Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender um pouquinho sobre a reta normal para casos com funções de várias variáveis.

Se você caiu aqui de paraquedas e na verdade tá querendo aprender sobre reta tangente e normal a uma curva, fica tranquilo que eu já tenho esse conteúdo separadinho pra você 😉 É o primeiro link aqui embaixo 👇

Veja também

Equação da Reta Normal

Então, vamos logo ao que interessa: a equação da reta normal à superfície depende do gradiente da função.

Olha só, se o vetor gradiente é perpendicular, ou normal, à superfície, logicamente ele está na direção da reta normal. Concorda?

Por isso, é importante você estar dominando o cálculo do gradiente de uma função multivariável daqui pra frente, pois é esse cara mesmo que vamos usar 😬

Vou te mostrar como encontramos a equação da reta normal a partir de um exemplo, se liga 👇

Exemplo: Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função abaixo no ponto .

Vou deixar esse vídeo aqui com a resolução bem explicadinha, caso você prefira. Senão, segue comigo no texto logo abaixo 👇

Passo 1: Trocar por .

O primeiro passo é chamar de na equação da superfície.

Passo 2: Passar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação.

Vamos deixar tudo do lado do e deixar igualado a zero.

Teoricamente, a gente tem uma função de , e ali, né? Então vamos escrever assim:

Passo 3: Calcular o gradiente de .

O gradiente é dado pelas derivadas parciais, né?

Passo 4: Calcular o gradiente de no ponto .

Esse é aquele ponto pedido lá no enunciado.

E o que isso aí quer dizer?

Lembra que eu mencionei a relação entre vetor gradiente e reta normal? Isso quer dizer que já conhecemos nosso vetor normal :

Passo 5: Substituir e na equação da reta:

A equação parametrizada da reta é:

Substituindo os valores, a gente fica com:

Belezinha?

Como saber se uma reta é normal ao plano?

Galera, qualquer tipo de pergunta desse tipo:

“Determine se a reta é normal ao plano”

Ou

“Determine as coordenadas do ponto em que a reta normal é de tal forma”

vai sempre voltar nesse passo a passo. O que muda é só o que você vai ter que substituir na fórmula.

Por exemplo, se a gente quisesse as coordenadas do ponto em que a reta normal é perpendicular a um plano , a gente teria a equação desse plano e, por consequência, a equação da reta normal. Aí seria só resolver a fórmula para .

Tranquilo, né?

Como saber se uma reta é normal ao plano?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

A reta normal ao gráfico da função

f x , y = e x cos ⁡ y

Em 0,0 , 1 , é dada por - t , 0,1 + t , t ∈ R .

Passo 1

Bom, pra gente saber se essa afirmação é verdadeira ou não, temos que calcular a reta normal a superfície que é gráfico dessa função.

Vamos lá então!

Passo 1: Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 0,0 , 1

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n → (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

f x , y = e x cos ⁡ y

z = e x cos ⁡ y

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

z - e x cos ⁡ y = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = z - e x cos ⁡ y

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = - e x cos ⁡ y , - e x sen ⁡ y c o s 2 y , 1

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 0,0 , 1

∇ F P 0 = - e 0 cos ⁡ 0 , - e 0 sen ⁡ 0 c o s 2 0 , 1

⇒ ∇ F P 0 = - 1,0 , 1

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = - 1,0 , 1

Passo 8

-

Agora só falta substituir nas equações da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 0,0 , 1 + - 1,0 , 1 t

⇒ r t = - t ,   0 ,   1 + t

t ∈ R

Logo, a afirmação é verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

A reta normal à superfície x y z = 4 no ponto P = ( 2,2 , 1 ) intercepta o plano x = 0 no ponto :

(a) ( 0,2 , 1 )

(b) ( 0,1 , - 1 )

(c) ( 0,0 , 0 )

(d) ( 0 , - 1,0 )

(e) ( 0,0 , - 3 )

Passo 1

Precisamos encontrar as equações paramétricas da reta normal e depois igualar a componente x a zero, para descobrir onde a reta intercepta o plano x = 0 .

Passo 1: Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 2,2 , 1

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n → (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é, próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x y z = 4

⇒     x y z - 4 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x y z - 4

Passo 5

Calcular gradiente de F :

⇒   ∇ F x , y , z = ( y z , x z , x y )

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 2,2 , 1

∇ F P 0 = ( 2,2 , 4 )

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 2,2 , 4

Passo 8

Substituir nas equações da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 2,2 , 1 + 2,2 , 4 t

⇒ r t = ( 2 + 2 t , 2 + 2 t , 1 + 4 t )

t ∈ R

Essa é a nossa reta normal a superfície.

Passo 9

Agora ele quer saber em que ponto essa reta intercepta o plano x = 0 .

De boa, temos

x = 0   ⇒     2 + 2 t = 0

⇒ 2 t = - 2

⇒ t = - 1

Uhul, estamos quase acabando! Substituindo t = - 1 na equação da reta:

r - 1 = 0 ,   0 ,   1 - 4 = ( 0,0 , - 3 )

Resposta

Alternativa (e)

Exercício Resolvido #3

Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18

No qual a reta normal é perpendicular ao plano

x + y + z = 10

Passo 1

Se a reta normal é perpendicular ao plano que foi dado, então esse plano é o plano tangente a superfície. Precisamos achar o vetor normal às duas superfícies e então compara-los, isso porque eles são proporcionais, vou chegar a isso mais tarde.

Começando pela superfície!!

Passo 1: Encontrar o ponto P 0

O ponto P 0 é desconhecido, vamos pegar um ponto genérico.

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor n → (que é o vetor gradiente):

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18

⇒ x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 - 18 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 - 18

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = 2 x , 6 y , 3 z

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0

⇒ ∇ F P 0 = 2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0

∇ F P 0 = 2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0

Passo 8

Vamos agora para o vetor normal ao plano dado.

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 9

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x + y + z = 10

⇒ x + y + z - 10 = 0

Passo 10

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x + y + z - 10

Passo 11

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = 1,1 , 1

Passo 12

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0

⇒ ∇ F P 0 = 1,1 , 1

∇ F P 0 = 1,1 , 1

Passo 13

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 1,1 , 1

Passo 14

Vamos ver agora o que significa eles serem proporcionais. Seria dizer que temos um k que faz o seguinte papel

2 x 0 , 6 y 0 , 3 z 0 = k 1,1 , 1

Sacou? Não faz diferença colocar na direita ou na esquerda.

Isso dos diz que

2 x 0 = k

6 y 0 = k

3 z 0 = k

Passo 15

Mas o que fazer com isso?

Lembra que o ponto pertence a superfície que ele deu? Isso nos diz que

x 0 2 + 3 y 0 2 + 3 z 0 2 2 = 18

Vamos trocar cada valor pela relação com k e encontrar k , as relações são

x 0 = k 2

y 0 = k 6

z 0 = k 3

Substituindo isso na equação da curva vai ser

k 2 2 + 3 k 6 2 + 3 2 k 3 2 = 18

k 2 4 + 3 k 2 36 + 3 2   .     k 2 9 = 18

k 2 4 + k 2 12 + k 2 6 = 18

Igualando os denominadores

3 k 2 + k 2 + 2 k 2 12 = 18

6 k 2 12 = 18

k 2 2 = 18

k 2 = 36

k = ± 6

Passo 16

Beleza mas qual k ? Lembra láááááá no enunciado que ele falava que precisa estar no primeiro octante? Isso diz que todas as componentes do ponto precisam ser positivas.

Dessa forma só podemos ter k = 6 , isso diz que os pontos é

x 0 = 6 2 = 3

y 0 = 6 6 = 1

z 0 = 6 3 = 2

O ponto vai ser

3,1 , 2

Resposta

3,1 , 2

Exercício Resolvido #4

Considere a função f : R 2 ⟶ R definida por

f x , y = - 4 y x 2 + y 2 + 3

E cujo gráfico encontra-se na figura abaixo.

Determine a equação da reta normal ao gráfico da função f ( x , y ) no ponto P = 1 , - 2,1 .

Passo 1

Encontrar o ponto P 0 da superfície:

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1 , - 2,1

Passo 2

Encontrar o vetor n → :

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

f x , y = - 4 y x 2 + y 2 + 3

⇒ z = - 4 y x 2 + y 2 + 3

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

z = - 4 y x 2 + y 2 + 3

⇒ 4 y x 2 + y 2 + 3 + z = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = 4 y x 2 + y 2 + 3 + z

Passo 5

Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z :

Calculando ∂ F ∂ x :

Regra do quociente:

∂ F ∂ x = 4 y ' ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ x 2 + y 2 + 3 ' x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ x = 0 ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ ( 2 x ) x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ x = - 4 y ⋅ ( 2 x ) x 2 + y 2 + 3 2

⇒ ∂ F ∂ x = - 8 x y x 2 + y 2 + 3 2

Passo 6

Calculando ∂ F ∂ y :

Regra do quociente:

∂ F ∂ y = 4 y ' ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ x 2 + y 2 + 3 ' x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ y = 4 ⋅ x 2 + y 2 + 3 - 4 y ⋅ ( 2 y ) x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ y = 4 x 2 + 4 y 2 + 12 - 8 y 2 x 2 + y 2 + 3 2

∂ F ∂ y = 4 x 2 - 4 y 2 + 12 x 2 + y 2 + 3 2

⇒ ∂ F ∂ y = 4 ( x 2 - y 2 + 3 ) x 2 + y 2 + 3 2

Passo 7

Calculando ∂ F ∂ z :

∂ F ∂ z = 1

Passo 8

Calculando gradiente ∇ F x , y , z :

∇ F x , y , z = - 8 x y x 2 + y 2 + 3 2 , 4 x 2 - y 2 + 3 x 2 + y 2 + 3 2 ,   1  

Passo 9

Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 1 , - 2,1

⇒ ∇ F P 0 = - 8 1 ( - 2 ) ( 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 + 3 2 ,   4 ( 1 2 - - 2 2 + 3 ) ( 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 + 3 2 , 1

∇ F P 0 = 16 1 + 4 + 3 2 ,   4 ( 1 - 4 + 3 ) 1 + 4 + 3 2 , 1

∇ F P 0 = 16 8 2 ,   0,1

⇒ ∇ F P 0 = 1 4 ,   0,1

Passo 10

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 1 4 ,   0,1

Passo 11

Substituir P 0 e n → na equação da reta:

r t = P 0 + n → t

⇒ r t = 1 , - 2,1 + 1 4 , 0,1 t

⇒ r t = 1 + 1 4 t ,   - 2 + 0 t , 1 + t

⇒ r t = 1 + t 4 ,   - 2,1 + t

t ∈ R

Resposta

r t = 1 + t 4 ,   - 2 ,   1 + t

t ∈ R

Exercício Resolvido #5

A reta r é normal ao cone de equação 2 x - 1 2 + y 2 = z 2 num ponto P e é, também, normal ao elipsoide de equação x - 3 2 + y 2 + z + 3 2 2 = 3 2 no ponto Q = 4,0 , - 4 .

a) Determine uma equação da reta r .

b) Determine as coordenadas do ponto P .

Passo 1

Se a reta r t é normal ao elipsoide, então ela tem vetor diretor múltiplo do vetor gradiente dele! Então, o primeiro passo é derivar a equação do elipsoide e ver que gradiente é esse:

E x , y , z = x - 3 2 + y 2 + z + 3 2 2 - 3 2

∇ E x , y , z = E x , E y ,   E z

E x = 2 x - 3 . 1

E y = 2 y

E z = z + 3 . 1

∇ E x , y , z = 2 x - 3 ,   2 y ,   z + 3

E, agora, só precisamos colocar o ponto no qual a reta passa, 4,0 , - 4 :

∇ E 4,0 , - 4 = 2 4 - 3 ,   2.0 ,   - 4 + 3

∇ E 4,0 , - 4 = 2 ,   0 ,   - 1

Passo 2

Show! Agora que temos o vetor diretor da reta e sabemos que ela passa pelo ponto 4,0 , - 4 , podemos parametriza-la por:

r t = 2,0 , - 1 t + 4,0 , - 4

r t = 4 + 2 t , 0 , - 4 - t   ,     t ∈ R

Essa primeira foi simples, né?

Passo 3

Agora vamos descobrir que ponto P é esse? Bom, a reta passar de maneira perpendicular pelo cone também, certo? Então também tem direção paralela ao vetor gradiente do cone! Isso vai ser útil, então, calculemos o gradiente dele!

C x , y , z = 2 x - 1 2 + y 2 - z 2

∇ C x , y , z = C x ,   C y ,   C z

C x = 2 2 x - 1 . 2

C y = 2 y

C z = - 2 z

∇ C x , y , z = 4 2 x - 1 ,   2 y ,   - 2 z

Aí está o vetor gradiente :)

Passo 4

Agora, pensemos o seguinte, o ponto está na reta, certo? Então ele será sempre dado pela equação da própria, por um parâmetro em específico! Então, temos que:

P = 4 + 2 t , 0 , - 4 - t

Colocando o ponto no vetor gradiente, teremos:

∇ C x , y , z = 4 2 4 + 2 t - 1 ,   2.0 ,   - 2 - 4 - t

∇ C x , y , z = 4 7 + 4 t ,   0 ,   8 + 2 t

∇ C x , y , z = 28 + 16 t ,   0 ,   8 + 2 t

Passo 5

Estamos quase!! Agora, que outra informação nós temos ainda? Sabemos que esse vetor gradiente é paralelo ao vetor diretor da reta, que é 2,0 , - 1 ! Isso significa que esses dois vetores são múltiplos:

28 + 16 t ,   0 ,   8 + 2 t = k 2,0 , - 1

Assim, temos o sistema:

28 + 16 t = 2 k

0 = 0

8 + 2 t = - k

Que tem duas equações e duas incógnitas.

Podemos isolar o k na ultima equação:

k = - 8 - 2 t

E substituir na primeira:

28 + 16 t = 2 - 8 - 2 t

20 t = - 44

t = - 44 20 = - 11 5

Substituindo esse valor para o parâmetro em P , temos:

P = 4 - 22 5 , 0 , - 4 + 11 5

P = - 2 5 , 0 , - 9 5

Resposta

a) r t = 2,0 , - 1 t + 4,0 , - 4 ,   t ∈ R

b) P = - 2 5 , 0 , - 9 5

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. f x , y = 3 x 3 y - x ye m1 , - 1 , f 1 , - 1