Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Teoria Completa

Introdução

Em funções de uma variável, se a gente tiver esse limite:

lim x → 3 ⁡ g ( x )

A variável x pode se aproximar ao valor de 3 somente pelo eixo x : as únicas opções são pela direita e pela esquerda de 3. Nós vimos que quando esses limites são iguais, o limite existe. Se forem diferentes, o limite não existe.

A gente quer usar essa mesma ideia de limites diferentes por caminhos diferentes para mostrar que um limite de várias variáveis não existe. O que será que muda? Vem comigo, que te conto!

Infinitos caminhos

Olha para esse limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x x + y

Substituindo os valores, encontramos a indeterminação 0 0 .

Como agora o nosso domínio é uma região no plano x y (e não mais um eixo apenas), existem infinitos caminhos para chegar no ponto ( 0,0 ) .

Convenientemente, a gente pode escolher certos caminhos para mostrar que o valor do limite é diferente em cada um deles, e por isso o limite no ponto não vai existir.

Como assim?

Olha no nosso exemplo: vamos calcular esse limite através de um caminho, através da reta y = x .

Na prática, é só substituir y = x e calcular o limite simples:

lim x , y → 0,0 ⁡ x x + y =   lim x → 0 ⁡ x x + x = lim x → 0 ⁡ x 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 2 = 1 2

Pode ter parecido meio mágica sumir com o y no limite. Mas, não é não! Se a gente esta em cima do caminho y = x , quando x for para 0 o y também vai!

Agora vamos calcular o limite por outro caminho: pela reta y = 2 x :

lim x , y → 0,0 ⁡ x x + y =   lim x → 0 ⁡ x x + 2 x = lim x → 0 ⁡ x 3 x = lim x → 0 ⁡ 1 3 = 1 3

Opa, os limites foram diferentes! Logo, não existe limite!

Graficamente, o que a gente fez foi andar sobre essas duas retas, usando elas como caminhos para fazer x , y “chegar em” 0,0 :

A questão é que um limite existe somente se não depender do caminho!

Então uma maneira prática de você verificar se o limite não existe é através de um caminho genérico. Por exemplo, através da reta y = m x :

lim x , y → 0,0 ⁡ x x + y =   lim x → 0 ⁡ x x + m x = lim x → 0 ⁡ x ( 1 + m ) x = lim x → 0 ⁡ 1 1 + m = 1 1 + m

Ao variar o valor de m , eu estou mudando a reta que estou usando (basta lembrar que y = m x ). Como depende do caminho, o limite não existe! Essa é a jogada! :)

Graus do numerador e do denominador

E quando você vai usar isso? Uma boa pista é quando o grau do numerador for menor ou igual ao grau do denominador. Nesse exemplo aí em cima o grau do numerador é 1 e o grau do denominador é 1 também. Essa é uma boa pista de que o limite não existe.

Observação: quando houver termos x e y multiplicados, some os expoentes para determinar o grau.

Vamos tentar um novo exemplo:

l i m x , y → 0,0 x 2 y 2 x 4 + y 4

O grau do numerador é: 2 + 2 = 4

E o do denominador também é 4 . Então isso já é um bom indício que o limite provavelmente não existe.

Vamos calcular o limite pelo caminho y = m x e ver no que dá:

l i m x , y → 0,0 x 2 m x 2 x 4 + m x 4 = l i m x , y → 0,0 x 4 m ² x 4 + m 4 x 4 =   l i m x , y → 0,0 x 4 m ² x 4 1 + m 4 = l i m x , y → 0,0 m ² 1 + m 4

Opa, então o limite depende do m ! Portanto, ele não existe.

Soma de termos com expoentes diferentes

Outra pista de quando a gente pode usar esse método é quando houver termos em x e y com expoentes diferentes somados.

Tipo esse aqui:

l i m x , y → 0,0 x x 6 + y 2

Nesses casos, a gente tem que substituir y = m x n ou x = m y n de modo que os expoentes na soma fiquem iguais.

Para o nosso limite ali, podemos usar y = m x 3 . Aí os expoentes de baixo ficam iguais:

l i m x , y → 0,0 x x 6 + y 2 = l i m x → 0 x x 6 + m x 3 2 = l i m x → 0 x x 6 + m 2 x 6 = l i m x → 0 x x 6 1 + m 2

= >   l i m x → 0 1 x 5 1 + m 2 = 1 0 → ∞

Quando o limite tende a infinito ele não existe, logo esse limite aí não existe.

OBSERVAÇÃO: Para acabar, essa é a observação mais importante de todas e eu não quero te ver errando isso! Quando a gente calcula e dá diferente, o limite não existe. Beleza.

Mas, e se estiver dando igual para todos os caminhos que a gente testar? Podemos afirmar que o limite existe? Não !!! A gente não pode afirmar nada!!!

Ou seja, essa técnica de testar o caminho só nos permite afirmar que o limite não existe, caso ele dependa do caminho. Beleza???

Agora é treinar nos exercícios! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim u , v → 1,1 ⁡ u 2 - 2 u + 1 u 2 - v 2 - 2 u + 2 v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa a fazer é substituir os valores

lim u , v → 1,1 ⁡ u 2 - 2 u + 1 u 2 - v 2 - 2 u + 2 v = 1 2 - 2.1 + 1 1 2 - 1 2 - 2.1 + 2.1 = 0 0

Caímos numa indeterminação

Passo 2

Grau do numerador: 2. Grau do denominador: 2 .

Isso é suspeito, antes de tentarmos ver se o limite existe, quando temos graus iguais, aproximamos isso por uma reta molezinha para ver se já rola problema.

Vamos fazer

v = u

Isso porque quando u → 1 vamos ter v → 1 também.

lim u , v → 1,1 ⁡ u 2 - 2 u + 1 u 2 - v 2 - 2 u + 2 v = lim u → 1 ⁡ u 2 - 2 u + 1 u 2 - u 2 - 2 u + 2 u = lim u → 1 ⁡ u 2 - 2 u + 1 0

Já deu problema, porque temos uma divisão por 0 , quando temos um limite independente por onde viermos não podemos ter problemas, então esse limite não existe.

Resposta

O limite não existe

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.81 – EXEMPLO 3.10(modificado)

Seja

f x , y = x 2 - y 2 x 2 + y 2

Calcule

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = 0 2 - 0 2 0 2 + 0 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica. E além disso:

Grau do numerador: 2

Grau do denominador: 2

Então, suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 3

Vamos substituir y = m x e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 - ( m x ) 2 x 2 + ( m x ) 2

lim x → 0 ⁡ x 2 - ( m x ) 2 x 2 + ( m x ) 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 - m 2 ) x 2 ( 1 + m 2 )

lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 - m 2 ) x 2 ( 1 + m 2 ) = lim x → 0 ⁡ 1 - m 2 1 + m 2 = 1 - m 2 1 + m 2

Então, esse limite está dependendo do caminho. Repare que, para diferentes valores de m , os limites serão diferentes.

Logo, não existe limite!

Resposta

Não existe limite.

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.82 – exemplo 3.11(modificado)

Seja

f x , y = x 2 y x 4 + y 2

Calcule

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = 0 2 ( 0 ) ( 0 ) 4 + ( 0 ) 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica.

E além disso, temos x e y somados com expoentes diferentes. Então suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 3

Vamos substituir y = m x 2 para igualar os expoentes dos denominadores e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 ( m x 2 ) x 4 + ( m x 2 ) 2

lim x → 0 ⁡ x 2 ( m x 2 ) x 4 + ( m x 2 ) 2 = lim x → 0 ⁡ m x 4 x 4 + m 2 x 4

lim x → 0 ⁡ m x 4 x 4 + m 2 x 4 = lim x → 0 ⁡ m x 4 x 4 ( 1 + m 2 )

lim x → 0 ⁡ m x 4 x 4 ( 1 + m 2 ) = lim x → 0 ⁡ m 1 + m 2 = m 1 + m 2

Então esse limite está dependendo do caminho.

Logo, não existe limite!

Resposta

Não existe limite.

Exercício Resolvido #4

USP P1 2011 A, questão 3b

Decida se existe

l i m x , y → 0,0 x 3 y 4 + x 5 y 4 3 x 6 + y 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Hmm... Não tem trigonométrica na história e tem essa soma no denominador... Tá na cara de que vamos testar uns 3 caminhos e vamos encontrar limites diferentes! Mas relaxa, se isso não der certo, partimos pro teorema do sanduíche :]

Partiu chutar caminho então! Mas calma, vamos “chutar” conscientemente, beleza? Primeiro, tentemos o mais fácil, achar o limite igual a 0 , fazendo o numerador da fração zerar antes do denominador. O caminho t , 0 faz isso, pois temos y em todos os termos do numerador! Então,

l i m t → 0 t 3 0 4 + t 5 0 4 3 t 6 + 0 8 = 0 t 6 = 0

Viu? Só escolher o caminho pensando onde queremos chegar é sempre bom ;)

Passo 2

Assim, pensemos, o que queremos agora? Um limite diferente de 0 ! Então, parece uma boa que o grau do numerador e do denominador seja o mesmo, pois assim, teremos certamente algo diferente de 0 !

Show, vejamos então o que temos: O grau do x no denominador é 6 , e do y é 8 . Então, o menor múltiplo comum é 24 , certo? Agora, olhemos para o numerador: Se colocarmos x = t 4 e y = t 3 , o grau fica 24 para x 3 y 4 ! E na raiz temos o mesmo! Parece que foi por acaso, mas a banca faz isso de propósito hahaha quando isso não acontece, é hora de repensar o que fazer e procurar pelo sanduíche ;)

Beleza, então, partamos para o caminho t 4 , t 3 :

l i m x , y → 0,0 t 4 3 t 3 4 + t 4 5 t 3 4 3 t 4 6 + t 3 8 = t 24 + t 24 2 t 24 = 1  

E aí está! O limite deu 1 ! Olha que coisa boa... como previsto, o limite não existe!

Passo 3

Outra forma de fazer essa questão seria, em vez de tentar por esses dois caminhos, usar o caminho m t 4 3 , t

m t 4 3 3 t 4 + m t 4 3 5 t 4 3 m t 4 3 6 + t 8 = m 3 t 4 t 4 + m 5 t 20 3 . t 4 3 m 6 t 8 + t 8 = m 3 t 8 + m 5 t 24 3 m 6 t 8 + t 8 = t 8 m 3 + m 5 t 8 ( m 6 + 1 ) = m 3 + m 5 ( m 6 + 1 )

Assim,

l i m x , y → 0,0 x 3 y 4 + x 5 y 4 3 x 6 + y 8 = l i m x , y → 0,0 m 3 + m 5 ( m 6 + 1 )

Depende de m , logo o limite não existe, pois não pode depender do caminho!

Resposta

O limite não existe, pois encontramos dois limites diferentes!

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

O limite a seguir existe? Se sim, igual a quanto?

l i m x , y → 0,0 4 x y 3 + 2 x 3 - y 7 x 2 + 5 y 6  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá, neste caso, como não temos senos ou cossenos na jogada, e não parece muito simples dividir nossa função em duas ou mais partes, vamos começar tentando provar que esse limite não existe, encontrando dois limites!

Como temos uma soma no denominador, podemos optar por um caminho com uma das variáveis iguais a 0 , como t , 0 , por exemplo:

l i m t → 0 4 t . 0 3 + 2 t 3 - 0 7 t 2 + 5 . 0 6 =

l i m t → 0 2 t 3 t 2 = l i m t → 0 2 t = 0

Beleza! Encontramos um limite igual a 0 !

Passo 2

Agora, temos que pensar num jeito de fazer o limite ficar diferente de 0 . Para isso, seria uma boa deixar o grau no numerador e denominador igual, para podermos cortar. Por exemplo, no denominador, temos x 2 e y 6 . Se fizermos pelo caminho t 3 , t , teremos o mesmo grau:

l i m t → 0 4 t 3 t 3 + 2 t 3 3 - t 7 t 3 2 + 5 t 6 =

Colocando os expoentes certinho, teremos:

l i m t → 0 4 t 6 + 2 t 9 - t 7 6 t 6 =

l i m t → 0 4 t 6 6 t 6 + l i m t → 0 2 t 9 6 t 6 + l i m t → 0 - t 7 6 t 6

Como o grau do numerador do segundo e terceiro limites é maior do que do denominador, quando cortar, sobra só o numerador, e esses limites darão 0 . Já, para o primeiro limite, temos:

l i m t → 0 4 t 6 6 t 6 = l i m t → 0 2 3 = 2 3

Ou seja, encontramos um outro limite, diferente de 0 , e então o limite da função não existe!

Resposta

O limite não existe, pois encontramos dois limites diferentes

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