   e   y < 0

Exercício Resolvido #3

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp43-11

Determine, por inspeção, pelo menos duas soluções para o problema de valor inicial dado.

y ' = 3 y 2 3   ,   y 0 = 0

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Passo 1

Pelo que o enunciado nos diz, ele quer que resolvamos essa EDO achando uma solução condizente mas sem utilizar um método de resolução. Vamos botar a mão na massa.

Passo 2

Vamos relembrar uns conhecimentos úteis de derivada. Nós já sabemos que a derivada de uma constante é zero, como ele quer que y 0 = 0 parece justo tentarmos a solução y = 0 . Vamos testar.

y ' = 0

3.0 2 3 = 0

Só alegria. Provamos que y = 0 é solução.

Passo 3

Vamos caçar outra solução agora. Fuçando nos nossos conhecimentos de derivada podemos lembrar que a derivada de uma função y = b x a é y ' = b a x a - 1 . Isso parece muito interessante pro nosso problema. Vamos testar.

y ' = 3 y 2 3

Substituindo y e y ' , temos:

b a x a - 1 = 3 b x a 2 3

b a x a - 1 = 3 b 2 3 x 2 a 3

O que nos permite tirar duas igualdades:

b a = 3 b 2 3 a - 1 = 2 a 3

Opa, a segunda só tem uma variável! Mamão com açúcar então, saca só:

3 a - 3 = 2 a

a = 3

Substituindo na primeira equação ficamos com:

3 b = 3 b 2 3

b = b 2 3

b = 1 0

Como b = 0 nos daria a solução y = 0 de novo, vamos considerar b = 1 , e logo, fechamos a questão com:

y = x 3

Vamos testar se a condição inicial está batendo.

y 0 = 0 3 = 0  

Achamos nossa segunda solução

Resposta

y = 0   ,     y = x 3  

Exercício Resolvido #4

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp43-12

Determine, por inspeção, duas soluções para o problema de valor inicial dado.

x d y d x = 2 y ,   y 0 = 0

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Passo 1

Pelo que o enunciado nos diz, ele quer que resolvamos essa EDO achando uma solução condizente mas sem utilizar um método de resolução. Vamos botar a mão na massa.

Passo 2

Vamos relembrar uns conhecimentos úteis de derivada. Nós já sabemos que a derivada de uma constante é zero, como ele quer que y 0 = 0 parece justo tentarmos a solução y = 0 . Vamos testar.

x d y d x = x . 0 = 0

2 y = 2.0 = 0

Só alegria. Provamos que y = 0 é solução.

Passo 3

Vamos caçar outra solução agora. Fuçando nos nossos conhecimentos de derivada podemos lembrar que a derivada de uma função:

y = b x a

É:

d y d x = b a x a - 1

Podemos perceber que se multiplicarmos   d y d x por x obteremos:

x d y d x =   b a x a

Que tem o mesmo grau de y . Vamos testar essa solução no nosso problema.

b a x a = 2 b x a

a = 2

Pelas nossas contas obtemos que a função y = b x 2 pra qualquer constante b é solução do nosso problema.

Como a questão pede só duas soluções, vamos usar y = x 2 .

Passo 4

Resumindo, o que você vai fazer?

Achar uma função que funcione do jeito que o enunciado deu, ou seja:

x y '   =   2 y

No caso uma função y   =   0 ou de segundo grau.

Observe que se você pegar uma função de primeiro grau por exemplo, y   =   a x , não vai funcionar:

y   =   a x

y '   =   a