Enunciado

Em cada um dos itens do exercício anterior, mostrar que o vetor aceleração tem o sentido oposto ao do vetor posição.

Passo 1

A ideia nesse exercício é lembrar que o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade. E para mostra que um vetor tem o sentido oposto ao outro, basta mostrar que b → = - k a → . Onde k é um número real positivo.

a) O vetor velocidade é o seguinte:

v → t = - s e n t , cos ⁡ t

Para acharmos o vetor aceleração, vamos derivar v → t . Assim,

a → t = - cos ⁡ t ,   - s e n t

Colocando o - 1 em evidencia:

a → t = - 1 cos ⁡ t ,   s e n t

Passo 2

Agora vamos mostrar que ele tem sentido oposto ao do vetor posição.

a → t = - 1 × cos ⁡ t ,   s e n t

Como o vetor posição é r → t = cos ⁡ t ,   s e n t :

a → t = - 1 × r → t

Logo, o vetor aceleração tem o sentido oposto ao do vetor posição!

Passo 3

b) Para esse outro item vamos fazer a mesma coisa. O vetor velocidade é o seguinte:

v → t = - 3 s e n 3 t , 3 cos ⁡ 3 t

Para acharmos o vetor aceleração, vamos derivar v → t . Assim,

a → t = 3 × - 3 c o s 3 t , 3 × ( - 3 sen ⁡ 3 t

Aqui só precisamos ter um pouco de cuidado com a regra da cadeia. Fazendo as contas:

a → t = - 9 c o s 3 t , - 9 s e n 3 t

Passo 4

Para finalizar, vamos mostrar que ele tem sentido oposto ao do vetor posição.

a → t = - 9 c o s 3 t , - 9 s e n 3 t

Colocando o - 9 em evidencia:

a → t = - 9 × c o s 3 t , s e n 3 t

Como o vetor posição é r → t = cos ⁡ 3 t ,   s e n 3 t :

a → t = - 9 × r → t

Com isso, mostramos que o vetor aceleração tem sentido oposto ao vetor posição.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine a derivada da função vetorial. r t =t sin ⁡ t ,t 2 ,t cos ⁡ 2 t
Determine a derivada da função vetorial. r t = 3 cos ⁡ t , t , sen ⁡ 3 t
Determine a derivada da função vetorial. r t = t 2 , 1 - t , t
Seja r → t = 2 cos ⁡ w t i → + 4 s e n w t j → , onde w é uma constante não nula. Mostrar que d 2 r → d t 2 = - w 2 r →