Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

Teoria Completa

Vimos como o teste da derivada segunda permite classificar pontos críticos de uma função de 2 variáveis. Calculamos um determinante, o hessiano, e dependendo do sinal dele determinamos se o ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela.

Então beleza, agora classifica os pontos críticos dessa função

f x , y = x 2 + y 4

Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, vemos que o único ponto crítico é o ponto 0 ,   0 .

Assim, o hessiano no ponto 0 ,   0 vai ser:

H 0 ,   0 = f x x 0 ,   0 f x y 0 ,   0 f y x 0 ,   0 f y y 0 ,   0 = 2 0 0 12 y 2

H 0 ,   0 = 2 0 0 0 = 2 ( 0 ) - 0 0 = 0

Sua história de vida depois dessa:

Mas relaaxa, você vai passar sim. Vou te ajudar a escrever um novo fim pra essa história! ;)

Basicamente temos duas técnicas pra classificar pontos críticos quando o teste da derivada segunda falha!

  1. Analisar sinal da função
  2. Geralmente nessas questões, o ponto crítico onde o teste da derivada segunda falha é a origem, e temos f 0 ,   0 = 0 .

    Portanto, a nossa missão é tentar ter uma noção do gráfico de f para situar o ponto 0 ,   0 , determinando se ele corresponde a um máximo, mínimo ou ponto de sela.

    Assim, precisamos estudar o sinal da função! Identificar termos que são sempre positivos, ou sempre negativos, pode ajudar muito.

    No nosso exemplo, observe que o ponto crítico é, de fato, a origem e f 0,0 = 0 .

    Agora, temos que parar pra olhar a função, e mais precisamente seu sinal:

    f x , y = x 2 + y 4

    Temos que x 2 ≥ 0 e y 4 ≥ 0 , certo? Ótimo! Então

    f x , y ≥ 0

    E justamente o valor da função em 0 ,   0 é 0 , portanto

    f x ,   y ≥ f 0 ,   0 ,

    pra qualquer x ,   y .

    E isso define que a origem é o ponto de mínimo global de f ! Viu? Sem muito trabalho deu pra classificar o ponto crítico ;)

  3. Aproximação por diferentes caminhos

Agora vamos ver uma outra técnica: a de se aproximar por diferentes caminhos.

Se nos aproximamos de um ponto crítico por um caminho e ele for um ponto de máximo, e por outro caminho um ponto de mínimo, então ele não é nenhum dos dois! E o que ele vai ser? Ponto de sela!!

Vamos ver um exemplo bem parecido com o anterior:

f x , y = x 2 - y 4

Não vou refazer as contas todas porque elas são muito parecidas e eu não quero perder o seu tempo, então acredite em mim quando eu te digo que pra essa função o ponto 0 ,   0 também é um ponto crítico onde o teste da derivada segunda falha! ;)

E da mesma forma temos f 0 ,   0 = 0 . O problema é que agora não podemos falar nada do sinal da função, porque ela é a soma de um termo positivo com um termo negativo.

É agora que começamos nossa aproximação por diferentes caminhos! Por exemplo, podemos fazer x = 0 . Aí a função passa a depender só de y :

f 0 , y = f y = - y 4

O gráfico dessa função é uma parábola voltada para baixo, com vértice na origem. Portanto, nesse caso a origem é um ponto de máximo.

Agora vamos fazer y = 0 :

f x , 0 = f x = x 2

E isso é uma parábola voltada pra cima, onde a origem é um ponto de mínimo! Era exatamente o que a gente queria!

Isso significa que a origem é na verdade um ponto de sela.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Cálculo 2 UFRJ, P2 2015.1, questão 8

Seja f x , y = x 4 + y 10 . Então ( 0,0 ) :

(a) é ponto crítico e ponto de sela;

(b) é ponto crítico e ponto de mínimo local;

(c) não é ponto crítico

(d) é ponto crítico e ponto de máximo local;

(e) nenhuma das anteriores;

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Passo 1

Vamos começar determinando se o ponto ( 0,0 ) é um ponto crítico:

f x x , y = 4 x 3 ⇒   f x 0,0 = 0

f y x , y = 10 y 9   ⇒ f y 0,0 = 0

Então o ponto ( 0,0 ) é um ponto crítico, já podemos eliminar a alternativa (c).

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas segundas:

f x x x , y = 12 x 2 ⇒ f x x 0,0 = 0

f y y x , y = 90 y 8 ⇒ f y y 0,0 = 0

f x y x , y = f y x x , y = 0   ⇒ f x y 0,0 = f y x 0,0 = 0

Pronto! Agora podemos aplicar o teste da derivada segunda:

H 0,0 = f x x 0,0 f x y 0,0 f y x 0,0 f y y 0,0 = 0 0 0 0 = 0

Vish! Deu zero! Então vamos parar pra olhar a função com calma.

Passo 3

Temos a soma de x e y , ambos elevados a potências pares. E a gente sabe que

x n ≥ 0     ;   n   p a r

Também podemos dizer x 4 + y 10 = x 2 2 + ( y 5 ) ² , logo x 4 ≥ 0 e y 10 ≥ 0 .

De qualquer forma, chegamos à conclusão que o ponto ( 0,0 ) é ponto de mínimo global de f . Mas como todo ponto de mínimo global é também ponto de mínimo local (o contrário é falso), a alternativa (b) é a certa.

Resposta

Alternativa (b)

Exercício Resolvido #2

Cálculo 2 UFRJ, PF 2015.1, questão 1

Seja f x , y = x 4 - y 4 . Então ( 0,0 ) :

(a) nenhuma das outras alternativas

(b) é ponto crítico e ponto de sela.

(c) é ponto crítico e ponto de mínimo local.

(d) é ponto crítico e ponto de máximo local.

(e) não é ponto crítico.

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Passo 1

Vamos começar testando se ( 0,0 ) é um ponto crítico, que tal?

f x , y = x 4 - y 4

⇒     f x x , y = 4 x 3   ⇒ f x 0,0 = 0  

⇒   f y x , y = - 4 y 3 ⇒     f y 0,0 = 0

As derivadas parciais em ( 0,0 ) dão zero, então ( 0,0 ) é um ponto crítico! Já dá até pra eliminar a alternativa (e).

Passo 2

Vamos tentar classificar o ponto com o teste da derivada segunda. Então vamos calcular as derivadas de segunda ordem!

f x x x , y = 4.3 . x 2 = 12 x 2

f y y x , y = - 4.3 . y 2 = - 12 y 2

f x y x , y = f y x x , y = 0

Passo 3

Vamos ao teste da derivada segunda: no ponto ( 0,0 ) temos

f x x 0,0 = 12.0 = 0

f y y 0,0 = - 12.0 = 0

f x y 0,0 = f y x 0,0 = 0

Vish, já dá pra ver que tem algo estranho. O determinante vai ser

H 0,0 = 0 0 0 0 = 0

Pois é, o determinante deu 0 , que é justamente o caso que a gente não sabe classificar o ponto crítico!

Passo 4

Essa é hora que você tem que parar pra analisar a função friamente:

f x , y = x 4 - y 4

Vamos tentar visualizar a superfície que é o gráfico dessa função.

Estamos interessados no ponto ( 0,0 ) , e esse ponto faz parte do plano y = 0 , certo? No plano y = 0   temos

f x , y = f x = x 4

e isso a gente sabe que é uma parábola voltada pra cima. Então nesse plano o ponto ( 0,0 ) é um ponto de mínimo:

E se olharmos no plano x = 0 temos

f x , y = f y = - y 4

que é uma parábola voltada pra baixo, então esse plano o ponto ( 0,0 ) é um ponto de máximo!

Então não tem como o ponto ( 0,0 ) ser um ponto de máximo ou mínimo da função, ele é um ponto de sela!

Observação: Essa função parece muito com a equação do paraboloide hiperbólico, vulga “sela”:

z = x 2 a 2 - y 2 b 2

Olha como é que é o gráfico da função:

Resposta

Alternativa (b)

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, p.358 (modificado)

O discriminante f x x f y y - f x y 2 é zero na origem pra cada uma das funções a seguir, de modo que o teste da derivada segunda falha. Determine se a função tem um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois na origem, imaginando como é a superfície z = f x , y . Descreva seu raciocínio em cada caso.

a) f x , y = x 2 y 2

b) f x , y = x 3 y 3

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Passo 1

a)

Essa é tranquila! Temos que

f 0 ,   0 = 0

E podemos perceber que

f x , y = x 2 y 2 = x y 2 ≥ 0