Teoria Completa
Reta normal a uma superfície
Imagine que a gente tenha uma superfície qualquer, muito doida. Independente do quão doida seja essa superfície, a gente sabe que o vetor gradiente sempre será normal a ela, certo?
Então agora imagine que alguém te peça a equação da reta normal a uma superfície. Como você acha que encontra essa reta?
Antes de tudo, a gente precisa saber: o que é necessário pra calcular a equação de uma reta qualquer?
E eu te respondo. Precisamos de:
- um ponto
- um vetor na direção da reta
Equação da reta:
Se o vetor gradiente é normal a superfície, ele também estará na direção da reta normal a ela, né?!
Beleza, então para a reta normal a uma superfície, precisamos seguir os seguintes passos:
- Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície
- Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
- Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação
- Calcular gradiente de :
- Calcular gradiente de no ponto :
- O vetor normal será
- Substituir o ponto e o vetor na equação da reta:
O ponto da superfície geralmente vai ser dado na questão. Observe:
Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função abaixo no ponto .
Substituindo por na equação da superfície, jogando tudo para o lado esquerdo e chamando isso de , ficamos com:
Calculando o gradiente de e substituindo no ponto de tangencia dado , temos
O vetor normal será
Agora só nos resta substituir e na equação da reta:
Só isso! Mole, mole, fácil, fácil, né?
Exercício Resolvido #1
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
A reta normal ao gráfico da função
Em , é dada por , .
Passo 1
Bom, pra gente saber se essa afirmação é verdadeira ou não, temos que calcular a reta normal a superfície que é gráfico dessa função.
Vamos lá então!
Passo 1: Encontrar o ponto da superfície:
O ponto é conhecido e dado pelo problema:
Passo 2
Passo 2: Encontrar o vetor (que é o vetor gradiente):
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Passo 3
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 4
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 7
O vetor normal será :
Passo 8
Agora só falta substituir nas equações da reta:
Logo, a afirmação é verdadeira!
Resposta
Exercício Resolvido #2
A reta normal à superfície no ponto intercepta o plano no ponto :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Precisamos encontrar as equações paramétricas da reta normal e depois igualar a componente a zero, para descobrir onde a reta intercepta o plano .
Passo 1: Encontrar o ponto da superfície:
O ponto é conhecido e dado pelo problema:
Passo 2
Passo 2: Encontrar o vetor (que é o vetor gradiente):
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Não é, próximo passo!
Passo 3
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 4
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 7
O vetor normal será :
Passo 8
Substituir nas equações da reta:
Essa é a nossa reta normal a superfície.
Passo 9
Agora ele quer saber em que ponto essa reta intercepta o plano .
De boa, temos
Uhul, estamos quase acabando! Substituindo na equação da reta:
Resposta
Alternativa (e)
Exercício Resolvido #3
Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação
No qual a reta normal é perpendicular ao plano
Passo 1
Se a reta normal é perpendicular ao plano que foi dado, então esse plano é o plano tangente a superfície. Precisamos achar o vetor normal às duas superfícies e então compara-los, isso porque eles são proporcionais, vou chegar a isso mais tarde.
Começando pela superfície!!
Passo 1: Encontrar o ponto
O ponto é desconhecido, vamos pegar um ponto genérico.
Passo 2
Passo 2: Encontrar o vetor (que é o vetor gradiente):
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Não é necessário! Próximo passo!
Passo 3
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 4
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 7
O vetor normal será :
Passo 8
Vamos agora para o vetor normal ao plano dado.
Calculando gradiente:
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Não é necessário! Próximo passo!
Passo 9
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 10
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 11
Calcular gradiente de :
Passo 12
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 13
O vetor normal será :
Passo 14
Vamos ver agora o que significa eles serem proporcionais. Seria dizer que temos um que faz o seguinte papel
Sacou? Não faz diferença colocar na direita ou na esquerda.
Isso dos diz que
Passo 15
Mas o que fazer com isso?
Lembra que o ponto pertence a superfície que ele deu? Isso nos diz que
Vamos trocar cada valor pela relação com e encontrar , as relações são
Substituindo isso na equação da curva vai ser
Igualando os denominadores
Passo 16
Beleza mas qual ? Lembra láááááá no enunciado que ele falava que precisa estar no primeiro octante? Isso diz que todas as componentes do ponto precisam ser positivas.
Dessa forma só podemos ter , isso diz que os pontos é
O ponto vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #4
Considere a função definida por
E cujo gráfico encontra-se na figura abaixo.
Determine a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto .
Passo 1
Encontrar o ponto da superfície:
O ponto é conhecido e dado pelo problema:
Passo 2
Encontrar o vetor :
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Passo 3
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 4
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 5
Calcular gradiente de : :
Calculando :
Regra do quociente:
Passo 6
Calculando :
Regra do quociente:
Passo 7
Calculando :
Passo 8
Calculando gradiente :
Passo 9
Calcular gradiente de no ponto : :
Passo 10
O vetor normal será :
Passo 11
Substituir e na equação da reta:
Resposta
Exercício Resolvido #5
A reta é normal ao cone de equação num ponto e é, também, normal ao elipsoide de equação no ponto .
a) Determine uma equação da reta .
b) Determine as coordenadas do ponto .
Passo 1
Se a reta é normal ao elipsoide, então ela tem vetor diretor múltiplo do vetor gradiente dele! Então, o primeiro passo é derivar a equação do elipsoide e ver que gradiente é esse: