Reta Normal

Teoria Completa

Reta normal a uma superfície

Imagine que a gente tenha uma superfície qualquer, muito doida. Independente do quão doida seja essa superfície, a gente sabe que o vetor gradiente sempre será normal a ela, certo?

Então agora imagine que alguém te peça a equação da reta normal a uma superfície. Como você acha que encontra essa reta?

Antes de tudo, a gente precisa saber: o que é necessário pra calcular a equação de uma reta qualquer?

E eu te respondo. Precisamos de:

  1. um ponto P 0
  2. um vetor n → na direção da reta

Equação da reta:

r t = P 0 + n → t

Se o vetor gradiente é normal a superfície, ele também estará na direção da reta normal a ela, né?!

Beleza, então para a reta normal a uma superfície, precisamos seguir os seguintes passos:

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
  3. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  4. Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z
  5. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0
  6. O vetor normal será n → = ∇ F P 0
  7. Substituir o ponto P 0 e o vetor n → na equação da reta: r t = P 0 + n → t

O ponto P 0 = x 0 , y 0 , z 0   da superfície geralmente vai ser dado na questão. Observe:

Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função abaixo no ponto 1,1 , - 2 .

f x , y = 1 - x 2 - 2 y 2

Substituindo f ( x , y ) por z na equação da superfície, jogando tudo para o lado esquerdo e chamando isso de F ( x , y , z ) , ficamos com:

F x , y , z = x 2 + 2 y 2 + z - 1

Calculando o gradiente de F e substituindo no ponto de tangencia dado P 0 = ( 1,1 , - 2 ) , temos

∇ F x , y , z = 2 x , 4 y , 1

⇒ ∇ F 1,1 , - 2 = 2,4 , 1

O vetor normal será n → = ∇ F P 0

n → = 2,4 , 1

Agora só nos resta substituir n → e P 0 na equação da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 1,1 , - 2 + 2,4 , 1 t

⇒ r t = 1 + 2 t ,   1 + 4 t ,   - 2 + t

Só isso! Mole, mole, fácil, fácil, né?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo 2B, Professor Rodrigo Salomão, P1, questão 1, item e

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

A reta normal ao gráfico da função

f x , y = e x cos ⁡ y

Em 0,0 , 1 , é dada por - t , 0,1 + t , t ∈ R .

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Passo 1

Bom, pra gente saber se essa afirmação é verdadeira ou não, temos que calcular a reta normal a superfície que é gráfico dessa função.

Vamos lá então!

Passo 1: Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 0,0 , 1

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n → (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

f x , y = e x cos ⁡ y

z = e x cos ⁡ y

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

z - e x cos ⁡ y = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = z - e x cos ⁡ y

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = - e x cos ⁡ y , - e x sen ⁡ y c o s 2 y , 1

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 0,0 , 1

∇ F P 0 = - e 0 cos ⁡ 0 , - e 0 sen ⁡ 0 c o s 2 0 , 1

⇒ ∇ F P 0 = - 1,0 , 1

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = - 1,0 , 1

Passo 8

-

Agora só falta substituir nas equações da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 0,0 , 1 + - 1,0 , 1 t

⇒ r t = - t ,   0 ,   1 + t

t ∈ R

Logo, a afirmação é verdadeira!

Resposta

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Cálculo 2, PF 2014.2, questão múltipla escolha 7

A reta normal à superfície x y z = 4 no ponto P = ( 2,2 , 1 ) intercepta o plano x = 0 no ponto :

(a) ( 0,2 , 1 )

(b) ( 0,1 , - 1 )

(c) ( 0,0 , 0 )

(d) ( 0 , - 1,0 )

(e) ( 0,0 , - 3 )

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Passo 1

Precisamos encontrar as equações paramétricas da reta normal e depois igualar a componente x a zero, para descobrir onde a reta intercepta o plano x = 0 .

Passo 1: Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 2,2 , 1

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n → (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é, próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x y z = 4

⇒     x y z - 4 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x y z - 4

Passo 5

Calcular gradiente de F :

⇒   ∇ F x , y , z = ( y z , x z , x y )

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 2,2 , 1

∇ F P 0 = ( 2,2 , 4 )

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 2,2 , 4

Passo 8

Substituir nas equações da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 2,2 , 1 + 2,2 , 4 t

⇒ r t = ( 2 + 2 t , 2 + 2 t , 1 + 4 t )

t ∈ R

Essa é a nossa reta normal a superfície.

Passo 9

Agora ele quer saber em que ponto essa reta intercepta o plano x = 0 .

De boa, temos

x = 0   ⇒     2 + 2 t = 0

⇒ 2 t = - 2

⇒ t = - 1

Uhul, estamos quase acabando! Substituindo t = - 1 na equação da reta:

r - 1 = 0 ,   0 ,   1 - 4 = ( 0,0 , - 3 )

Resposta

Alternativa (e)

Exercício Resolvido #3

Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18

No qual a reta normal é perpendicular ao plano

x + y + z = 10

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Passo 1

Se a reta normal é perpendicular ao plano que foi dado, então esse plano é o plano tangente a superfície. Precisamos achar o vetor normal às duas superfícies e então compara-los, isso porque eles são proporcionais, vou chegar a isso mais tarde.

Começando pela superfície!!

Passo 1: Encontrar o ponto P 0

O ponto P 0 é desconhecido, vamos pegar um ponto genérico.

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n → (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18

⇒ x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 - 18 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 - 18