Teoria Completa
Opa e aí, como vai seu semestre de Cálculo? Esta se esforçando para entender tudo que seu professor ta passando? Porque não contar com uma ajuda? Nós somos o RespondeAi e temos o produto certo para te ajudar a mandar bem na sua prova.
Equação Diferencial Ordinária
Para começar a falar de EDO primeiro precisamos relembrar alguns conceitos importantes...
Equação Diferencial:
A equação diferencial é uma equação que envolve funções e suas derivadas. Da uma olhada:
Aqui temos a variável $x$ e a derivada $y'$.
Esse exemplo pode também ser escrito como $y''-5y'+6y=0$, então estaríamos tratando de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, mas falaremos mais delas num tópico específico mais para frente.
Nesses casos chamamos $y$ de variável dependente e $x$ de variável independente.
EDO
As equações diferenciais ordinárias (EDO), são equações que envolvem uma função que depende de uma única variável.
Na prática a gente verifica se na equação existem derivadas relativas apenas a uma variável.
Vamos facilitar a compreensão através de alguns exemplos:
É uma equação diferencial ordinária pois envolve somente a derivada em relação a $x$.
Também é uma equação diferencial ordinária pois só tem derivadas em relação a $x$.
Apesar de haver duas variáveis dependentes diferentes, ambas estão sendo derivadas em relação a $x$. Portanto, é uma equação diferencial ordinária.
Opa!!! Essa daqui é diferente. Essa equação diferencial envolve tanto derivadas em relação a $x$ como derivadas em relação a $z$. Logo ela não é uma equação diferencial ordinária.
📢OBS: Esse tipo de equação diferencial chamamos de equação diferencial parcial. Temos tópicos dedicados apenas a essa parte da matéria e você pode encontrá-los em nosso site.
Além disso, você ainda vai aprender sobre a Ordem e Linearidade de uma Equação Diferencial, sobre EDO's de 1ª Ordem Homogênea e EDO's de 1ª Ordem Não Homogênea, e claro sobre o queridinho de todo professor, o famoso PVI, também conhecido como Problema do Valor Inicial, que SEMPRE aparece nas provas. Tudo aqui, no RespondeAi! Confere o conteúdo do nosso site, feito pelo nosso time de Experts, pensado especialmente para você.
Exercícios
No RespondeAi além de toda a teoria em texto e em vídeo, você encontra cada tópico acompanhado com uma sessão de exercícios, onde temos exercícios ordenados em ordem crescente de dificuldade e com resoluções em texto e em vídeo! Confere aqui um desses exercícios do tópico de EDO Separável:
Ache a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
No RespondeAi todas as soluções são dadas Passo a Passo para você não se perder no meio da resolução. No caso estaremos lidando com um EDO separável, e para resolvê-la precisaremos saber como integrar, e no nosso primeiro passo reescreveremos a maneira em que os termos estão escritos nessa EDO.
O lado direito dessa EDO pode ser reescrito com nossos conhecimentos de produto notável como:
Então temos que:
Passo 2
Agora que já temos, duas componentes separadas, cada um com sua respectiva variável, nós podemos manipular algebricamente essa equação e escrever:
Então aqui temos nossas duas expressões, do lado esquerdo e do lado direito, que precisamos integrar para chegar no resultado:
Passo 3
Fazendo as integrais:
Reescrevendo a EDO, e levando em conta que apenas precisamos representar uma das constantes:
Passo 4
No passo 3 já teríamos chegado a resposta, e você poderia pedir boa parte da questão para o seu professor, mas para ficar perfeito, temos que elevar ambos os lados a função exponencial e deixar o resultado na forma explícita em relação a $y$:
Que é o mesmo que:
Resposta
Exercício Resolvido #1
Sabe-se que é uma família de soluções para no intervalo . Encontre um membro dessa família satisfazendo as condições iniciais e .
Passo 1
Trata-se de um problema de valor inicial, pois temos informações do tipo:
Como o problema já afirma que é solução, não precisamos provar que é solução.
Portanto, vamos começar encontrando a primeira derivada de .
Passo 2
Agora, vamos utilizar as informações fornecidas no enunciado para encontrar o valor das constantes. Temos:
Além disso:
Das duas equações acima temos:
Logo:
Passo 3
Por fim, basta substituir os valor de e na equação:
Fica assim: