Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Teoria Completa

Teorema

Até aqui só vimos o caso mais simples de limite, onde basta substituir os valores. Agora vamos ver o método ao qual vamos recorrer para calcular o limite quando houver indeterminação, beleza?

O teorema do Confronto, ou do Sanduíche (ou do Sanduba, pros íntimos) é bem parecido com o do cálculo 1.

Ele diz que se

g x , y f x , y h x , y

e

lim x , y x 0 , y 0 g x , y = lim x , y x 0 , y 0 h x , y = L

então:

lim x , y x 0 , y 0 f x , y = L

Intuitivo né? A função f está “ensanduichada” entre as funções g e h , então o limite delas tem que ser o mesmo. Na prática, temos que encontrar uma expressão contida na função que esteja limitada entre dois extremos.

Vamos calcular:

lim x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 2

Perceba que:

0 y 2 y 2 + x 2

Beleza? Isso porque x 2 0 , então é lógico que y 2 y 2 + x 2 , pois estou somando algo não negativo. Agora, vamos dividir tudo por:

x 2 + y 2

Lembrando que esse termo é não negativo, então nada de inverter os sinais da inequação. Fica:

0 x 2 + y 2 y 2 x 2 + y 2   x 2 + y 2 x 2 + y 2

0 y 2 x 2 + y 2 1

Percebeu que essa expressão está contida na nossa função?

f x , y = x y 2 x 2 + y 2 = x y 2 x 2 + y 2

Agora vamos tomar aquela desigualdade e multiplicar o que falta para que o termo do meio seja igual à nossa função. Nesse caso, basta multiplicar por x :

0 y 2 x 2 + y 2 1

Se x > 0 :

0 x y 2 x 2 + y 2 x 1 x

0 x y 2 x 2 + y 2 f ( x , y ) x

Se x < 0 , devemos inverter as desigualdades:

1 x y 2 x 2 + y 2 x 0 x

x x y 2 x 2 + y 2 f ( x , y ) 0

Agora vem a cereja do bolo: basta fazer os limites em cada termo:

l i m x , y 0,0 0 l i m x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 2 l i m x , y 0,0 x

ou

l i m x , y 0,0 x l i m x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 2 l i m x , y 0,0 0

Agora ficou fácil calcular os limites das extremidades:

l i m x , y 0,0 0 = 0

l i m x , y 0,0 x = 0

Logo, de uma forma ou de outra:

0 l i m x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 2 0

Então, a única forma de essa desigualdade ser satisfeita é que esse termo seja zero.

Portanto:

l i m x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 2 = 0

Entendeu a ideia?

Algumas dicas

Dica 1: Funções que contenham termos como esses ou semelhantes multiplicados a outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

São funções que provavelmente serão resolvidas dessa forma, pois esses termos estão sempre entre 0 e 1 .

Dica 2: Um tipo clássico de função que pode ser resolvida pelo Teorema do Sanduíche são as funções seno e cosseno, porque sempre são limitadas entre - 1 e 1 .

Dica 3 : Teorema do Anulamento. Ele é uma ferramenta bastante simples que podemos usar em alguns casos pra calcular o limite de um produto, principalmente em problemas envolvendo senos e cossenos. Ele diz:

Se lim x , y x 0 , y 0 f x , y = 0 e g x , y é limitada, então

lim x , y x 0 , y 0 f x , y . g x , y = 0

Por exemplo:

l i m x , y 0,0 x 2 cos x y + x 4 y 3

Sabemos que:

lim x , y ( 0,0 ) x 2 = 0

e cos x y + x 4 y 3 é limitada (entre - 1 e 1 ), logo, pelo teorema do anulamento:

l i m x , y 0,0 x 2 cos x y + x 4 y 3 = 0

Beleza? Agora vamos ver uns exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 306 - 45

Sabendo que

1 - x 2 y 2 3 t g - 1 x y x y 1

você pode dizer algo sobre

lim x , y 0,0 t g - 1 x y x y ?

Justifique sua resposta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos usar a inequação que ele deu:

1 - x 2 y 2 3 t g - 1 x y x y 1

Aplicando o limite:

l i m x , y 0,0 1 - x 2 y 2 3 lim x , y 0,0 t g - 1 x y x y l i m x , y 0,0 1 = 1

Passo 2

Calculando o limite da esquerda:

l i m x , y 0,0 1 - x 2 y 2 3 = 1 - 0 3 = 1

Passo 3

Ou seja:

1 lim x , y 0,0 t g - 1 x y x y 1

Pelo teorema do sanduíche:

lim x , y 0,0 t g - 1 x y x y = 1

Resposta

lim x , y 0,0 t g - 1 x y x y = 1

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.86 - 2a(modificado)

Seja

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2

Calcule

lim x , y ( 0,0 ) f ( x , y )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0 2 0 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Observe que

x 2 y 2 x 2 + y 2 = x 2 x 2 + y 2 y 2 = y 2 x 2 + y 2 x 2

Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 3

Colocar a expressão entre extremos:

0 x 2 x 2 + y 2

0 x 2 x 2 + y 2 1

Ou, se preferir, analogamente, temos que:

0 y 2 x 2 + y 2 1

Passo 4

Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

0 x 2 x 2 + y 2 1

Temos que multiplicar por y 2 :

Como y 2 > 0 , não precisamos nos preocupar com o sinal:

0 y 2 x 2 x 2 + y 2 ( y 2 ) 1 y 2

0 x 2 y 2 x 2 + y 2 f ( x , y ) y 2

Passo 5

Tirar os limites:

l i m x , y ( 0,0 ) 0 l i m x , y ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 l i m x , y ( 0,0 ) y 2

Passo 6

Calcular os limites dos extremos:

l i m x , y ( 0,0 ) 0 = 0

l i m x , y ( 0,0 ) y 2 = 0

Passo 7

Substituir na desigualdade:

0 l i m x , y ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 0

Logo:

l i m x , y ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

Resposta

l i m x , y ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

Exercício Resolvido #3

UFRJ, PF 2015.1, questão 4

O valor do limite

lim x , y 0,0 x 2 sen y x 2 + y 4  

é

(a) 2.

(b) o limite não existe

(c) 0.

(d)

(e) 1.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos primeiro tentar substituir os valores x , y = ( 0,0 ) diretamente:

0 2 sen 0 0 2 + 0 4

Claramente não deu certo, caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”.

Passo 2

Bem, então vamos tentar aplicar o Teorema do Sanduíche! :)

Vamos dar uma olhada na expressão do limite:

x 2 sen y x 2 + y 4  

A gente tem que limitar alguma coisa, criando uma inequação. E aqui tem algo que parece bem promissor:

0 x 2 x 2 + y 4

Né? Porque y 4 0 .

Dividindo tudo por x 2 + y 4 :

0 x 2 x 2 + y 4 x 2 + y 4 x 2 + y 4 = 1

Passo 3

Beleza, então essa expressão é limitada. E também temos que

lim x , y 0,0 sen y = 0

Logo, pelo teorema do anulamento, diretamente temos que

lim x , y 0,0 sen y x 2 x 2 + y 4 = 0

Passo 4

Uma alternativa sem o teorema do anulamento é pegar a inequação

0 x 2 x 2 + y 4 1

e multiplicar por sen ( y ) . Mas temos que tomar cuidado com os sinais!

  • Se sen ( y ) 0 :
  • 0 x 2 sen y x 2 + y 4   sen ( y )

    E como lim ( x , y ) 0,0 sen ( y ) = 0 , pelo teorema do Sanduíche:

    lim x , y 0,0 x 2 sen y x 2 + y 4   = 0

  • E se sen ( y ) 0 :

0 x 2 sen y x 2 + y 4   sen ( y )

E não vai mudar o resultado: analogamente obtemos que o limite dá zero! :)

Resposta

Alternativa (c)

Exercício Resolvido #4

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – Volume 2, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2001, p. 169 - 4

Calcule

lim h , k 0,0 f x + h ,   y + k - f x , y - 2 x h - k h , k

onde f x , y = x 2 + y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabendo que f x , y = x 2 + y , vamos calcular primeiro o termo f x + h ,   y + k da expressão acima:

f x + h ,   y + k = x + h 2 + y + k

Substituindo na expressão:

f x + h ,   y + k - f x , y - 2 x h - k h , k = x + h 2 + y + k - x 2 - y - 2 x h - k h 2 + k 2

O que dá:

x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 - 2 x h h 2 + k 2 = h 2 h 2 + k 2

Passo 2

Tentando calcular o limite, caímos numa indeterminação 0 0 . Então vamos tentar limitar alguma coisa pra aplicar o teorema do sanduíche.

Quando se tem vários termos ao quadrado, é sempre bom começar assim:

0 h 2 h 2 + k 2

Mas no limite tem uma raiz, então vamos tirar a raiz disso:

0 h h 2 + k 2

Cuidado que h 2 = h , o que é h se h for negativo, então não se esqueça do módulo! ;)

Passo 3

Agora dividindo tudo por h 2 + k 2 :

0 h h 2 + k 2 1

Isso está bem parecido com a expressão dentro do nosso limite, estamos quase lá!

Agora temos 2 casos, primeiramente o caso h > 0 :

Multiplicando tudo por h , podemos manter os sinais da inequação:

0 h h h 2 + k 2 h

0 h 2 h 2 + k 2 h  

Aplicando o limite:

lim h ,  k 0,0 0 lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 lim h , k 0,0 h = 0

Logo,

lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 = 0

Passo 4

Caso h < 0 :

Não vai mudar grande coisa, a diferença é que dessa vez vamos multiplicar a inequação por - h , que é positivo:

0 - h h h 2 + k 2 - h

Como h < 0 , temos - h h = h 2 , assim:

lim h , k 0,0 0 lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 lim h , k 0,0 - h = 0

Da mesma forma, obtemos

lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 = 0

Passo 5

Na verdade, até temos um terceiro caso, h = 0 :

Mas bom, fica evidente que também vai dar zero, a inequação ficaria:

0 h 2 h 2 + k 2 0

lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 = 0

Observação: depois de cair na inequação

0 h h 2 + k 2 1

poderíamos diretamente aplicar o teorema do anulamento e dizer que essa expressão é limitada, e que lim h , k 0,0 h = 0 , qualquer que seja o sinal de h , logo:

lim h , k 0,0 h 2 h 2 + k 2 = 0

Resposta

0

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