Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

Teoria Completa

Podemos achar os máximos e mínimos de uma função em todo o domínio dela, mas também em uma região fechada.

Para isso, só vamos considerar os pontos críticos dentro dela. Além disso, também vamos ter que testar a fronteira da região.

Isso porque numa região fechada, nem sempre os máximos e mínimos globais vão ser em pontos críticos! Eles podem ocorrer também na fronteira da região!

Tem uma diferença interessante nesse tipo: as vezes ao olhar o domínio todo uma função pode não ter máximo ou mínimo global. Mas, quando analisamos uma região fechada, isso não vai ocorrer!

Por exemplo, a função f x , y = x 2 + y 2 não tem máximo global: podemos aumentar o valor de f o quanto quisermos aumentando x e y .

Agora, se fizermos uma restrição, por exemplo, o retângulo x ≤ 1     e     y ≤ 3 a história já muda! Nessa região f tem um máximo global: quando x = ± 1 e y = ± 3 , e o valor desse máximo é ± 1 2 + ± 3 2 = 10 . Deu pra captar?

Beleza, e geralmente, pra facilitar nossa vida, a região fechada na qual trabalhamos é um retângulo, onde temos x e y limitados por duas constantes.

No exemplo que eu mencionei lá em cima nosso retângulo é:

A vantagem disso é que as fronteiras de um retângulo são fáceis de analisar, são retas!

Repare que em cada lado do retângulo uma das coordenadas ( x ou y ) é fixa, enquanto a outra varia. Ou seja, mesmo uma função sendo de 2 variáveis, nos lados de um retângulo como esse ela só depende de uma!

É como se tivéssemos 4 funções de 1 variável (uma pra cada lado). E aí vamos ter que achar os pontos críticos dessas “subfunções”, derivando e igualando a zero.

Todos os pontos críticos achados nos 4 lados também serão candidatos a ponto de máximo ou mínimo da função no retângulo.

Enfim, vejamos um exemplo que vai ser mais fácil de explicar na prática. Vamos determinar o máximo e o mínimo globais da função

f x , y = x 2 + y 2 - 3 x + y

na região delimitada por x ≤ 2 e y ≤ 2 .

Fazendo o passo a passo para obter os pontos críticos a gente vai encontrar esse aqui

3 2 ,   - 1 2

Repare que esse ponto pertence à nossa região, pois ele satisfaz x ≤ 2 e y ≤ 2 . Então vamos guardar ele.

Agora temos que testar a fronteira! Quando temos um retângulo (no caso, é até um quadrado), a primeira coisa que temos que fazer é separar os vértices do retângulo. Eles automaticamente já são candidatos a ponto de máximo ou mínimo. Então não se esqueça deles! :)

Nesse caso, temos os pontos

- 2 ,   - 2 ,   - 2 ,   2 ,   2 , - 2 ,   2 ,   2

Então entraram mais 4 pontos pra nossa lista.

Agora sim, vamos ver de fato as fronteiras, que nada mais são que os lados do nosso quadrado.

Vou nomear esses lados de lado 1, 2, 3 e 4, da seguinte forma:

Vamos começar pelo lado 1. Nele temos

x = - 2     e   - 2 ≤ y ≤ 2

Como x é fixo, nesse lado a função só depende de y !

f x , y = f - 2 ,   y = - 2 2 + y 2 - 3 - 2 + y

f - 2 ,   y = 4 + y 2 + 6 + y = y 2 + y + 10

Agora derivamos essa função (derivada normal de uma função de 1 variável): f ' - 2 ,   y = 2 y + 1

E igualamos a derivada a zero, pra achar os pontos críticos: f ' - 2 ,   y = 0

2 y + 1 = 0

⇒ y = - 1 2

Então nesse lado só temos um ponto crítico! O x é fixo, vale - 2 , e achamos y = - 1 2 , então esse ponto é - 2 ,   - 1 2 .

Agora vamos fazer a mesma coisa pros outros lados!

No lado 2, temos

y = 2     e   - 2 ≤ x ≤ 2

Então agora a função só depende de x , já que o y é fixo:

f x , y = f x ,   2 = x 2 + 2 2 - 3 x + 2

f x ,   2 = x 2 - 3 x + 6

Derivando e igualando a zero:

f ' x ,   2 = 2 x - 3 = 0

⇒ x = 3 2

Portanto, no lado 2 temos mais um candidato: o ponto 3 2 ,   2 .

No lado 3:

x = 2     e   - 2 ≤ y ≤ 2

Então

f x , y = f 2 ,   y = 2 2 + y 2 - 3 2 + y

f 2 ,   y = 4 + y 2 - 6 + y = y 2 + y - 2

Derivando e igualando a zero:

f ' 2 ,   y = 2 y + 1 = 0

⇒ y = - 1 2

Então achamos mais um ponto: 2 ,   - 1 2 .

Vamos pro último lado, o lado 4:

y = - 2     e   - 2 ≤ x ≤ 2

Temos

f x , y = f x ,   - 2 = x 2 + - 2 2 - 3 x - 2

f x , - 2 = x 2 + 4 - 3 x - 2 = x 2 - 3 x + 2

Logo,

f ' x , - 2 = 2 x - 3 = 0

⇒ x = 3 2

Ufa, achamos nosso último ponto! O ponto 3 2 ,   - 2 .

Estamos quase acabando! Resumindo, nossos candidatos a ponto de máximo e mínimo de f no retângulo são o ponto crítico de f , os 4 vértices do retângulo, mais os 4 pontos que achamos nos lados do retângulo:

3 2 ,   - 1 2 , - 2 , - 2 , - 2 ,   2 , 2 ,   2 , 2 ,   - 2 , - 2 ,   - 1 2 , 3 2 ,   2 , 2 ,   - 1 2 e 3 2 ,   - 2

Agora temos que calcular o valor da função em todos esses pontos: o menor será o mínimo global e o maior o máximo global.

O menor valor é logo no primeiro ponto e o maior ficou no terceiro ponto.

Portanto os pontos 3 2 , - 1 2 e - 2 ,   2 são, respectivamente, os pontos de mínimo global e máximo global de f dentro do retângulo x ≤ 2 ,   y ≤ 2 .

O valor mínimo é - 5 2 , enquanto o valor máximo é 16 .

Essas questões não costumam ser difíceis, mas são chatinhas pelo grande número de contas, e por serem muito repetitivas.

Enfim, resumindo, o passo a passo é:

  • Achar pontos críticos da função
  • Determinar quais estão na região fechada
  • Guardar os que estiverem nela, descartar os que não estiverem
  • Guardar vértices da região
  • Achar candidatos a máximo e mínimo na fronteira, lado por lado
  • Calcular o valor da função em todos os pontos achados
  • Determinar qual é o máximo global e qual é o mínimo global

Agora é praticar pra ficar craque nisso! :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Cálculo 2 UERJ, Lista 4 Prof. Hamilton, exercício 8b

Encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y dentro de A = { x , y ∈ R 2   ;   0 ≤ x ≤ 1   e   y ≤ 4 } .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.

Verificando pontos críticos dentro da região:

f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y  

f x x , y = 3 x 2 - 3

f y x , y = 3 y 2 - 3

Assim,

∇ f x , y = ( 3 x 2 - 3   ,   3 y 2 - 3 )

Passo 2

Como nos pontos críticos ∇ f x , y = 0 ,   0 , então

3 x 2 - 3 = 0 → x = ± 1

3 y 2 - 3 = 0 → y = ± 1

Logo, temos 4 pontos críticos, que são as combinações dos x e y que encontramos. São eles:

P 0 = 1,1

P 1 = 1 , - 1

P 2 = - 1 , - 1

P 3 = - 1,1

Os pontos P 2 = ( - 1 , - 1 ) e P 3 = ( - 1,1 ) já podem ser descartados, já que eles ficam fora da região que estamos considerando ( 0 ≤ x ≤ 1 ).

Passo 3

Então guardamos os pontos 1 ,   1 e 1 ,   - 1 . Também precisamos guardar os vértices do retângulo que é a nossa região.

São os pontos:

0 ,   - 4 ,   0 ,   4 ,   1 ,   4 ,   1 ,   - 4

Portanto, temos mais 4 pontos candidatos a máximo e mínimo.

Passo 4

Agora, devemos verificar pontos de máximo ou mínimo na fronteira.

Assim, temos 4 lados a serem verificados:

Quando L 1 → x = 0 ;   - 4 ≤ y ≤ 4 L 2 → x = 1 ;   - 4 ≤ y ≤ 4 L 3 → y = 4 ;           0 ≤ x ≤ 1 L 4 → y = - 4 ;   0 ≤ x ≤ 1 em que L 1 ,   L 2 ,   L 3 ,   L 4 são os lados do retângulo.

Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 4 “subfunções”.

Passo 5

Comecemos pelo lado L 1 . Lembrando a nossa função:

f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y

E o primeiro lado:

L 1 → x = 0   ;   - 4 ≤ y ≤ 4

Substituindo o lado na função:

f 0 , y = y 3 - 3 y

Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a y

3 y 2 - 3 = 0

y 2 = 1

y = ± 1

Então temos pontos críticos em

0,1

E

0 , - 1

Passo 6

Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado L 2 :

L 2 → x = 1   ;   - 4 ≤ y ≤ 4

Substituindo esse lado na função, teremos:

f 1 , y = 1 + y 3 - 3 - 3 y

Desenvolvendo,

f 1 , y = y 3 - 3 y - 2