Introdução à EDO

Resumo Completo

Alguns Conceitos Importantes

Fala galera! Tudo bem ? Vamos começar discutindo os principais conceitos sobre Equações Diferenciais .

  • Equação Diferencial:
  • Primeiramente, vamos relembrar o que é uma equação diferencial. Equação diferencial nada mais é do que uma equação envolvendo derivadas . Sacou? Por exemplo:

    d y d x = x

    d 2 y d x 2 - 5 d y d x + 6 y = 0

    Chamamos y de variável dependente e x de variável independente.

  • Equação Diferencial Ordinária (EDO):
  • Uma EDO é uma equação diferencial que envolve uma função que depende de uma única variável. Ela se chama ordinária por causa disso e não por que cai na sua prova (isso também!)

    Na prática, a gente olha se tem derivadas com relação a apenas uma variável. Calma que eu vou mostrar alguns exemplos para ficar bem claro 😉

    d y d x = x

    É uma equação diferencial ordinária pois envolve somente a derivada em relação a x

    d 2 y d x 2 - 5 d y d x + 6 y = 0

    Também é uma equação diferencial ordinária pois só tem derivadas em relação a x .

    3 d u d x + 2 d v d x = x

    Apesar de haver duas variáveis dependentes diferentes, ambas estão sendo derivadas em relação a x . Portanto, é uma equação diferencial ordinária.

    y x + y z = 0

    Opa!!! Essa daqui é diferente. Essa equação diferencial envolve tanto derivadas em relação a x como derivadas em relação a z . Logo ela não é uma equação diferencial ordinária.

    Observação: Esse tipo de equação diferencial chamamos de equação diferencial parcial.

    Ordem e Linearidade de uma equação diferencial

  • Ordem de uma equação diferencial:
  • A ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada de maior ordem. Não entendeu? Vou explicar melhor com os exemplos.

    d y d x = x

    Essa é uma equação diferencial ordinária de ordem 1 ou de 1ª ordem, pois a derivada de maior ordem tem ordem 1.

    d 2 y d x 2 - 5 d y d x + 6 y = 0

    Essa é uma equação diferencial ordinária de ordem 2 ou de 2ª ordem, pois a derivada de maior ordem d 2 y d x 2 tem ordem 2.

    d 7 y d x 7 - d 5 y d x 5 = 5

    Essa é uma equação diferencial ordinária de ordem 7 ou de 7ª ordem, pois a derivada de maior ordem d 7 y d x 7 tem ordem 7.

    Agora ficou mais claro, né?

  • Equação diferencial linear:
  • Vamos ver alguns exemplos de equações diferenciais lineares:

    x 5 d 5 y d x 5 + x 3 d 3 y d x 3 + y = 0

    x d 3 y d x 3 + x 3 y = x

    x 2 d 6 y d x 6 + x d 2 y d x 2 = 30

    Observamos duas coisas em comum nessas equações diferenciais:

  1. Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não estão elevados ao quadrado, ao cubo ou a qualquer outro expoente diferente de 1. Ou seja, não temos coisas do tipo d 3 y d x 3 4 ou do tipo y 2 .
  2. Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de y e o próprio y dependem apenas de x . Portanto, não temos equações do tipo:

y d 2 y d x 2 + d y d x = 0

Generalizando:

  1. Uma equação diferencial é dita linear se a variável dependente ( y no caso) e as suas derivadas que aparecem na equação estão elevadas ao expoente 1.
  2. Os coeficientes que multiplicam a variável dependente ( y no caso) e multiplicam as suas derivadas dependem apenas da variável independente (no caso x ).

Observação: Caso ela não cumpra esses requisitos, a equação diferencial é dita não-linear.

EDO de 1ª Ordem Homogênea e Não Homogênea

As EDO’s de 1ª ordem tem a seguinte forma geral:

q x d y d x + r x y = g ( x )

Ou ainda:

q ( x ) y ' + r ( x ) y = g ( x )

Onde q , r   e g são funções de x e além disso q ( x ) 0

São exemplos de EDO’s de 1ª ordem:

- 6 x d y d x + 4 y = 0

- 2 x 3 d y d x + y = 10 x

  • Homogênea:
  • EDO’s de 1ª ordem são ditas homogêneas quando g x = 0 . Exemplo:

    - 6 x d y d x + 4 y = 0

  • Não Homogênea:
  • EDO’s de 1ª ordem são ditas não homogêneas quando g ( x ) 0 . Por exemplo:

    2 x 3 d y d x + y = 10 x

    Deu pra entender direitinho??? 😉

    Solução de uma equação diferencial

    Considere a seguinte equação diferencial:

    y ' - y = e x

    Imagine que eu preciso verificar se y = x e x , é uma solução dessa EDO. Como eu faço para verificar isso???

    Primeiramente, vamos calcular as derivadas de y .

    y = x e x

    y ' = e x + x e x

    Se y realmente for uma solução da EDO, então ao substituir y e y ' na EDO a equação será satisfeita. Portanto, temos:

    y ' - y = e x e x + x e x - x e x = e x

    e x + x e x - x e x = e x

    e x = e x

    O que é verdade!

    Como a equação foi satisfeita, y = x e x é realmente uma solução daquela EDO.

    Generalizando, se y = f ( x ) é solução de uma EDO, ao substituirmos y   e suas derivadas a equação diferencial deve ser satisfeita.

    Problema de Valor Inicial (PVI)

    Considere o seguinte problema:

    y ' - 6 y = 0

    Além disso, o problema informa ainda que y 0 = 3 e afirma que a solução geral dessa EDO é y = C e 6 x e te pede o valor da constante C .

    Como faz??? É só usar a condição que ele deu!

    y 0 = 3

    Como a gente sabe quem é a nossa função basta substituir x = 0 no nosso y

    y x = C e 6 x y 0 = C e 0 = C

    Como y 0 = 3 , temos

    C = 3

    Assim a nossa solução fica

    y ( x ) = 3 e 6 x

    Expandir

    Exercício Resolvido #1

    Enunciado

    Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON education do brasil ltda., 2007, pp. 162 - 1

    Sabe-se que y = c 1 e x + c 2 e - x é uma família de soluções para y " - y = 0 no intervalo ( - , + ) . Encontre um membro dessa família satisfazendo as condições iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 .

    MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

    Passo 1

    Trata-se de um problema de valor inicial, pois temos informações do tipo:

    y x 0 = y 0

    y ' x 0 = y 1

    Como o problema já afirma que y = c 1 e x + c 2 e - x é solução, não precisamos provar que y é solução.

    Portanto, vamos começar encontrando a primeira derivada de y .

    y = c 1 e x + c 2 e - x

    y ' = c 1 e x - c 2 e - x

    Passo 2

    Agora, vamos utilizar as informações fornecidas no enunciado para encontrar o valor das constantes. Temos:

    y 0 = 0

    y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = 0

    y 0 = c 1 + c 2 = 0

    c 1 = - c 2

    Além disso:

    y ' ( 0 ) = 1

    y ' 0 = c 1 e 0 - c 2 e 0 = 1

    y ' 0 = c 1 - c 2 = 1

    c 1 = 1 + c 2

    Das duas equações acima temos:

    - c 2 = 1 + c 2

    c 2 = - 1 2

    Logo:

    c 1 = 1 2

    Passo 3

    Por fim, basta substituir os valor de c 1 e c 2 na equação:

    y = c 1 e x + c 2 e - x

    Fica assim:

    y = 1 2 e x - 1 2 e - x

    Resposta

    y = 1 2 e x - 1 2 e - x

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