Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

Teoria Completa

Vimos como o teste da derivada segunda permite classificar pontos críticos de uma função de 2 variáveis. Calculamos um determinante, o hessiano, e dependendo do sinal dele determinamos se o ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela.

Então beleza, agora classifica os pontos críticos dessa função

f x , y = x 2 + y 4

Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, vemos que o único ponto crítico é o ponto 0 ,   0 .

Assim, o hessiano no ponto 0 ,   0 vai ser:

H 0 ,   0 = f x x 0 ,   0 f x y 0 ,   0 f y x 0 ,   0 f y y 0 ,   0 = 2 0 0 12 y 2

H 0 ,   0 = 2 0 0 0 = 2 ( 0 ) - 0 0 = 0

Sua história de vida depois dessa:

Mas relaaxa, você vai passar sim. Vou te ajudar a escrever um novo fim pra essa história! ;)

Basicamente temos duas técnicas pra classificar pontos críticos quando o teste da derivada segunda falha!

  1. Analisar sinal da função
  2. Geralmente nessas questões, o ponto crítico onde o teste da derivada segunda falha é a origem, e temos f 0 ,   0 = 0 .

    Portanto, a nossa missão é tentar ter uma noção do gráfico de f para situar o ponto 0 ,   0 , determinando se ele corresponde a um máximo, mínimo ou ponto de sela.

    Assim, precisamos estudar o sinal da função! Identificar termos que são sempre positivos, ou sempre negativos, pode ajudar muito.

    No nosso exemplo, observe que o ponto crítico é, de fato, a origem e f 0,0 = 0 .

    Agora, temos que parar pra olhar a função, e mais precisamente seu sinal:

    f x , y = x 2 + y 4

    Temos que x 2 0 e y 4 0 , certo? Ótimo! Então

    f x , y 0

    E justamente o valor da função em 0 ,   0 é 0 , portanto

    f x ,   y f 0 ,   0 ,

    pra qualquer x ,   y .

    E isso define que a origem é o ponto de mínimo global de f ! Viu? Sem muito trabalho deu pra classificar o ponto crítico ;)

  3. Aproximação por diferentes caminhos

Agora vamos ver uma outra técnica: a de se aproximar por diferentes caminhos.

Se nos aproximamos de um ponto crítico por um caminho e ele for um ponto de máximo, e por outro caminho um ponto de mínimo, então ele não é nenhum dos dois! E o que ele vai ser? Ponto de sela!!

Vamos ver um exemplo bem parecido com o anterior:

f x , y = x 2 - y 4

Não vou refazer as contas todas porque elas são muito parecidas e eu não quero perder o seu tempo, então acredite em mim quando eu te digo que pra essa função o ponto 0 ,   0 também é um ponto crítico onde o teste da derivada segunda falha! ;)

E da mesma forma temos f 0 ,   0 = 0 . O problema é que agora não podemos falar nada do sinal da função, porque ela é a soma de um termo positivo com um termo negativo.

É agora que começamos nossa aproximação por diferentes caminhos! Por exemplo, podemos fazer x = 0 . Aí a função passa a depender só de y :

f 0 , y = f y = - y 4

O gráfico dessa função é uma parábola voltada para baixo, com vértice na origem. Portanto, nesse caso a origem é um ponto de máximo.

Agora vamos fazer y = 0 :

f x , 0 = f x = x 2

E isso é uma parábola voltada pra cima, onde a origem é um ponto de mínimo! Era exatamente o que a gente queria!

Isso significa que a origem é na verdade um ponto de sela.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Cálculo 2 UFRJ, P2 2015.1, questão 8

Seja f x , y = x 4 + y 10 . Então ( 0,0 ) :

(a) é ponto crítico e ponto de sela;

(b) é ponto crítico e ponto de mínimo local;

(c) não é ponto crítico

(d) é ponto crítico e ponto de máximo local;

(e) nenhuma das anteriores;

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar determinando se o ponto ( 0,0 ) é um ponto crítico:

f x x , y = 4 x 3   f x 0,0 = 0

f y x , y = 10 y 9   f y 0,0 = 0

Então o ponto ( 0,0 ) é um ponto crítico, já podemos eliminar a alternativa (c).

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas segundas:

f x x x , y = 12 x 2 f x x 0,0 = 0

f y y x , y = 90 y 8 f y y 0,0 = 0

f x y x , y = f y x x , y = 0   f x y 0,0 = f y x 0,0 = 0

Pronto! Agora podemos aplicar o teste da derivada segunda:

H 0,0 = f x x 0,0 f x y 0,0 f y x 0,0 f y y 0,0 = 0 0 0 0 = 0

Vish! Deu zero! Então vamos parar pra olhar a função com calma.

Passo 3

Temos a soma de x e y , ambos elevados a potências pares. E a gente sabe que

x n 0     ;   n   p a r

Também podemos dizer x 4 + y 10 = x 2 2 + ( y 5 ) ² , logo x 4 0 e y 10 0 .

De qualquer forma, chegamos à conclusão que o ponto ( 0,0 ) é ponto de mínimo global de f . Mas como todo ponto de mínimo global é também ponto de mínimo local (o contrário é falso), a alternativa (b) é a certa.

Resposta

Alternativa (b)

Exercício Resolvido #2

Cálculo 2 UFRJ, PF 2015.1, questão 1

Seja f x , y = x 4 - y 4 . Então ( 0,0 ) :

(a) nenhuma das outras alternativas

(b) é ponto crítico e ponto de sela.

(c) é ponto crítico e ponto de mínimo local.

(d) é ponto crítico e ponto de máximo local.

(e) não é ponto crítico.

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Passo 1

Vamos começar testando se ( 0,0 ) é um ponto crítico, que tal?

f x , y = x 4 - y 4

    f x x , y = 4 x 3   f x 0,0 = 0  

  f y x , y = - 4 y 3     f y 0,0 = 0

As derivadas parciais em ( 0,0 ) dão zero, então ( 0,0 ) é um ponto crítico! Já dá até pra eliminar a alternativa (e).

Passo 2

Vamos tentar classificar o ponto com o teste da derivada segunda. Então vamos calcular as derivadas de segunda ordem!

f x x x , y = 4.3 . x 2 = 12 x 2

f y y x , y = - 4.3 . y 2 = - 12 y 2

f x y x , y = f y x x , y = 0

Passo 3

Vamos ao teste da derivada segunda: no ponto ( 0,0 ) temos

f x x 0,0 = 12.0 = 0

f y y 0,0 = - 12.0 = 0

f x y 0,0 = f y x 0,0 = 0

Vish, já dá pra ver que tem algo estranho. O determinante vai ser

H 0,0 = 0 0 0 0 = 0

Pois é, o determinante deu 0 , que é justamente o caso que a gente não sabe classificar o ponto crítico!

Passo 4

Essa é hora que você tem que parar pra analisar a função friamente:

f x , y = x 4 - y 4

Vamos tentar visualizar a superfície que é o gráfico dessa função.

Estamos interessados no ponto ( 0,0 ) , e esse ponto faz parte do plano y = 0 , certo? No plano y = 0   temos

f x , y = f x = x 4

e isso a gente sabe que é uma parábola voltada pra cima. Então nesse plano o ponto ( 0,0 ) é um ponto de mínimo:

E se olharmos no plano x = 0 temos

f x , y = f y = - y 4

que é uma parábola voltada pra baixo, então esse plano o ponto ( 0,0 ) é um ponto de máximo!

Então não tem como o ponto ( 0,0 ) ser um ponto de máximo ou mínimo da função, ele é um ponto de sela!

Observação: Essa função parece muito com a equação do paraboloide hiperbólico, vulga “sela”:

z = x 2 a 2 - y 2 b 2

Olha como é que é o gráfico da função:

Resposta

Alternativa (b)

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, p.358 (modificado)

O discriminante f x x f y y - f x y 2 é zero na origem pra cada uma das funções a seguir, de modo que o teste da derivada segunda falha. Determine se a função tem um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois na origem, imaginando como é a superfície z = f x , y . Descreva seu raciocínio em cada caso.

a) f x , y = x 2 y 2

b) f x , y = x 3 y 3

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Passo 1

a)

Essa é tranquila! Temos que

f 0 ,   0 = 0

E podemos perceber que

f x , y = x 2 y 2 = x y 2 0

Ou seja, 0 é o valor mínimo que a função pode assumir. Portanto, a origem é um ponto de mínimo, inclusive de mínimo global.

Passo 2

b)

Agora complicou um pouco! Dessa vez temos

f x , y = x 3 y 3 = x y 3

Não podemos afirmar nada do sinal da função tão facilmente quanto fizemos pra função anterior.

Passo 3

Agora vamos ter que dividir nosso estudo da função em vários casos.

A ideia vai ser tentar mostrar que num deles a origem seria um ponto de máximo, e em outro ela seria um ponto de mínimo. Se isso acontecer, poderemos concluir que ela não é nem um nem outro.

Comecemos pelo caso mais simples, em que consideramos x 0 e y 0 . Pense que a gente está se aproximando da origem pelo 1º quadrante.

Assim temos x 3 0 e y 3 0 . Agora ficou bem parecido com a letra (a) né?

f x , y = x 3 y 3 0

Então nesse caso a origem seria um ponto de mínimo.

Passo 4

Agora vamos tentar achar uma abordagem da função pra qual a origem seria um ponto de máximo, beleza? O macete é a gente pensar ao contrário! Queremos:

f x , y 0

x 3 y 3 0

Portanto, x 3 e y 3 devem ter sinais opostos, por exemplo x 3 0 e y 3 0 . Assim, x 0 e y 0 . Então agora estamos nos aproximando da origem pelo 2º quadrante. E verificamos que nesse caso temos f x , y 0 .

Então nesse caso a origem seria um ponto de máximo. Sendo que vimos um outro caso em que ela seria um ponto de mínimo.

Portanto, podemos concluir que ela não é nem máximo e nem mínimo!

Passo 5

Um passinho bônus só pra mostrar o mapa de contorno da função:

Repare como o 1º e o 3º quadrantes têm uma cor mais clara do que o 2º e o 4º, perto da origem, e como a mudança de cor é brusca.

Resposta

a) mínimo

b) nem máximo nem mínimo

Exercício Resolvido #4

Cálculo 2 UFRJ, P2 2010.2, questão 2 (modificada)

Seja f x , y = a x 2 + 3 x y + y 2 , onde a 9 / 4 .

  1. Determine o ponto crítico de f
  2. Determine, se possível, os valores de a , de modo que o ponto crítico seja:
    1. Ponto de máximo local
    2. Ponto de mínimo local
    3. Ponto de sela
  3. Se a = 9 / 4 , o que se pode dizer sobre o ponto crítico de f encontrado em 1.?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calcular gradiente:

f x , y = f x , f y

f x , y = 2 a x + 3 y ,   3 x + 2 y

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

f = 0

2 a x + 3 y ,   3 x + 2 y = 0,0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

2 a x + 3 y = 0   3 x + 2 y = 0

Pela segunda equação:

3 x + 2 y = 0

y = - 3 2 x

Substituindo na primeira equação:

2 a x + 3 y = 0

2 a x + 3 - 3 2 x = 0

2 a x - 9 2 x = 0

2 a - 9 2 x = 0

Então temos duas possibilidades:

2 a - 9 2 = 0 ou x = 0

Primeira possibilidade:

2 a - 9 2 = 0

a = 9 4

Mas como o enunciado diz que a 9 4 então essa solução não vale.

Logo:

x = 0

Pela segunda equação novamente:

y = - 3 2 x

y = 0

Então o único ponto crítico é 0,0 .

Passo 4

Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:

P 0 = 0,0

Calculando derivadas segundas:

f x x = x f x = x 2 a x + 3 y = 2 a

f y y = y f y = y 3 x + 2 y = 2

f x y = x f y = x 3 x + 2 y = 3

Passo 5

Calculando essas derivadas no ponto P 0 = 0,0 :

f x x P 0 = 2 a

f y y P 0 = 2

f x y P 0 = 3

Passo 6

Calculando H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

H P 0 = 2 a 3 3 2

H P 0 = 2 a 2 - 3 3

H P 0 = 4 a - 9

Passo 7

Para que P 0 seja ponto de máximo, tem que satisfazer duas condições:

H P 0 > 0   f x x P 0 < 0

Substituindo H P 0 e f x x P 0 :

4 a - 9 > 0   2 a < 0

Logo:

a > 9 4   a < 0

Então não existe nenhuma valor de a que satisfaça essas duas desigualdades simultaneamente.

Logo, não existe valor de a para que P 0 seja ponto de máximo local.

Passo 8

Para que P 0 seja ponto de mínimo, tem que satisfazer duas condições:

H P 0 > 0   f x x P 0 > 0

Substituindo H P 0 e f x x P 0 :

4 a - 9 > 0   2 a > 0

Logo:

a > 9 4   a > 0

Ou seja:

a > 9 4

Logo, a > 9 4 para que P 0 seja ponto de mínimo local.

Passo 9

Para que P 0 seja ponto de sela, tem que satisfazer:

H P 0 < 0

4 a - 9 < 0

a < 9 4

Logo, a < 9 4 para que P 0 seja ponto de sela.

Passo 10

Se a = 9 4 :

H P 0 = 4 a - 9

H P 0 = 4 9 4 - 9

H P 0 = 0

Opa! Como H P 0 = 0 , então o teste da derivada segunda falhou!

Passo 11

Neste caso, temos que parar pra olhar a função:

f x , y = a x 2 + 3 x y + y 2

f x , y = 9 4 x 2 + 3 x y + y 2

Isso não te lembra um produto notável? Tá com mó pinta de

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

Então vamos igualar a função a esse produto notável!

Passo 12

Igualando o primeiro e último termos:

a 2 = 9 4 x 2 a = 3 2 x

b 2 = y 2 b = y

Pelo segundo termo:

2 a b = 2 3 2 x y = 3 x y

Logo:

9 4 x 2 + 3 x y + y 2 = 3 2 x + y 2

Então

f x , y = 3 2 x + y 2 0

Passo 13

Substituindo P 0 = 0,0 :

f P 0 = 3 2 0 + 0 2 = 0

Como f x , y 0 , então f P 0 = 0 corresponde a um ponto de mínimo (global inclusive).

Resposta

Ponto crítico: 0,0

Ponto crítico é máximo local: não existe para nenhum valor de a

Ponto crítico é mínimo local: a > 9 / 4

Ponto crítico é ponto de sela: a < 9 / 4

Se a = 9 / 4 , o ponto crítico é um ponto de mínimo.

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