Teoria Completa
Teorema
Até aqui só vimos o caso mais simples de limite, onde basta substituir os valores. Agora vamos ver o método ao qual vamos recorrer para calcular o limite quando houver indeterminação, beleza?
O teorema do Confronto, ou do Sanduíche (ou do Sanduba, pros íntimos) é bem parecido com o do cálculo 1.
Ele diz que se
e
então:
Intuitivo né? A função está “ensanduichada” entre as funções e , então o limite delas tem que ser o mesmo. Na prática, temos que encontrar uma expressão contida na função que esteja limitada entre dois extremos.
Vamos calcular:
Perceba que:
Beleza? Isso porque , então é lógico que , pois estou somando algo não negativo. Agora, vamos dividir tudo por:
Lembrando que esse termo é não negativo, então nada de inverter os sinais da inequação. Fica:
Percebeu que essa expressão está contida na nossa função?
Agora vamos tomar aquela desigualdade e multiplicar o que falta para que o termo do meio seja igual à nossa função. Nesse caso, basta multiplicar por :
Se :
Se , devemos inverter as desigualdades:
Agora vem a cereja do bolo: basta fazer os limites em cada termo:
ou
Agora ficou fácil calcular os limites das extremidades:
Logo, de uma forma ou de outra:
Então, a única forma de essa desigualdade ser satisfeita é que esse termo seja zero.
Portanto:
Entendeu a ideia?
Algumas dicas
Dica 1: Funções que contenham termos como esses ou semelhantes multiplicados a outra expressão:
São funções que provavelmente serão resolvidas dessa forma, pois esses termos estão sempre entre e .
Dica 2: Um tipo clássico de função que pode ser resolvida pelo Teorema do Sanduíche são as funções seno e cosseno, porque sempre são limitadas entre e .
Dica 3 : Teorema do Anulamento. Ele é uma ferramenta bastante simples que podemos usar em alguns casos pra calcular o limite de um produto, principalmente em problemas envolvendo senos e cossenos. Ele diz:
Se e é limitada, então
Por exemplo:
Sabemos que:
e é limitada (entre e ), logo, pelo teorema do anulamento:
Beleza? Agora vamos ver uns exercícios!
Exercício Resolvido #1
Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos usar a inequação que ele deu:
Aplicando o limite:
Passo 2
Calculando o limite da esquerda:
Passo 3
Ou seja:
Pelo teorema do sanduíche:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Seja
Calcule
Passo 1
Tentar substituir valores:
Chegamos a uma indeterminação .
Passo 2
Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:
Observe que
Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.
Passo 3
Colocar a expressão entre extremos:
Ou, se preferir, analogamente, temos que:
Passo 4
Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:
Temos que multiplicar por :
Como , não precisamos nos preocupar com o sinal:
Passo 5
Tirar os limites:
Passo 6
Calcular os limites dos extremos:
Passo 7
Substituir na desigualdade:
Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #3
O valor do limite
é
(a) 2.
(b) o limite não existe
(c) 0.
(d)
(e) 1.
Passo 1
Vamos primeiro tentar substituir os valores diretamente:
Claramente não deu certo, caímos numa indeterminação do tipo “”.
Passo 2
Bem, então vamos tentar aplicar o Teorema do Sanduíche! :)
Vamos dar uma olhada na expressão do limite:
A gente tem que limitar alguma coisa, criando uma inequação. E aqui tem algo que parece bem promissor:
Né? Porque .
Dividindo tudo por :
Passo 3
Beleza, então essa expressão é limitada. E também temos que
Logo, pelo teorema do anulamento, diretamente temos que
Passo 4
Uma alternativa sem o teorema do anulamento é pegar a inequação
e multiplicar por . Mas temos que tomar cuidado com os sinais!
- Se :
- E se :
E como , pelo teorema do Sanduíche:
E não vai mudar o resultado: analogamente obtemos que o limite dá zero! :)
Resposta
Alternativa (c)
Exercício Resolvido #4
Calcule
onde
Passo 1
Sabendo que , vamos calcular primeiro o termo da expressão acima:
Substituindo na expressão:
O que dá:
Passo 2
Tentando calcular o limite, caímos numa indeterminação . Então vamos tentar limitar alguma coisa pra aplicar o teorema do sanduíche.
Quando se tem vários termos ao quadrado, é sempre bom começar assim:
Mas no limite tem uma raiz, então vamos tirar a raiz disso:
Cuidado que , o que é se for negativo, então não se esqueça do módulo! ;)
Passo 3
Agora dividindo tudo por :
Isso está bem parecido com a expressão dentro do nosso limite, estamos quase lá!
Agora temos 2 casos, primeiramente o caso :
Multiplicando tudo por , podemos manter os sinais da inequação:
Aplicando o limite:
Logo,
Passo 4
Caso :
Não vai mudar grande coisa, a diferença é que dessa vez vamos multiplicar a inequação por , que é positivo:
Como , temos , assim:
Da mesma forma, obtemos
Passo 5
Na verdade, até temos um terceiro caso, :
Mas bom, fica evidente que também vai dar zero, a inequação ficaria:
Observação: depois de cair na inequação
poderíamos diretamente aplicar o teorema do anulamento e dizer que essa expressão é limitada, e que , qualquer que seja o sinal de , logo: