Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Teoria Completa

Teorema

Até aqui só vimos o caso mais simples de limite, onde basta substituir os valores. Agora vamos ver o método ao qual vamos recorrer para calcular o limite quando houver indeterminação, beleza?

O teorema do Confronto, ou do Sanduíche (ou do Sanduba, pros íntimos) é bem parecido com o do cálculo 1.

Ele diz que se

g x , y ≤ f x , y ≤ h x , y

e

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ g x , y = lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ h x , y = L

então:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Intuitivo né? A função f está “ensanduichada” entre as funções g e h , então o limite delas tem que ser o mesmo. Na prática, temos que encontrar uma expressão contida na função que esteja limitada entre dois extremos.

Vamos calcular:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 2

Perceba que:

0 ≤ y 2 ≤ y 2 + x 2

Beleza? Isso porque x 2 ≥ 0 , então é lógico que y 2 ≤ y 2 + x 2 , pois estou somando algo não negativo. Agora, vamos dividir tudo por:

x 2 + y 2

Lembrando que esse termo é não negativo, então nada de inverter os sinais da inequação. Fica:

0 x 2 + y 2 ≤ y 2 x 2 + y 2   ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2

⇒ 0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Percebeu que essa expressão está contida na nossa função?

f x , y = x y 2 x 2 + y 2 = x y 2 x 2 + y 2

Agora vamos tomar aquela desigualdade e multiplicar o que falta para que o termo do meio seja igual à nossa função. Nesse caso, basta multiplicar por x :

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Se x > 0 :

⇒ 0 ⋅ x ≤ y 2 x 2 + y 2 ⋅ x ≤ 1 ⋅ x

⇒ 0 ≤ x y 2 x 2 + y 2 ⏟ f ( x , y ) ≤ x

Se x < 0 , devemos inverter as desigualdades:

⇒ 1 ⋅ x ≤ y 2 x 2 + y 2 ⋅ x ≤ 0 ⋅ x

⇒ x ≤ x y 2 x 2 + y 2 ⏟ f ( x , y ) ≤ 0

Agora vem a cereja do bolo: basta fazer os limites em cada termo:

l i m x , y → 0,0 0 ≤ l i m x , y → 0,0 x y 2 x 2 + y 2 ≤ l i m x , y → 0,0 x

ou

l i m x , y → 0,0 x ≤ l i m x , y → 0,0 x y 2 x 2 + y 2 ≤ l i m x , y → 0,0 0

Agora ficou fácil calcular os limites das extremidades:

l i m x , y → 0,0 0 = 0

l i m x , y → 0,0 x = 0

Logo, de uma forma ou de outra:

0 ≤ l i m x , y → 0,0 x y 2 x 2 + y 2 ≤ 0

Então, a única forma de essa desigualdade ser satisfeita é que esse termo seja zero.

Portanto:

l i m x , y → 0,0 x y 2 x 2 + y 2 = 0

Entendeu a ideia?

Algumas dicas

Dica 1: Funções que contenham termos como esses ou semelhantes multiplicados a outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

São funções que provavelmente serão resolvidas dessa forma, pois esses termos estão sempre entre 0 e 1 .

Dica 2: Um tipo clássico de função que pode ser resolvida pelo Teorema do Sanduíche são as funções seno e cosseno, porque sempre são limitadas entre - 1 e 1 .

Dica 3 : Teorema do Anulamento. Ele é uma ferramenta bastante simples que podemos usar em alguns casos pra calcular o limite de um produto, principalmente em problemas envolvendo senos e cossenos. Ele diz:

Se lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = 0 e g x , y é limitada, então

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y . g x , y = 0

Por exemplo:

l i m x , y → 0,0 x 2 cos ⁡ x y + x 4 y 3

Sabemos que:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 = 0

e cos ⁡ x y + x 4 y 3 é limitada (entre - 1 e 1 ), logo, pelo teorema do anulamento:

l i m x , y → 0,0 x 2 cos ⁡ x y + x 4 y 3 = 0

Beleza? Agora vamos ver uns exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 306 - 45

Sabendo que

1 - x 2 y 2 3 ≤ t g - 1 x y x y ≤ 1

você pode dizer algo sobre

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ?

Justifique sua resposta.

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Passo 1

Vamos usar a inequação que ele deu:

1 - x 2 y 2 3 ≤ t g - 1 x y x y ≤ 1

Aplicando o limite:

l i m x , y → 0,0 1 - x 2 y 2 3 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ≤ l i m x , y → 0,0 1 = 1

Passo 2

Calculando o limite da esquerda:

l i m x , y → 0,0 1 - x 2 y 2 3 = 1 - 0 3 = 1

Passo 3

Ou seja:

1 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ≤ 1

Pelo teorema do sanduíche:

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y = 1

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y = 1

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.86 - 2a(modificado)

Seja

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2

Calcule

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

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Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0 2 0 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Observe que

x 2 y 2 x 2 + y 2 = x 2 x 2 + y 2 ⋅ y 2 = y 2 x 2 + y 2 ⋅ x 2

Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 3

Colocar a expressão entre extremos:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

⇒ 0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Ou, se preferir, analogamente, temos que:

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 4

Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Temos que multiplicar por y 2 :

Como y 2 > 0 , não precisamos nos preocupar com o sinal:

0 ⋅ y 2 ≤ x 2 x 2 + y 2 ⋅ ( y 2 ) ≤ 1 ⋅ y 2

⇒ 0 ≤ x 2 y 2 x 2 + y 2 ⏟ f ( x , y ) ≤ y 2

Passo 5

Tirar os limites:

l i m x , y → ( 0,0 ) 0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) y 2

Passo 6

Calcular os limites dos extremos:

l i m x , y → ( 0,0 ) 0 = 0

l i m x , y → ( 0,0 ) y 2 = 0

Passo 7

Substituir na desigualdade:

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ 0

Logo:

l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

Resposta

l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

Exercício Resolvido #3

UFRJ, PF 2015.1, questão 4

O valor do limite

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4