Teoria Completa
Vimos como o teste da derivada segunda permite classificar pontos críticos de uma função de 2 variáveis. Calculamos um determinante, o hessiano, e dependendo do sinal dele determinamos se o ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela.
Então beleza, agora classifica os pontos críticos dessa função
Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, vemos que o único ponto crítico é o ponto .
Assim, o hessiano no ponto vai ser:
Sua história de vida depois dessa:
Mas relaaxa, você vai passar sim. Vou te ajudar a escrever um novo fim pra essa história! ;)
Basicamente temos duas técnicas pra classificar pontos críticos quando o teste da derivada segunda falha!
- Analisar sinal da função
- Aproximação por diferentes caminhos
Geralmente nessas questões, o ponto crítico onde o teste da derivada segunda falha é a origem, e temos .
Portanto, a nossa missão é tentar ter uma noção do gráfico de para situar o ponto , determinando se ele corresponde a um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Assim, precisamos estudar o sinal da função! Identificar termos que são sempre positivos, ou sempre negativos, pode ajudar muito.
No nosso exemplo, observe que o ponto crítico é, de fato, a origem e .
Agora, temos que parar pra olhar a função, e mais precisamente seu sinal:
Temos que e , certo? Ótimo! Então
E justamente o valor da função em é , portanto
pra qualquer .
E isso define que a origem é o ponto de mínimo global de ! Viu? Sem muito trabalho deu pra classificar o ponto crítico ;)
Agora vamos ver uma outra técnica: a de se aproximar por diferentes caminhos.
Se nos aproximamos de um ponto crítico por um caminho e ele for um ponto de máximo, e por outro caminho um ponto de mínimo, então ele não é nenhum dos dois! E o que ele vai ser? Ponto de sela!!
Vamos ver um exemplo bem parecido com o anterior:
Não vou refazer as contas todas porque elas são muito parecidas e eu não quero perder o seu tempo, então acredite em mim quando eu te digo que pra essa função o ponto também é um ponto crítico onde o teste da derivada segunda falha! ;)
E da mesma forma temos . O problema é que agora não podemos falar nada do sinal da função, porque ela é a soma de um termo positivo com um termo negativo.
É agora que começamos nossa aproximação por diferentes caminhos! Por exemplo, podemos fazer . Aí a função passa a depender só de :
O gráfico dessa função é uma parábola voltada para baixo, com vértice na origem. Portanto, nesse caso a origem é um ponto de máximo.
Agora vamos fazer :
E isso é uma parábola voltada pra cima, onde a origem é um ponto de mínimo! Era exatamente o que a gente queria!
Isso significa que a origem é na verdade um ponto de sela.
Exercício Resolvido #1
Seja . Então :
(a) é ponto crítico e ponto de sela;
(b) é ponto crítico e ponto de mínimo local;
(c) não é ponto crítico
(d) é ponto crítico e ponto de máximo local;
(e) nenhuma das anteriores;
Passo 1
Vamos começar determinando se o ponto é um ponto crítico:
Então o ponto é um ponto crítico, já podemos eliminar a alternativa (c).
Passo 2
Agora vamos calcular as derivadas segundas:
Pronto! Agora podemos aplicar o teste da derivada segunda:
Vish! Deu zero! Então vamos parar pra olhar a função com calma.
Passo 3
Temos a soma de e , ambos elevados a potências pares. E a gente sabe que
Também podemos dizer , logo e .
De qualquer forma, chegamos à conclusão que o ponto é ponto de mínimo global de . Mas como todo ponto de mínimo global é também ponto de mínimo local (o contrário é falso), a alternativa (b) é a certa.
Resposta
Alternativa (b)
Exercício Resolvido #2
Seja . Então :
(a) nenhuma das outras alternativas
(b) é ponto crítico e ponto de sela.
(c) é ponto crítico e ponto de mínimo local.
(d) é ponto crítico e ponto de máximo local.
(e) não é ponto crítico.
Passo 1
Vamos começar testando se é um ponto crítico, que tal?
As derivadas parciais em dão zero, então é um ponto crítico! Já dá até pra eliminar a alternativa (e).
Passo 2
Vamos tentar classificar o ponto com o teste da derivada segunda. Então vamos calcular as derivadas de segunda ordem!
Passo 3
Vamos ao teste da derivada segunda: no ponto temos
Vish, já dá pra ver que tem algo estranho. O determinante vai ser
Pois é, o determinante deu , que é justamente o caso que a gente não sabe classificar o ponto crítico!
Passo 4
Essa é hora que você tem que parar pra analisar a função friamente:
Vamos tentar visualizar a superfície que é o gráfico dessa função.
Estamos interessados no ponto , e esse ponto faz parte do plano , certo? No plano temos
e isso a gente sabe que é uma parábola voltada pra cima. Então nesse plano o ponto é um ponto de mínimo:
E se olharmos no plano temos
que é uma parábola voltada pra baixo, então esse plano o ponto é um ponto de máximo!
Então não tem como o ponto ser um ponto de máximo ou mínimo da função, ele é um ponto de sela!
Observação: Essa função parece muito com a equação do paraboloide hiperbólico, vulga “sela”:
Olha como é que é o gráfico da função:
Resposta
Alternativa (b)
Exercício Resolvido #3
O discriminante é zero na origem pra cada uma das funções a seguir, de modo que o teste da derivada segunda falha. Determine se a função tem um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois na origem, imaginando como é a superfície . Descreva seu raciocínio em cada caso.
a)
b)
Passo 1
a)
Essa é tranquila! Temos que
E podemos perceber que
Ou seja, é o valor mínimo que a função pode assumir. Portanto, a origem é um ponto de mínimo, inclusive de mínimo global.
Passo 2
b)
Agora complicou um pouco! Dessa vez temos
Não podemos afirmar nada do sinal da função tão facilmente quanto fizemos pra função anterior.
Passo 3
Agora vamos ter que dividir nosso estudo da função em vários casos.
A ideia vai ser tentar mostrar que num deles a origem seria um ponto de máximo, e em outro ela seria um ponto de mínimo. Se isso acontecer, poderemos concluir que ela não é nem um nem outro.
Comecemos pelo caso mais simples, em que consideramos e . Pense que a gente está se aproximando da origem pelo 1º quadrante.
Assim temos e . Agora ficou bem parecido com a letra (a) né?
Então nesse caso a origem seria um ponto de mínimo.
Passo 4
Agora vamos tentar achar uma abordagem da função pra qual a origem seria um ponto de máximo, beleza? O macete é a gente pensar ao contrário! Queremos:
Portanto, e devem ter sinais opostos, por exemplo e . Assim, e . Então agora estamos nos aproximando da origem pelo 2º quadrante. E verificamos que nesse caso temos .
Então nesse caso a origem seria um ponto de máximo. Sendo que vimos um outro caso em que ela seria um ponto de mínimo.
Portanto, podemos concluir que ela não é nem máximo e nem mínimo!
Passo 5
Um passinho bônus só pra mostrar o mapa de contorno da função:
Repare como o 1º e o 3º quadrantes têm uma cor mais clara do que o 2º e o 4º, perto da origem, e como a mudança de cor é brusca.
Resposta
a) mínimo
b) nem máximo nem mínimo
Exercício Resolvido #4
Seja , onde .
- Determine o ponto crítico de
- Determine, se possível, os valores de , de modo que o ponto crítico seja:
- Ponto de máximo local
- Ponto de mínimo local
- Ponto de sela
- Se , o que se pode dizer sobre o ponto crítico de encontrado em 1.?
Passo 1
Calcular gradiente:
Passo 2
Encontrar pontos críticos:
Passo 3
Igualando as coordenadas:
Pela segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então temos duas possibilidades:
ou
Primeira possibilidade:
Mas como o enunciado diz que então essa solução não vale.
Logo:
Pela segunda equação novamente:
Então o único ponto crítico é .
Passo 4
Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:
Calculando derivadas segundas:
Passo 5
Calculando essas derivadas no ponto :
Passo 6
Calculando :
Passo 7
Para que seja ponto de máximo, tem que satisfazer duas condições:
Substituindo e :
Logo:
Então não existe nenhuma valor de que satisfaça essas duas desigualdades simultaneamente.
Logo, não existe valor de para que seja ponto de máximo local.
Passo 8
Para que seja ponto de mínimo, tem que satisfazer duas condições:
Substituindo e :
Logo:
Ou seja:
Logo, para que seja ponto de mínimo local.
Passo 9
Para que seja ponto de sela, tem que satisfazer:
Logo, para que seja ponto de sela.
Passo 10
Se :
Opa! Como , então o teste da derivada segunda falhou!
Passo 11
Neste caso, temos que parar pra olhar a função:
Isso não te lembra um produto notável? Tá com mó pinta de
Então vamos igualar a função a esse produto notável!
Passo 12
Igualando o primeiro e último termos:
Pelo segundo termo:
Logo:
Então
Passo 13
Substituindo :
Como , então corresponde a um ponto de mínimo (global inclusive).
Resposta
Ponto crítico:
Ponto crítico é máximo local: não existe para nenhum valor de
Ponto crítico é mínimo local:
Ponto crítico é ponto de sela:
Se , o ponto crítico é um ponto de mínimo.