Reta Normal

Teoria Completa

Reta normal a uma superfície

Imagine que a gente tenha uma superfície qualquer, muito doida. Independente do quão doida seja essa superfície, a gente sabe que o vetor gradiente sempre será normal a ela, certo?

Então agora imagine que alguém te peça a equação da reta normal a uma superfície. Como você acha que encontra essa reta?

Antes de tudo, a gente precisa saber: o que é necessário pra calcular a equação de uma reta qualquer?

E eu te respondo. Precisamos de:

  1. um ponto P 0
  2. um vetor n → na direção da reta

Equação da reta:

r t = P 0 + n → t

Se o vetor gradiente é normal a superfície, ele também estará na direção da reta normal a ela, né?!

Beleza, então para a reta normal a uma superfície, precisamos seguir os seguintes passos:

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
  3. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  4. Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z
  5. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0
  6. O vetor normal será n → = ∇ F P 0
  7. Substituir o ponto P 0 e o vetor n → na equação da reta: r t = P 0 + n → t

O ponto P 0 = x 0 , y 0 , z 0   da superfície geralmente vai ser dado na questão. Observe:

Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função abaixo no ponto 1,1 , - 2 .

f x , y = 1 - x 2 - 2 y 2

Substituindo f ( x , y ) por z na equação da superfície, jogando tudo para o lado esquerdo e chamando isso de F ( x , y , z ) , ficamos com:

F x , y , z = x 2 + 2 y 2 + z - 1

Calculando o gradiente de F e substituindo no ponto de tangencia dado P 0 = ( 1,1 , - 2 ) , temos

∇ F x , y , z = 2 x , 4 y , 1

⇒ ∇ F 1,1 , - 2 = 2,4 , 1

O vetor normal será n → = ∇ F P 0

n → = 2,4 , 1

Agora só nos resta substituir n → e P 0 na equação da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 1,1 , - 2 + 2,4 , 1 t

⇒ r t = 1 + 2 t ,   1 + 4 t ,   - 2 + t

Só isso! Mole, mole, fácil, fácil, né?

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Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo 2B, Professor Rodrigo Salomão, P1, questão 1, item e

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

A reta normal ao gráfico da função

f x , y = e x cos ⁡ y

Em 0,0 , 1 , é dada por - t , 0,1 + t , t ∈ R .

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Passo 1

Bom, pra gente saber se essa afirmação é verdadeira ou não, temos que calcular a reta normal a superfície que é gráfico dessa função.

Vamos lá então!

Passo 1: Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 0,0 , 1

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n → (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

f x , y = e x cos ⁡ y

z = e x cos ⁡ y

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

z - e x cos ⁡ y = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = z - e x cos ⁡ y

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = - e x cos ⁡ y , - e x sen ⁡ y c o s 2 y , 1

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 0,0 , 1

∇ F P 0 = - e 0 cos ⁡ 0 , - e 0 sen ⁡ 0 c o s 2 0 , 1

⇒ ∇ F P 0 = - 1,0 , 1

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = - 1,0 , 1

Passo 8

-

Agora só falta substituir nas equações da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 0,0 , 1 + - 1,0 , 1 t

⇒ r t = - t ,   0 ,   1 + t

t ∈ R

Logo, a afirmação é verdadeira!

Resposta

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Cálculo 2, PF 2014.2, questão múltipla escolha 7

A reta normal à superfície x y z = 4 no ponto P = ( 2,2 , 1 ) intercepta o plano x = 0 no ponto :

(a) ( 0,2 , 1 )

(b) ( 0,1 , - 1 )

(c) ( 0,0 , 0 )

(d) ( 0 , - 1,0 )

(e) ( 0,0 , - 3 )

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Passo 1

Precisamos encontrar as equações paramétricas da reta normal e depois igualar a componente x a zero, para descobrir onde a reta intercepta o plano x = 0 .

Passo 1: Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 2,2 , 1

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n → (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é, próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x y z = 4

⇒     x y z - 4 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x y z - 4

Passo 5

Calcular gradiente de F :

⇒   ∇ F x , y , z = ( y z , x z , x y )

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 2,2 , 1

∇ F P 0 = ( 2,2 , 4 )

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 2,2 , 4

Passo 8

Substituir nas equações da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 2,2 , 1 + 2,2 , 4 t

⇒ r t = ( 2 + 2 t , 2 + 2 t , 1 + 4 t )

t ∈ R

Essa é a nossa reta normal a superfície.

Passo 9

Agora ele quer saber em que ponto essa reta intercepta o plano x = 0 .

De boa, temos

x = 0   ⇒     2 + 2 t = 0

⇒ 2 t = - 2

⇒ t = - 1

Uhul, estamos quase acabando! Substituindo t = - 1 na equação da reta:

r - 1 = 0 ,   0 ,   1 - 4 = ( 0,0 , - 3 )

Resposta

Alternativa (e)

Exercício Resolvido #3

Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18

No qual a reta normal é perpendicular ao plano

x + y + z = 10

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Passo 1

Se a reta normal é perpendicular ao plano que foi dado, então esse plano é o plano tangente a superfície. Precisamos achar o vetor normal às duas superfícies e então compara-los, isso porque eles são proporcionais, vou chegar a isso mais tarde.

Começando pela superfície!!

Passo 1: Encontrar o ponto P 0

O ponto P 0 é desconhecido, vamos pegar um ponto genérico.

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n → (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18

⇒ x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 - 18 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 - 18

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = 2 x , 6 y , 3 z

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0

⇒ ∇ F P 0 = 2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0

∇ F P 0 = 2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0

Passo 8

Vamos agora para o vetor normal ao plano dado.

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 9

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x + y + z = 10

⇒ x + y + z - 10 = 0

Passo 10

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x + y + z - 10

Passo 11

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = 1,1 , 1

Passo 12

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0

⇒ ∇ F P 0 = 1,1 , 1

∇ F P 0 = 1,1 , 1

Passo 13

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 1,1 , 1

Passo 14

Vamos ver agora o que significa eles serem proporcionais. Seria dizer que temos um k que faz o seguinte papel

2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0 = k 1,1 , 1

Sacou? Não faz diferença colocar na direita ou na esquerda.

Isso dos diz que

2 x 0 = k

6 y 0 = k

3 z 0 = k

Passo 15

Mas o que fazer com isso?

Lembra que o ponto pertence a superfície que ele deu? Isso nos diz que

x 0 2 + 3 y 0 2 + 3 z 0 2 2 = 18

Vamos trocar cada valor pela relação com k e encontrar k , as relações são

x 0 = k 2

y 0 = k 6

z 0 = k 3

Substituindo isso na equação da curva vai ser

k 2 2 + 3 k 6 2 + 3 2 k 3 2 = 18

k 2 4 + 3 k 2 36 + 3 2   .     k 2 9 = 18

k 2 4 + k 2 12 + k 2 6 = 18

Igualando os denominadores

3 k 2 + k 2 + 2 k 2 12 = 18

6 k 2 12 = 18

k 2 2 = 18

k 2 = 36

k = ± 6

Passo 16

Beleza mas qual k ? Lembra láááááá no enunciado que ele falava que precisa estar no primeiro octante? Isso diz que todas as componentes do ponto precisam ser positivas.

Dessa forma só podemos ter k = 6 , isso diz que os pontos é

x 0 = 6 2 = 3

y 0 = 6 6 = 1

z 0 = 6 3 = 2

O ponto vai ser

3,1 , 2

Resposta

3,1 , 2

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Cálculo 2, P2 2008.2, questão 1, item b.

Considere a função f : R 2 ⟶ R definida por

f x , y = - 4 y x 2 + y 2 + 3

E cujo gráfico encontra-se na figura abaixo.

Determine a equação da reta normal ao gráfico da função f ( x , y ) no ponto P = 1 , - 2,1 .

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Passo 1

Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1 , - 2,1

Passo 2

Encontrar o vetor n → :

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

f x , y = - 4 y x 2 + y 2 + 3

⇒ z = - 4 y x 2 + y 2 + 3

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

z = - 4 y x 2 + y 2 + 3

⇒ 4 y x 2 + y 2 + 3 + z = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = 4 y x 2 + y 2 + 3 + z

Passo 5

Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z :

Calculando ∂ F ∂ x :

Regra do quociente:

∂ F ∂ x = 4 y ' ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ x 2 + y 2 + 3 ' x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ x = 0 ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ ( 2 x ) x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ x = - 4 y ⋅ ( 2 x ) x 2 + y 2 + 3 2

⇒ ∂ F ∂ x = - 8 x y x 2 + y 2 + 3 2

Passo 6

Calculando ∂ F ∂ y :

Regra do quociente:

∂ F ∂ y = 4 y ' ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ x 2 + y 2 + 3 ' x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ y = 4 ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ ( 2 y ) x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ y = 4 x 2 + 4 y 2 + 12 - 8 y 2 x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ y = 4 x 2 - 4 y 2 + 12 x 2 + y 2 + 3 2

⇒ ∂ F ∂ y = 4 ( x 2 - y 2 + 3 ) x 2 + y 2 + 3 2

Passo 7

Calculando ∂ F ∂ z :

∂ F ∂ z = 1

Passo 8

Calculando gradiente ∇ F x , y , z :

∇ F x , y , z = - 8 x y x 2 + y 2 + 3 2 , 4 x 2 - y 2 + 3 x 2 + y 2 + 3 2 ,   1  

Passo 9

Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 1 , - 2,1

⇒ ∇ F P 0 = - 8 1 ( - 2 ) ( 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 + 3 2 ,   4 ( 1 2 - - 2 2 + 3 ) ( 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 + 3 2 , 1

∇ F P 0 = 16 1 + 4 + 3 2 ,   4 ( 1 - 4 + 3 ) 1 + 4 + 3 2 , 1

∇ F P 0 = 16 8 2 ,   0,1

⇒ ∇ F P 0 = 1 4 ,   0,1

Passo 10

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 1 4 ,   0,1

Passo 11

Substituir P 0 e n → na equação da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 1 , - 2,1 + 1 4 , 0,1 t

⇒ r t = 1 + 1 4 t ,   - 2 + 0 t , 1 + t

⇒ r t = 1 + t 4 ,   - 2,1 + t

t ∈ R

Resposta

r t = 1 + t 4 ,   - 2 ,   1 + t

t ∈ R

Exercício Resolvido #5

USP, Cálculo 2, P3 2010, questão 1.

A reta r é normal ao cone de equação 2 x - 1 2 + y 2 = z 2 num ponto P e é, também, normal ao elipsoide de equação x - 3 2 + y 2 + z + 3 2 2 = 3 2 no ponto Q = 4,0 , - 4 .

a) Determine uma equação da reta r .

b) Determine as coordenadas do ponto P .

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Passo 1

Se a reta r t é normal ao elipsoide, então ela tem vetor diretor múltiplo do vetor gradiente dele! Então, o primeiro passo é derivar a equação do elipsoide e ver que gradiente é esse:

E x , y , z = x - 3 2 + y 2 + z + 3 2 2 - 3 2

∇ E x , y , z = E x , E y ,   E z

E x = 2 x - 3 . 1

E y = 2 y