Introdução à Equações Diferenciais Ordinárias

Teoria Completa

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Equação Diferencial Ordinária

Para começar a falar de EDO primeiro precisamos relembrar alguns conceitos importantes...

Equação Diferencial:

A equação diferencial é uma equação que envolve funções e suas derivadas. Da uma olhada:

$$\frac{dy}{dx}=x$$

Aqui temos a variável $x$ e a derivada $y'$.

$$\frac{d^2y}{dx^2}-5\frac{dy}{dx}+6y=0$$

Esse exemplo pode também ser escrito como $y''-5y'+6y=0$, então estaríamos tratando de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, mas falaremos mais delas num tópico específico mais para frente.

Nesses casos chamamos $y$ de variável dependente e $x$ de variável independente.

EDO

As equações diferenciais ordinárias (EDO), são equações que envolvem uma função que depende de uma única variável.
Na prática a gente verifica se na equação existem derivadas relativas apenas a uma variável.

Vamos facilitar a compreensão através de alguns exemplos:

$$\text{Ex}_1:\frac{dy}{dx}=x$$

É uma equação diferencial ordinária pois envolve somente a derivada em relação a $x$.

$$\text{Ex}_2:\frac{d^2y}{dx^2}-5\frac{dy}{dx}+6y=0$$

Também é uma equação diferencial ordinária pois só tem derivadas em relação a $x$.

$$\text{Ex}_3:3\frac{du}{dx}+2\frac{dv}{dx}=x$$

Apesar de haver duas variáveis dependentes diferentes, ambas estão sendo derivadas em relação a $x$. Portanto, é uma equação diferencial ordinária.

$$\text{Ex}_4:\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial z}=0$$

Opa!!! Essa daqui é diferente. Essa equação diferencial envolve tanto derivadas em relação a $x$ como derivadas em relação a $z$. Logo ela não é uma equação diferencial ordinária.

📢OBS: Esse tipo de equação diferencial chamamos de equação diferencial parcial. Temos tópicos dedicados apenas a essa parte da matéria e você pode encontrá-los em nosso site.

Além disso, você ainda vai aprender sobre a Ordem e Linearidade de uma Equação Diferencial, sobre EDO's de 1ª Ordem Homogênea e EDO's de 1ª Ordem Não Homogênea, e claro sobre o queridinho de todo professor, o famoso PVI, também conhecido como Problema do Valor Inicial, que SEMPRE aparece nas provas. Tudo aqui, no RespondeAi! Confere o conteúdo do nosso site, feito pelo nosso time de Experts, pensado especialmente para você.

Exercícios

No RespondeAi além de toda a teoria em texto e em vídeo, você encontra cada tópico acompanhado com uma sessão de exercícios, onde temos exercícios ordenados em ordem crescente de dificuldade e com resoluções em texto e em vídeo! Confere aqui um desses exercícios do tópico de EDO Separável:

Ache a solução geral da equação diferencial:

$$\frac{dy}{dx}=xy+3x-y-3$$

Passo 1

No RespondeAi todas as soluções são dadas Passo a Passo para você não se perder no meio da resolução. No caso estaremos lidando com um EDO separável, e para resolvê-la precisaremos saber como integrar, e no nosso primeiro passo reescreveremos a maneira em que os termos estão escritos nessa EDO.

O lado direito dessa EDO pode ser reescrito com nossos conhecimentos de produto notável como:

$$xy+3x-y-3 = (y+3)(x-1)$$

Então temos que:

$$\frac{dy}{dx}=(y+3)(x-1)$$

Passo 2

Agora que já temos, duas componentes separadas, cada um com sua respectiva variável, nós podemos manipular algebricamente essa equação e escrever:

$$\frac{dy}{(y+3)}=(x-1)dx$$

Então aqui temos nossas duas expressões, do lado esquerdo e do lado direito, que precisamos integrar para chegar no resultado:

$$\frac{1}{y+3}\text{ }dy=x-1\text{ }dx$$

Passo 3

Fazendo as integrais:

$$\int x-1\text{ }dx = \frac{x^2}{2}-x + C$$
$$\int\frac{1}{y+3}\text{ }dy=ln(y+3) + C$$

Reescrevendo a EDO, e levando em conta que apenas precisamos representar uma das constantes:

$$ln(y+3)=\frac{x^2}{2}-x+C$$

Passo 4

No passo 3 já teríamos chegado a resposta, e você poderia pedir boa parte da questão para o seu professor, mas para ficar perfeito, temos que elevar ambos os lados a função exponencial e deixar o resultado na forma explícita em relação a $y$:

$$e^{ln(y+3)}=e^{\frac{x^2}{2}-x+C}$$

Que é o mesmo que:

$$y=e^{\frac{x^2}{2}-x+C}-3$$

Resposta

$$y=e^{\frac{x^2}{2}-x+C}-3 \text{, C é uma constante}$$

Expandir

Exercício Resolvido #1

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON education do brasil ltda., 2007, pp. 162 - 1

Sabe-se que y = c 1 e x + c 2 e - x é uma família de soluções para y " - y = 0 no intervalo ( - ∞ , + ∞ ) . Encontre um membro dessa família satisfazendo as condições iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Trata-se de um problema de valor inicial, pois temos informações do tipo:

y x 0 = y 0

y ' x 0 = y 1

Como o problema já afirma que y = c 1 e x + c 2 e - x é solução, não precisamos provar que y é solução.

Portanto, vamos começar encontrando a primeira derivada de y .

y = c 1 e x + c 2 e - x

y ' = c 1 e x - c 2 e - x

Passo 2

Agora, vamos utilizar as informações fornecidas no enunciado para encontrar o valor das constantes. Temos:

y 0 = 0

y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = 0

y 0 = c 1 + c 2 = 0

→ c 1 = - c 2

Além disso:

y ' ( 0 ) = 1

y ' 0 = c 1 e 0 - c 2 e 0 = 1

y ' 0 = c 1 - c 2 = 1

→ c 1 = 1 + c 2

Das duas equações acima temos:

- c 2 = 1 + c 2

c 2 = - 1 2

Logo:

c 1 = 1 2

Passo 3

Por fim, basta substituir os valor de c 1 e c 2 na equação:

y = c 1 e x + c 2 e - x

Fica assim:

y = 1 2 e x - 1 2 e - x

Resposta

y = 1 2 e x - 1 2 e - x

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